Перейти к содержанию

Математическое и загадочное


E.K.

Рекомендуемые сообщения

Там ещё 180 град нужно бы заменить на pi, тк в формуле площади углы вычисляется через радианы, то и 180 град по идее = pi радиан (3.14)


Прогр:

 

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади серпа.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади серпа.</font></b><br><br>";
$R2 = 2 + sqrt(2);
echo "R2 = ".$R2."<br>";
$pi=pi(); 

//4al

$rx=0.1;// шаг изменения r
echo "<table>";

for ($r=0; $r<=$R2; $r+=$rx)
{
  echo "<tr>";
  echo "<td>";
  echo "r=".$r;

  echo "</td><td>";

  //x = (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $x = ( sqrt (4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " x=".round($x,6)." ";

  echo "</td><td>";


  //y = R2 + r/2 - (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $y = $R2 + $r/2 - ( sqrt(4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " y=".round($y,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //al =  v2*(x - y)/2
  $al =  sqrt(2)*($x - $y)/2;
  echo " al=".round($al,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a1 = arcsin(al/R1) = arcsin( al/(R2 - r) )
  $a1 = ( asin( $al/($R2 - $r) ) )*180/$pi;
  echo " a1=".round($a1,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a2 = arcsin(al/R2)
  $a2 = ( asin($al/$R2) )*180/$pi;
  echo " a2=".round($a2,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //Площадь Серпа =
  //pi * (R2 - r)2 * arcsin( ?2 * (x - y) / (2 * (R2 - r)) ) / 180   -  
  //pi * R22 * arcsin( v2 * (x - y) / (2 * R2) ) / 180  +
  //v2*(x - y) * (R2- r)

  $S1 = $pi * ($R2 - $r)*($R2 - $r) * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * ($R2 - $r)) ) / $pi;
  $S2 = $pi * $R2*$R2 * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * $R2) ) / $pi;
  $S3 = sqrt(2)*($x - $y) * ($R2 - $r);
  echo " S1=".round($S1,6)." ";
  echo " S2=".round($S2,6)." ";
  echo " S3=".round($S3,3)." ";


  $S= $S1 - $S2 + $S3;
  echo " S=".round($S,6)."<br>";

  echo "</td>";
  echo "/<tr>";
}
echo "</table>";

?>
</body>
</html> 

 

 

 

Рез:

 


r=0	x=3.414214	y=0	        al=2.414214	a1=45	        a2=45	        S1=9.155272 S2=9.155272 S3=16.485 S=16.485281
r=0.1	x=3.413842	y=0.050372	al=2.378333	a1=45.858003	a2=44.154656	S1=8.791308 S2=8.983286 S3=15.765 S=15.572626
r=0.2	x=3.412704	y=0.101509	al=2.341368	a1=46.755945	a2=43.296265	S1=8.430701 S2=8.808646 S3=15.051 S=14.67337
r=0.3	x=3.410763	y=0.15345	al=2.303268	a1=47.697243	a2=42.424002	S1=8.073604 S2=8.631184 S3=14.346 S=13.788159
r=0.4	x=3.407979	y=0.206234	al=2.263975	a1=48.68574	a2=41.536959	S1=7.720176 S2=8.450715 S3=13.648 S=12.917672
r=0.5	x=3.404306	y=0.259907	al=2.223426	a1=49.725776	a2=40.634134	S1=7.37058 S2=8.267034 S3=12.959 S=12.062623
r=0.6	x=3.399696	y=0.314518	al=2.181551	a1=50.822275	a2=39.714416	S1=7.024988 S2=8.079917 S3=12.279 S=11.223769
r=0.7	x=3.394093	y=0.370121	al=2.138271	a1=51.980851	a2=38.776568	S1=6.683574 S2=7.889112 S3=11.607 S=10.40191
r=0.8	x=3.387435	y=0.426779	al=2.0935	a1=53.207942	a2=37.819208	S1=6.346524 S2=7.694336 S3=10.946 S=9.5979
r=0.9	x=3.379653	y=0.48456	al=2.04714	a1=54.510968	a2=36.840778	S1=6.01403 S2=7.495274 S3=10.294 S=8.812649
r=1	x=3.37067	y=0.543544	al=1.99908	a1=55.898535	a2=35.839518	S1=5.686292 S2=7.291567 S3=9.652 S=8.047136
r=1.1	x=3.360396	y=0.603818	al=1.949195	a1=57.380698	a2=34.81342	S1=5.363522 S2=7.082807 S3=9.022 S=7.30242
r=1.2	x=3.348729	y=0.665485	al=1.89734	a1=58.969292	a2=33.760184	S1=5.045942 S2=6.868526 S3=8.402 S=6.579648
r=1.3	x=3.335552	y=0.728662	al=1.84335	a1=60.678359	a2=32.677148	S1=4.733789 S2=6.648182 S3=7.794 S=5.880078
r=1.4	x=3.320728	y=0.793485	al=1.78703	a1=62.524722	a2=31.561205	S1=4.427312 S2=6.421143 S3=7.199 S=5.205092
r=1.5	x=3.304096	y=0.860117	al=1.728154	a1=64.528744	a2=30.408695	S1=4.12678 S2=6.186664 S3=6.616 S=4.556229
r=1.6	x=3.285465	y=0.928749	al=1.66645	a1=66.71536	a2=29.215249	S1=3.832481 S2=5.943857 S3=6.047 S=3.935218
r=1.7	x=3.264603	y=0.999611	al=1.601592	a1=69.115521	a2=27.975587	S1=3.544727 S2=5.691647 S3=5.491 S=3.34402
r=1.8	x=3.241227	y=1.072986	al=1.533178	a1=71.768238	a2=26.683227	S1=3.263861 S2=5.428716 S3=4.95 S=2.784899
r=1.9	x=3.214985	y=1.149229	al=1.46071	a1=74.723572	a2=25.330059	S1=2.990262 S2=5.153413 S3=4.424 S=2.260504
r=2	x=3.185425	y=1.228788	al=1.383551	a1=78.047144	a2=23.905712	S1=2.724359 S2=4.863629 S3=3.913 S=1.774004
r=2.1	x=3.151958	y=1.312255	al=1.300866	a1=81.827206	a2=22.396561	S1=2.466647 S2=4.556591 S3=3.419 S=1.329288
r=2.2	x=3.113784	y=1.400429	al=1.211525	a1=86.186261	a2=20.784091	S1=2.217714 S2=4.228533 S3=2.942 S=0.93128
r=2.3	x=3.069772	y=1.494442	al=1.113926	a1=88.698647	a2=19.042015	S1=1.921902 S2=3.874107 S3=2.482 S=0.530098
r=2.4	x=3.018222	y=1.595991	al=1.005669	a1=82.55758	a2=17.130779	S1=1.482153 S2=3.485265 S3=2.04 S=0.036815
r=2.5	x=2.95637	y=1.707843	al=0.882842	a1=74.946725	a2=14.98573	S1=1.093265 S2=3.048854 S3=1.614 S=-0.341377
r=2.6	x=2.879098	y=1.835116	al=0.738207	a1=65.046472	a2=12.486866	S1=0.752624 S2=2.540459 S3=1.202 S=-0.585719
r=2.7	x=2.774528	y=1.989686	al=0.554967	a1=50.989703	a2=9.354717	S1=0.453958 S2=1.903222 S3=0.793 S=-0.656533
r=2.8	x=2.592212	y=2.222001	al=0.261779	a1=25.226744	a2=4.397368	S1=0.166103 S2=0.894647 S3=0.322 S=-0.406968 

