Математическое и загадочное

[eve-nts]

  В 15.02.2019 в 08:02, E.K. сказал:

2*площадь треугольника OA'O₁ = al * R₂ * cos(a₂)

Всё понятно, 

но не совсем понятно, как получилась площадь треугольника OA'O₁. Почему там al и cos?

 

Площадь треугольника

[E.K.]

// Начал рассказывать,

// нить потерял..

// цифра есть всё.

 

(это если опять все мои выкладки

 хрям междунодный сожрёт..)

 

Всё совершенно несложно.

 

Площадь треугольника OA'O₁ = A'L' * ОO₁ / 2 = .. ну там же треугольники квадратные, там же всё видно..

[Sandynist]

Есть небольшое предложение — возможно неплохо было бы включить в этой теме шапку, в которой публиковать условия текущей решаемой задачи. Все решённые задачи прятать под спойлер, а самую актуальную держать в заголовке.  

 

Уже более пяти страниц решается «совсем несложная задача», для человека, который впервые заглянул в данную тему будет проблематично отыскать само сообщение с постановкой условий. Соответственно он так и не примет участия в решении и уйдёт удивлённо пожав плечами

[E.K.]

Ммммм..

если для человека площадь треугольника является проблематичной задачей, то... наверное, надо идти изучить прощадь треугольника?

[eve-nts]

  В 15.02.2019 в 23:31, E.K. сказал:

Площадь треугольника OA'O₁ = A'L' * ОO₁ / 2 = .. ну там же треугольники квадратные, там же всё видно..

Треугольник OA'L' - прямоугольный,

а треугольник OA'O₁ - с косыми углами.

Сторона A'L' относится к треугольнику OA'L', а не к OA'O₁

 

Но, скорее всего, наверное я просто не уловил нити рассуждения.. 

[E.K.]

https://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D0%B8/%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0/

 

Вроде так...

[eve-nts]

  В 16.02.2019 в 07:24, E.K. сказал:

Вроде так...

Виноват.    Я думал речь идёт о другом треугольнике.

[Sandynist]

 

 

  eve-nts сказал:

Я думал речь идёт о другом треугольнике.

 

Ну если сильно не придираться, то месяц — это треугольник с двумя углами?

[E.K.]

  В 16.02.2019 в 12:10, eve-nts сказал:

Виноват.  Я думал речь идёт о другом треугольнике.

Намана, бывает

Давайте, считайте - пока я домой еду..

 

  В 16.02.2019 в 12:22, Sandynist сказал:

Ну если сильно не придираться, то месяц — это треугольник с двумя углами?

Месяц - это окружность с двумя углами.

[eve-nts]

  В 15.02.2019 в 08:02, E.K. сказал:

площадь сектора O₁A'HE'  - площадь сектора OA'FE' + 2*площадь треугольника OA'O₁.

Тогда площать O₁A'HE' = pi * R₁² * a₁ / 180

Площадь OA'FE' = pi * R₂² * a₂ / 180

Площадь треугольника OA'O₁ = A'L' * ОO₁ / 2

 

A'L' = R1 * sin (a1)    

S = pi * R12 * a1 / 180 - pi * R22 * a2 / 180 + 2 *  A'L' * ОO1 / 2

S = pi * (R12 - R22 )  / 180 +  A'L' * ОO1

S = pi * (R12 - R22 )  / 180 + R1 * sin (a1) * ОO1

 

ОO1  как-то должно выражаться через стороны треугольника R₁, R₂ и угол a₁

  В 16.02.2019 в 16:08, eve-nts сказал:

 

  В 15.02.2019 в 08:02, E.K. сказал:

площадь сектора O₁A'HE'  - площадь сектора OA'FE' + 2*площадь треугольника OA'O₁.

Тогда площать O₁A'HE' = pi * R₁² * a₁ / 180

Площадь OA'FE' = pi * R₂² * a₂ / 180

Площадь треугольника OA'O₁ = A'L' * ОO₁ / 2

 

A'L' = R₁ * sin (a₁)    

S = pi * R₁² * a1 / 180 - pi * R₂² * a₂ / 180 + 2 *  A'L' * ОO₁ / 2

S = pi * (R₁² - R₂² )  / 180 +  A'L' * ОO₁

S = pi * (R₁² - R₂² )  / 180 + R₁ * sin (a₁) * ОO₁

 

ОO₁  как-то должно выражаться через стороны треугольника R₁, R₂ и угол a₁

 

*** Индексы послетали почему-то.

[E.K.]

Господа студенты!

// и милые дамы студентки, но что-то их уже не видно давно.. куда пропала обожаемая https://forum.kasperskyclub.ru/index.php?showuser=47506- куда? Она предлагала такие нестандартные ответы, что я нестандартно падал в офигивание... А можно её обратно позвать? Она в тригонометрии весьма была..

 

Итак, о чём я.

О том, что как-бы давно уже надо переходить к новым упражнениям (у меня их уже штук пятнадцать-двадцать), но перед этим надо добить текущий жилищный вопрос. Какой серп мы протащим по коридору через угол?

 

Сейчас буду собирать формулу по частям...

(если я сам не успею - то мож быть вы поможете? ну, пожалуйста..)

[E.K.]