 

 

 

В промежуточные результаты вывел и площади трёх фигур из формулы площади серпа.

  • Согласен 1
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Внимание!!

 

У меня серьёзнейшая ошибка в подсчётах. Что-то я уже на этой "простой" задачке сам тупить начал... А вы меня на ошибках не ловите - и совершенно зря!

 

Проблема в значке 'r' -> изначально r трактуется как {r,r} - центр малого круга. Потом же я начинаю оперировать с ним как с РАДИУСОМ малого круга.. Вот как не надо давать переменным несвойственные им названия... Ну, отступать уже некуда ->

 

Упражнение 2. Вводим систему координат с центром в O. Уравнение большого круга получается.. вспоминаем среднюю школу :) ->

 

x2 + y2 = R22

 

Уравнение малого круга будет:

 

(x - r)2 + (y - r)2 = R12

 

где r = R2 - R1, то есть, центр малого круга находится в координатах {r,r}. Далее второе уравнение разворачивается и сумма икс-игрек-квадратов заменяется на эр-два-квадрат из первого уравнения.

 

Затем уравнение площади секторов вроде бы подсчитаны правильно. Но при подсчёте площади треугольника я оперировал с r как с радиусом окружности.. Исходя из этого, выполняем упражнение ещё раз:

 

Площадь треугольника OA'O1 равна длине ОO1 умноженной на A'L' и делёное пополам ->

pics10-3.jpg

 

ОO1 есть отрезок от точки {0,0} до {r,r}, то бишь, это будет √2 * r

A'L' уже считали, это √2 * (x-y) / 2

 

Итого, площадь двух треугольников равна:

 

S3 = √2 * r * √2 * (x-y) / 2 = r * (x-y) = r * ( 2 * (√ (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r ) ) / 4 - R2 - r/2

 

Итого,

 

S3 = r * (√ (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r ) ) / 2 - R2 - r/2

 

 

Ну, теперь-то надеюсь, что без ошибок... И вот здесь S3 и S должны получиться нулями.

 

r=0    x=3.414214    y=0     al=2.414214    a1=45     a2=45     S1=9.155272 S2=9.155272 S3=16.485 S=16.485281

 

Уффф...

 

  • Согласен 2
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

S3 = √2 * r * √2 * (x-y) / 2 = r * (x-y) = r * ( 2 * (√ (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r ) ) / 4 - R2 - r/2

 

Итого,

 

S3 = r * ( (√ (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r ) ) / 2 - R2 - r/2

 

 

 

Здесь, по моему, скобка пропущена.

 

Прогр:

 

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади серпа.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади серпа.</font></b><br><br>";
$R2 = 2 + sqrt(2);
echo "R2 = ".$R2."<br>";
$pi=pi(); 

//5 

$rx=0.1;// шаг изменения r
echo "<table>";

for ($r=0; $r<=$R2; $r+=$rx)
{
  echo "<tr>";
  echo "<td>";
  echo "r=".$r;

  echo "</td><td>";

  //x = (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $x = ( sqrt (4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " x=".round($x,6)." ";

  echo "</td><td>";


  //y = R2 + r/2 - (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $y = $R2 + $r/2 - ( sqrt(4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " y=".round($y,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //al =  v2*(x - y)/2
  $al =  sqrt(2)*($x - $y)/2;
  echo " al=".round($al,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a1 = arcsin(al/R1) = arcsin( al/(R2 - r) )
  $a1 = ( asin( $al/($R2 - $r) ) )*180/$pi;
  echo " a1=".round($a1,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a2 = arcsin(al/R2)
  $a2 = ( asin($al/$R2) )*180/$pi;
  echo " a2=".round($a2,6)." ";

  echo "</td><td>";

  $S1 = $pi * ($R2 - $r)*($R2 - $r) * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * ($R2 - $r)) ) / $pi;
  $S2 = $pi * $R2*$R2 * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * $R2) ) / $pi;
//S3 = r * ((v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r ) ) / 2 - R2 - r/2
  $S3 = $r * ((sqrt (4*$R2*$R2 - 4*$R2*$r - $r2*$r2)  + 2*$R2 + $r ) ) / 2 - $R2 - $r/2;
  echo " S1=".round($S1,6)." ";
  echo " S2=".round($S2,6)." ";
  echo " S3=".round($S3,3)." ";

  $S= $S1 - $S2 + $S3;
  echo " S=".round($S,6)."<br>";

  echo "</td>";
  echo "/<tr>";
}
echo "</table>";

?>
</body>
</html> 

 

 

Рез:

 

r=0	x=3.414214	y=0	        al=2.414214	a1=45	        a2=45	        S1=9.155272 S2=9.155272 S3=-3.414 S=-3.414214
r=0.1	x=3.413842	y=0.050372	al=2.378333	a1=45.858003	a2=44.154656	S1=8.791308 S2=8.983286 S3=-2.781 S=-2.973387
r=0.2	x=3.412704	y=0.101509	al=2.341368	a1=46.755945	a2=43.296265	S1=8.430701 S2=8.808646 S3=-2.149 S=-2.526776
r=0.3	x=3.410763	y=0.15345	al=2.303268	a1=47.697243	a2=42.424002	S1=8.073604 S2=8.631184 S3=-1.517 S=-2.0743
r=0.4	x=3.407979	y=0.206234	al=2.263975	a1=48.68574	a2=41.536959	S1=7.720176 S2=8.450715 S3=-0.885 S=-1.615873
r=0.5	x=3.404306	y=0.259907	al=2.223426	a1=49.725776	a2=40.634134	S1=7.37058  S2=8.267034 S3=-0.255 S=-1.1514
r=0.6	x=3.399696	y=0.314518	al=2.181551	a1=50.822275	a2=39.714416	S1=7.024988 S2=8.079917 S3=0.374 S=-0.680777
r=0.7	x=3.394093	y=0.370121	al=2.138271	a1=51.980851	a2=38.776568	S1=6.683574 S2=7.889112 S3=1.002 S=-0.20389
r=0.8	x=3.387435	y=0.426779	al=2.0935	a1=53.207942	a2=37.819208	S1=6.346524 S2=7.694336 S3=1.627 S=0.279389
r=0.9	x=3.379653	y=0.48456	al=2.04714	a1=54.510968	a2=36.840778	S1=6.01403  S2=7.495274 S3=2.25  S=0.769206
r=1	x=3.37067	y=0.543544	al=1.99908	a1=55.898535	a2=35.839518	S1=5.686292 S2=7.291567 S3=2.871 S=1.265725
r=1.1	x=3.360396	y=0.603818	al=1.949195	a1=57.380698	a2=34.81342	S1=5.363522 S2=7.082807 S3=3.488 S=1.769138
r=1.2	x=3.348729	y=0.665485	al=1.89734	a1=58.969292	a2=33.760184	S1=5.045942 S2=6.868526 S3=4.102 S=2.27967
r=1.3	x=3.335552	y=0.728662	al=1.84335	a1=60.678359	a2=32.677148	S1=4.733789 S2=6.648182 S3=4.712 S=2.797586
r=1.4	x=3.320728	y=0.793485	al=1.78703	a1=62.524722	a2=31.561205	S1=4.427312 S2=6.421143 S3=5.317 S=3.323208
r=1.5	x=3.304096	y=0.860117	al=1.728154	a1=64.528744	a2=30.408695	S1=4.12678  S2=6.186664 S3=5.917 S=3.856927
r=1.6	x=3.285465	y=0.928749	al=1.66645	a1=66.71536	a2=29.215249	S1=3.832481 S2=5.943857 S3=6.511 S=4.399228
r=1.7	x=3.264603	y=0.999611	al=1.601592	a1=69.115521	a2=27.975587	S1=3.544727 S2=5.691647 S3=7.098 S=4.950727
r=1.8	x=3.241227	y=1.072986	al=1.533178	a1=71.768238	a2=26.683227	S1=3.263861 S2=5.428716 S3=7.677 S=5.512213
r=1.9	x=3.214985	y=1.149229	al=1.46071	a1=74.723572	a2=25.330059	S1=2.990262 S2=5.153413 S3=8.248 S=6.084729
r=2	x=3.185425	y=1.228788	al=1.383551	a1=78.047144	a2=23.905712	S1=2.724359 S2=4.863629 S3=8.809 S=6.669681
r=2.1	x=3.151958	y=1.312255	al=1.300866	a1=81.827206	a2=22.396561	S1=2.466647 S2=4.556591 S3=9.359 S=7.269027
r=2.2	x=3.113784	y=1.400429	al=1.211525	a1=86.186261	a2=20.784091	S1=2.217714 S2=4.228533 S3=9.896 S=7.885593
r=2.3	x=3.069772	y=1.494442	al=1.113926	a1=88.698647	a2=19.042015	S1=1.921902 S2=3.874107 S3=10.419 S=8.467253
r=2.4	x=3.018222	y=1.595991	al=1.005669	a1=82.55758	a2=17.130779	S1=1.482153 S2=3.485265 S3=10.926 S=8.922813
r=2.5	x=2.95637	y=1.707843	al=0.882842	a1=74.946725	a2=14.98573	S1=1.093265 S2=3.048854 S3=11.413 S=9.457546
r=2.6	x=2.879098	y=1.835116	al=0.738207	a1=65.046472	a2=12.486866	S1=0.752624 S2=2.540459 S3=11.878 S=10.089894
r=2.7	x=2.774528	y=1.989686	al=0.554967	a1=50.989703	a2=9.354717	S1=0.453958 S2=1.903222 S3=12.315 S=10.866119
r=2.8	x=2.592212	y=2.222001	al=0.261779	a1=25.226744	a2=4.397368	S1=0.166103 S2=0.894647 S3=12.72 S=11.991781 

 

 

А вы меня на ошибках не ловите - и совершенно зря!

 

Проблема в значке 'r' -> изначально r трактуется как {r,r} - центр малого круга. Потом же я начинаю оперировать с ним как с РАДИУСОМ малого круга.. Вот как не надо давать переменным несвойственные им названия... Ну, отступать уже некуда ->

 

 

У меня, кстати, такая мысль в своё время промелькнула и потом куда-то улетела, не успел поймать её за хвост.  :)

Итого, площадь двух треугольников равна:

 

S3 = √2 * r * √2 * (x-y) / 2 = r * (x-y) = r * ( 2 * (√ (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r ) ) / 4 - R2 - r/2

 

Итого,

 

S3 = r * (√ (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r ) ) / 2 - R2 - r/2

 

 

Ну, теперь-то надеюсь, что без ошибок... И вот здесь S3 и S должны получиться нулями.

 

r=0    x=3.414214    y=0     al=2.414214    a1=45     a2=45     S1=9.155272 S2=9.155272 S3=16.485 S=16.485281

 

Уффф...

 

Я в программу в новом варианте подставил сокращённую формулу

S3 = r * (x-y)

И вот что получилось:

Prg:

 

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади серпа.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади серпа.</font></b><br><br>";
$R2 = 2 + sqrt(2);
echo "R2 = ".$R2."<br>";
$pi=pi(); 

//55 вариант 

$rx=0.1;// шаг изменения r
echo "<table>";

for ($r=0; $r<=$R2; $r+=$rx)
{
  echo "<tr>";
  echo "<td>";
  echo "r=".$r;

  echo "</td><td>";

  //x = (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $x = ( sqrt (4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " x=".round($x,6)." ";

  echo "</td><td>";


  //y = R2 + r/2 - (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $y = $R2 + $r/2 - ( sqrt(4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " y=".round($y,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //al =  v2*(x - y)/2
  $al =  sqrt(2)*($x - $y)/2;
  echo " al=".round($al,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a1 = arcsin(al/R1) = arcsin( al/(R2 - r) )
  $a1 = ( asin( $al/($R2 - $r) ) )*180/$pi;
  echo " a1=".round($a1,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a2 = arcsin(al/R2)
  $a2 = ( asin($al/$R2) )*180/$pi;
  echo " a2=".round($a2,6)." ";

  echo "</td><td>";

  $S1 = $pi * ($R2 - $r)*($R2 - $r) * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * ($R2 - $r)) ) / $pi;
  $S2 = $pi * $R2*$R2 * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * $R2) ) / $pi;
//S3 = r * ((v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r ) ) / 2 - R2 - r/2
//  $S3 = $r * ((sqrt (4*$R2*$R2 - 4*$R2*$r - $r2*$r2)  + 2*$R2 + $r ) ) / 2 - $R2 - $r/2;
//S3 = r * (x-y)
  $S3 =$r * ($x-$y);
  echo " S1=".round($S1,6)." ";
  echo " S2=".round($S2,6)." ";
  echo " S3=".round($S3,3)." ";

  $S= $S1 - $S2 + $S3;
  echo " S=".round($S,6)."<br>";

  echo "</td>";
  echo "/<tr>";
}
echo "</table>";

?>
</body>
</html> 

 

 

Rez:

 


r=0	x=3.414214	y=0	        al=2.414214	a1=45	        a2=45	        S1=9.155272 S2=9.155272 S3=0     S=0
r=0.1	x=3.413842	y=0.050372	al=2.378333	a1=45.858003	a2=44.154656	S1=8.791308 S2=8.983286 S3=0.336 S=0.144369
r=0.2	x=3.412704	y=0.101509	al=2.341368	a1=46.755945	a2=43.296265	S1=8.430701 S2=8.808646 S3=0.662 S=0.284293
r=0.3	x=3.410763	y=0.15345	al=2.303268	a1=47.697243	a2=42.424002	S1=8.073604 S2=8.631184 S3=0.977 S=0.419614
r=0.4	x=3.407979	y=0.206234	al=2.263975	a1=48.68574	a2=41.536959	S1=7.720176 S2=8.450715 S3=1.281 S=0.550159
r=0.5	x=3.404306	y=0.259907	al=2.223426	a1=49.725776	a2=40.634134	S1=7.37058  S2=8.267034 S3=1.572 S=0.675746
r=0.6	x=3.399696	y=0.314518	al=2.181551	a1=50.822275	a2=39.714416	S1=7.024988 S2=8.079917 S3=1.851 S=0.796178
r=0.7	x=3.394093	y=0.370121	al=2.138271	a1=51.980851	a2=38.776568	S1=6.683574 S2=7.889112 S3=2.117 S=0.911243
r=0.8	x=3.387435	y=0.426779	al=2.0935	a1=53.207942	a2=37.819208	S1=6.346524 S2=7.694336 S3=2.369 S=1.020713
r=0.9	x=3.379653	y=0.48456	al=2.04714	a1=54.510968	a2=36.840778	S1=6.01403  S2=7.495274 S3=2.606 S=1.124339
r=1	x=3.37067	y=0.543544	al=1.99908	a1=55.898535	a2=35.839518	S1=5.686292 S2=7.291567 S3=2.827 S=1.221851
r=1.1	x=3.360396	y=0.603818	al=1.949195	a1=57.380698	a2=34.81342	S1=5.363522 S2=7.082807 S3=3.032 S=1.31295
r=1.2	x=3.348729	y=0.665485	al=1.89734	a1=58.969292	a2=33.760184	S1=5.045942 S2=6.868526 S3=3.22  S=1.397309
r=1.3	x=3.335552	y=0.728662	al=1.84335	a1=60.678359	a2=32.677148	S1=4.733789 S2=6.648182 S3=3.389 S=1.474565
r=1.4	x=3.320728	y=0.793485	al=1.78703	a1=62.524722	a2=31.561205	S1=4.427312 S2=6.421143 S3=3.538 S=1.54431
r=1.5	x=3.304096	y=0.860117	al=1.728154	a1=64.528744	a2=30.408695	S1=4.12678  S2=6.186664 S3=3.666 S=1.606085
r=1.6	x=3.285465	y=0.928749	al=1.66645	a1=66.71536	a2=29.215249	S1=3.832481 S2=5.943857 S3=3.771 S=1.659371
r=1.7	x=3.264603	y=0.999611	al=1.601592	a1=69.115521	a2=27.975587	S1=3.544727 S2=5.691647 S3=3.85  S=1.703568
r=1.8	x=3.241227	y=1.072986	al=1.533178	a1=71.768238	a2=26.683227	S1=3.263861 S2=5.428716 S3=3.903 S=1.737979
r=1.9	x=3.214985	y=1.149229	al=1.46071	a1=74.723572	a2=25.330059	S1=2.990262 S2=5.153413 S3=3.925 S=1.761786
r=2	x=3.185425	y=1.228788	al=1.383551	a1=78.047144	a2=23.905712	S1=2.724359 S2=4.863629 S3=3.913 S=1.774004
r=2.1	x=3.151958	y=1.312255	al=1.300866	a1=81.827206	a2=22.396561	S1=2.466647 S2=4.556591 S3=3.863 S=1.773431
r=2.2	x=3.113784	y=1.400429	al=1.211525	a1=86.186261	a2=20.784091	S1=2.217714 S2=4.228533 S3=3.769 S=1.758561
r=2.3	x=3.069772	y=1.494442	al=1.113926	a1=88.698647	a2=19.042015	S1=1.921902 S2=3.874107 S3=3.623 S=1.671053
r=2.4	x=3.018222	y=1.595991	al=1.005669	a1=82.55758	a2=17.130779	S1=1.482153 S2=3.485265 S3=3.413 S=1.410243
r=2.5	x=2.95637	y=1.707843	al=0.882842	a1=74.946725	a2=14.98573	S1=1.093265 S2=3.048854 S3=3.121 S=1.165729
r=2.6	x=2.879098	y=1.835116	al=0.738207	a1=65.046472	a2=12.486866	S1=0.752624 S2=2.540459 S3=2.714 S=0.926518
r=2.7	x=2.774528	y=1.989686	al=0.554967	a1=50.989703	a2=9.354717	S1=0.453958 S2=1.903222 S3=2.119 S=0.669811
r=2.8	x=2.592212	y=2.222001	al=0.261779	a1=25.226744	a2=4.397368	S1=0.166103 S2=0.894647 S3=1.037 S=0.308047
r=2.9	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S1=NAN S2=NAN S3=NAN S=NAN
r=3	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S1=NAN S2=NAN S3=NAN S=NAN
r=3.1	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S1=NAN S2=NAN S3=NAN S=NAN
r=3.2	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S1=NAN S2=NAN S3=NAN S=NAN
r=3.3	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S1=NAN S2=NAN S3=NAN S=NAN
r=3.4	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S1=NAN S2=NAN S3=NAN S=NAN 

 

 

  • Спасибо (+1) 1
  • Согласен 1
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Итак, мальчики и девочки, мы постепенно подползаем к завершительной части нашего этого многостраничного упражнения.

 

Что у нас уже получилось:

 

1. Бублик. Максимум получился 1.9489896... Отличный результат!

2. Серп. Площадь его дотягивает максимум до S=1.774004.

 

На самом деле, это и сразу было понятно. Просто хотелось потренироваться с геометриями. Очень - ОЧЕНЬ хочется протащить там сейф > 2 по площади! // А кому не хочется?

 

Но по дороге мы выяснили, что у максимально пролазной штуки срезана верхушка!

 

Короче,

 

3. И на этом я буду считать упражнение завершённым.

Просчитать "бублик" со срезанной "макушкой". - я доступно излагаю?

 

Ну, дерзайте.

А картинку я попозже вечером нарисую. Или же вы сами попробуйте нарисовать.

  • Спасибо (+1) 1
  • Согласен 1
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Итак, хочется протащить сейф площадью > 2. Понятно, что это должно быть что-то вроде бублика со срезанной вершиной. Пробую порисовать..pics11.jpg

 

Наверное, всё же оптимально будет если ширина "ступни" урезанного бублика (давайте называть его "телефонной трубкой") будет равна ширине коридора, то есть = 1 (как зелёный). Но тогда сразу требуется, чтобы в момент касания самая левая часть "трубки" была параллельна левой вертикальной стенке - иначе оно сразу застрянет. Но оно всё равно потом застрянет, поскольку расстояния между окружностями будет больше 1... То есть, внешняя окружность должна быть чем-то вроде овала со срезанной вершиной..

pics11-2.jpg

 

Требования к овалу следующие: при каждом повороте этой конструкции внешняя сторона "овала" должна касаться внешней стенки по касательной, то есть угол касания = 0.

 

Ну, есть идеи как это описать математическими формулами? Интернеты вам в помощь..

 

 

UPD. Фигтам. Овал не пролезает, поскольку внутренняя окружность вращается вокруг своего центра. То есть Внешняя фигура никак не проходит, если её центр на горизонтальной нижней стене коридора.

pics11-3.jpg

  • Согласен 2
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Тут сложность, на мой взгляд, в том, что фигура оптимальной формы будет двигаться не по окружности вокруг какого-то центра, а по более сложной траектории.

Когда передняя часть фигуры приблизится к углу, то центр фигуры (пусть будет условно центр тяжести) будет располагаться на одном расстоянии от центра поворота, а когда фигура пролезет за угол под углом 45 град., то она будет уже ближе к центру поворота за счёт выемки с нижней стороны.

Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Именно так! Вот какая картинка получается с внутренней окружностью. По идее, центр окружности должен двигаться тоже по окружности радиуса r (по синей линии) - поскольку центр красной окружности при вращении будет всегда находиться на расстоянии r от угла (нарисован только внутренний угол коридора). То есть, должна получиться синяя четверть окружности. Но почему-то глазуально это не так... Где я неправ?

pics-13.jpg

 

UPD. Или всё верно - это я просто нарисовал кривовато?..

pics-13-2.jpg

 

UPD-2. Хммм. Окружность получается! Причём - оно пролезает, поскольку центр всей конструкции "утапливается" в сторону угла. Вот такая картинка:

pics-13-3.jpg

 

Понятно, что её ещё можно оптимизнуть, но давайте уже как есть подсчитаем. Очень хочется просунуть больше 2 за угол :)

 

Площадь зелёной "трубки" будет.. площадь половины большого круга минус половины малого круга и минус выступ за ширину коридора. Площадь выступа равна площади сектора 'OAC' с углом 'a' (пусть он опять будет углом 'AOB', т.е. половиной "широкого угла") минус площадь треугольника 'OAC'.

 

Вроде так:

 

S = ( pi*(r+1)2 - pi*r2 ) / 2 - (pi*(r+1)2 * a/180 - отрезок AC * 1 / 2 (поскольку OB=1).

 

OA = r+1, OB = 1, то 1 = (r+1) * cos(a)

a = arccos (1 / (r+1)) // в градусах!

 

Итого,

 

S = pi * (r + 1/2 - (r+1)2 * arccos (1 / (r+1)) /180 ) + (r+1) * sin ( arccos (1 / (r+1)) )

 

Проверяем для r=0, должен быть "выколотый" случай полукруга площадью pi/2...

 

S = pi * (1/2 - arccos (1 / 1)) /180 ) + sin ( arccos (1 / 1)) ) = pi * 1/2 - 0 + 0

 

Вроде верно. Ну, что? Надо бы в программку засунуть.. Просто обязано получиться больше двойки!

Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Сил нет терпеть, любопытство раздирает увидеть результаты и убедиться, что оно будет больше двойки. Пробую ручками (самому кодить лень, я же Генеральный Директор!) :)  Просто волюнтаристким решением назначаю угол a=45° и смотрю что получается...

 

r = 1 / cos(a) - 1 = 0.414

S = ( pi*(r+1)2 - pi*r2 ) / 2 - (pi*(r+1)2 * a/180 + (r+1) * sin ( a ) =

= pi * (0.914  - (1.414)^2 * 1/4 ) + (1.414) * 0.707 = примерно 1.3 + 1

 

Ура! Ура! Ура!

 

Протащен сейф площадью примерно 2.3 :)

 

Можно, конечно, и дальше оптимизячить, но давайте уже программно посмотрим на минимумы и максимумы - и закрываем задачку. Чтобы потом перейти к следующей.

 

И картинку поправпить надо:

pics13-5.jpg

Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Ох-ах, но при внимательном рассмотрении оказалось, что не лезет трубка :( :( :(

pics14-1.jpg

 

UPD. Но мы не привыкли отступать! (с)

 

Если посмотреть внимательно, то...

pics14-3.jpg
 

... то центр внутреннего круга смещается вниз по окружности (помечена сине-зелёным). Чтобы внешняя сторона "трубки" проползала в коридор, расстояние между центром конструкции и противоположной внешней точкой "трубки" должно оставаться постояным! Тогда оно лезет.

 

// за вторую половину конструкции не беспокоимся, поскольку дело это симметричное: если лезет сюда, то вылезет и оттуда.

 

Ага, то есть, получается вот что. Внешняя сторона "трубки" тоже окружность, но с ценртом в другой точке! (зелёными стрелочками помечено) ->

pics14-4.jpg

 

Если нарисовать это красиво, то получается вот так:

pics15.jpg

 

Теперь надо как-то подсчитать площадь этой конструкции, которая ограничена красным цветом...

  • Улыбнуло 1
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Так это же элементарно, Ватсон! (с)

 

Ещё раз эта картинка:

pics15-2.jpg

 

Площадь трубки равна:

 

2 * ( площадь сектора O1CF + тонкий практически прямоугольничек O1F'FF'' ) +

площадь прямоугольника ACF''A' -

площадь малого полукруга с центром О и радиусом 'r'.

 

Проблема есть только с "практически прямоугольничком", который есть такая странная часть круга...

 

Похоже? Поехали...

 

Радиус синего круга с центром в O1 равен.. очевидно, там всё видно: r1 = (r+1)/2

Тогда получаем... S = 2 * ( pi * r1 / 4 + r1 * (1 - r1) )

 

Фигтам!

Фигура О1СF' - это не часть окружности. Это какая-то более сложная материя, о которой я сейчас думать просто не могу.

 

Отложу на завтра..

Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Но! Нам же не нужно сегодня ставить рекорды. Нужно просто протащить за угол сейф площадью >2. Предлагаю упростить дизайн сейфа, срезать непонятные кривые и потащить вот такую более "квадратную" штуку:

pics15-2x.jpg

 

Её площадь равна: площадь трапеции ACF-и обратно минус площадь полукруга с центром в O. Площадь трапеции помните - или в интернеты полезем? :)

 

Даже ещё упрощаю задачку! Пусть AB = BC = r. Тогда ->

 

S = 2*r + 1 - pi*r2 / 2

 

При r=0 фигура вырождается в квадрат.. Ага, верно, площадь получается 1.

 

А какой максимум у этой функции?

 

S' = 2 - pi*r  => r = pi/2 = 3.14 / 2 :( это больше единицы. То есть, наш "сейф" разваливается на две части.

 

Но! Хорошая новость, что чем больше r, тем больше площадь. Пусть верхняя часть трубки - это нано-материал с почти нулевой толщиной, когда r стремится к единице..

 

Считаем...

 

S = 2 + 1 - pi / 2 = 3 - 3.14/2 = фигвам... меньше двойки :( :( :(

 

Получается даже совсем смешная цифра 1.43.

 

Или я где-то опять налажал с формулами :(

Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Есть! Вот что значит посмотреть на вчерашнюю задачку свежей головой :)

 

Следите сюда. Центр всей фигуры (точка O) при повороте за угол движется по окружности радиуса 'r', поскольку от этой O до угла расстояние всегда 'r'. То есть, чтобы фигура пролезала, в каждый момент от текущего положения центра O до внешнего края фигуры (фиолетовая стрелка слева) расстояние должно быть 1+r*cos(a)

pics16.jpg

 

То есть, дуги AD и CG на картинке справа описываются формулами "расстояние от точки дуги до O равно 1+r*cos(a)", при этом угол 'a' принимает значения от 0 до 45° - поскольку фигура симметричная, то совершая аналогичный поворот ещё на 45° по той же формуле мы протаскивает всю фигуру за угол (поворот 90°).

 

Формулу фигуры выяснили. Теперь как подсчитать её площадь в зависимости от 'r'? Кто помнит как там интегралы брать?...

 

Но для начала надо проверить, что формула правильная.

 

UPD. А если внимательно посмотреть на картинку, то получается, что оптимальный радиус 'r' (максимальная площадь) получается когда угол DOA равен 45° - поскольку если 'r' меньше, то уменьшается 'AC' и точка A "спускается" вниз. Площадь меньше. Если же 'r' больше, то ... а вот непонятно. Надо считать :)

 

По формуле OA = 1 + r*cos(45°) = 1 + r * 0.707

Как основание треугольника AOB это OA = √2

 

r = ( √2 - 1 ) / 0.707 = 0.586

 

Эта цифра похожа на правду...

 

Теперь надо считать площадь. Полезу за своим домашним интегратором...

 

// чуть позже ->

 

Что-то в прямоугольных координатах ничего не получается. Выразить y=f(x) как-то вообще не вижу как.

pics16-2.jpg

 

Надо лезть за полярными координатами.. Например, здесь: http://mathprofi.ru/ploshad_v_poljarnyh_koordinatah.html

 

Получается что-то типа:

 

1/2(1 + r*cos(φ))2  dφ

φ от 0 до 45° (или же от 0 до π/4)

 

Типа вот так... Нало лезть учить матчасть по ссылке выше (или по аналогичным). Это сейчас вроде как в 11м классе учат :)

  • Спасибо (+1) 1
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Нужно снова идти в 11-й класс проходить обучение и всё вспоминать  :)

Я тоже забыл интегралы 

Этот полезный сайт пытается нам помочь, но мне пока не всё понятно, хотя визуальное представление функции интересное.


Исправленная версия формулы. (там синтаксис ввода формул немножко другой)

  • Согласен 1
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Я вроде бы разобрался.. Можно идти ЕГЭ сдавать :)

 

Итак, считаем "дао" (фигуру DAO) по стандартной формуле "половина интеграла от квадрата формулы фигуры" ->

 

1/2 ∫ (1 + r*cos(φ))2  dφ

φ от 0 до π/4

 

Считаем... сначала возводим в квадрат формулу фигуры:

 

1/2 ∫ (1 + r*cos(φ))2 dφ  = 1/2 (1 + 2r*cos(φ) + r2 * cos(φ)2) dφ

 

Затем уменьшаем степень косинуса по формуле cos2(φ) = (1+cos(2φ))/2

 

= 1/2 (1 + 2r*cos(φ) + r2 * (1 + cos(2φ)) / 2 ) dφ

 

Убирается интеграл, заодно надо вспомнить, что косинус - это производная синуса :)

 

= 1/2 ( φ + 2r*sin(φ) + r2 * φ/2 + r2 * sin(2φ)/4 )

 

Теперь надо подставить крайние значения φ=0 , π/4 и из втоого вычесть первое. Сразу видно, что при φ=0 формула равна нулю. Посему, только π/4 =>

 

= 1/2 ( π/4 + 2r*sin(π/4) + r2 * π/8 + r2 * sin(π/2)/4 )

 

Вуяля!

Проверяем r=0.. Получается π/8 - и это верно! Мы же считаем одну восьмую круга (если r=0, то трубка вырождается в половину круга)

 

Итого, площадь трубки равна... два "дао"-сегмента, плюс треугольник ACO, минус половина r-круга. Треугольник ACO вороде как прямой, основание = 2, OB=1, его площадь = 1.

 

Получается вроде так. Площадь трубки равна:

 

S = π/4 + 2r*sin(π/4) + r2 * π/8 + r2 * sin(π/2)/4 +  1  -  π*r2 /2

 

Проверяйте :)

Но внимание! Все эти подсчёты исходили из того, что угол AOC = прямой. И 'r' уже = 0.586

  • Согласен 1
Ссылка на комментарий
Поделиться на другие сайты

Пожалуйста, войдите, чтобы комментировать

Вы сможете оставить комментарий после входа в



Войти
  • Похожий контент

    • E.K.
      От E.K.
      Всем привет!
       
      По ходу жизни мы все иногда сталкиваемся с разными визуальными несуразностями, которые можно сфотографировать - или которые уже существуют в виде фоток. Например, однажды в небольшом магазинчике на Гавайях я обнаружил... водку Камчатка!

       
      Судя по цене - пойло должно было оказаться мерзким. Насколько помню, экспериментировать не стал. Что интересно, обнаружено это было в магазинчике в местной базе отдыха для американских военных и их семей. Как я туда попал - отдельная история...

       
      Или меня постоянно удивляет кофе "Georgia" в японских уличных магазинах и вендинговых автоматах:

       
      Процитирую себя
      "Каждый раз в Японии меня умиляет кофейный бренд "GEORGIA" со снежными вершинами на картинке.
      Никак не могу понять - если это американская Джорджия - то при чём здесь горы? Если же это Грузия - то при чём здесь кофе? Но в Японии эти несовместимые несовместимости вполне себя неплохо чувствуют в повсеместно расставленных вендинговых машинках. Хотя... Если посмотреть по сторонам.. Например, "Спартак" и "Динамо".. ... - какое отношение эти бренды имеют к футболу?"
       
      Кстати, а почему он на картинке в каске? Зачем это кофе надо пить в каске?..

       
      Так вот, картинок таких наверняка не только у меня достаточно - посему эта тема будет как раз посвящена разным фоткам с несуразностями, загадками - и разными прочими подобными тоже. Спасибо Борису за подсказку!
       
       
      Ну, можно начинать.
×
×
  • Создать...