Итак, площадь серпа - это площадь пространства, ограниченного двумя окружностями, которые пересекаются в точках A' и Е' вот так ->

 

Большая (красная) окружность фиксирована, её радиус R₂ = 2 + √2.

Малая (синяя) окружность изменяется, её положение зависит от её радиуса r.

 

Как уже было получено выше, координаты пересечения окружностей {x,y} и {y,x} следующие:

 

x = (√ (4*R₂² - 4*R_2*r - r²)  + 2*R₂ + r) / 4

y = R₂ + r/2 - (√ (4*R₂² - 4*R_2*r - r²)  + 2*R₂ + r) / 4

 

и даже прогоном r по диапазону значений подтвердили правильность этих формул.

 

Далее, длину A'L', дальше буду обозачать просто 'al'. Итак, 'al' вычисляется просто, это половина длины A'E', а координаты A' и E' = {x,y} и {y,x}. Пусть x>y, тогда

 

al =  √2*(x - y)/2

 

Углы a₁ и a₂ равны:

 

a₁ = arcsin(al/R₁) = arcsin( al/(R₂ - r) )

a₂ = arcsin(al/R₂).

 

Теперь у нас есть всё для вычисления площади серпа (ПС) ->

 

ПС = площадь O₁A'BHDE'А = соответствующий сектор малого (синего) круга - кусочек большого =

= площадь секторов O₁A'BHDE' - O₁A'FE' =

= пс O₁A'BHDE' - пс OA'FE' + две площади треугольника OA'O₁ =

 

= pi * (R₂ - r)² * a₁ / 180   -   pi * R₂² * a₂ / 180   +   al * R₂ * cos(a₂)  1

 

Вроде бы правильно.. Можно и дальше развеннуть:

 

Площаль Серпа =

pi * (R₂ - r)² * arcsin( √2 * (x - y) / (2 * (R₂ - r)) ) / 180   -  

pi * R₂² * arcsin( √2 * (x - y) / (2 * R₂) ) / 180  +

√2*(x - y) * R₂ * cos( arcsin( √2 * (x - y) / (2 * R₂) )  ) / 2 

 

Вроде бы вот такая формула.. Надо проапдейтить уже существующую программу и посмотреть результат.

[eve-nts]

Программа:

  Показать контент

 

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади серпа.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади серпа.</font></b><br><br>";
$R2 = 2 + sqrt(2);
echo "R2 = ".$R2."<br>";
$pi=pi(); 

//4

$rx=0.1;// шаг изменения r
echo "<table>";

for ($r=0; $r<=$R2; $r+=$rx)
{
  echo "<tr>";
  echo "<td>";
  echo "r=".$r;

  echo "</td><td>";

  //x = (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $x = ( sqrt (4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " x=".round($x,6)." ";

  echo "</td><td>";


  //y = R2 + r/2 - (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $y = $R2 + $r/2 - ( sqrt(4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " y=".round($y,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //al =  v2*(x - y)/2
  $al =  sqrt(2)*($x - $y)/2;
  echo " al=".round($al,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a1 = arcsin(al/R1) = arcsin( al/(R2 - r) )
  $a1 = asin( $al/($R2 - $r) );
  echo " a1=".round($a1,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a2 = arcsin(al/R2)
  $a2 = asin($al/$R2);
  echo " a2=".round($a2,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //Площадь Серпа =
  //pi * (R2 - r)2 * arcsin( ?2 * (x - y) / (2 * (R2 - r)) ) / 180   -  
  //pi * R22 * arcsin( v2 * (x - y) / (2 * R2) ) / 180  +
  //v2*(x - y) * R2 * cos( arcsin( v2 * (x - y) / (2 * R2) )  ) / 2

  $S=
  $pi * ($R2 - $r)*($R2 - $r) * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * ($R2 - $r)) ) / 180 -
  $pi * $R2*$R2 * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * $R2) ) / 180 +
  sqrt(2)*($x - $y) * $R2 * cos( asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * $R2) )  ) / 2;
  echo " S=".round($S,6)."<br>";

  echo "</td>";
  echo "/<tr>";
}
echo "</table>";

?>
</body>
</html> 

 

 

 

Рез::

  Показать контент

 

Касперский. Расчёт площади серпа.

R2 = 3.4142135623731
///////////////////////////////////
r=0	x=3.414214	y=0	al=2.414214	a1=0.785398	a2=0.785398	S=5.828427
r=0.1	x=3.413842	y=0.050372	al=2.378333	a1=0.800373	a2=0.770644	S=5.822539
r=0.2	x=3.412704	y=0.101509	al=2.341368	a1=0.816045	a2=0.755662	S=5.811527
r=0.3	x=3.410763	y=0.15345	al=2.303268	a1=0.832474	a2=0.740439	S=5.795149
r=0.4	x=3.407979	y=0.206234	al=2.263975	a1=0.849726	a2=0.724957	S=5.773144
r=0.5	x=3.404306	y=0.259907	al=2.223426	a1=0.867879	a2=0.709199	S=5.745229
r=0.6	x=3.399696	y=0.314518	al=2.181551	a1=0.887016	a2=0.693147	S=5.711094
r=0.7	x=3.394093	y=0.370121	al=2.138271	a1=0.907237	a2=0.676779	S=5.670397
r=0.8	x=3.387435	y=0.426779	al=2.0935	a1=0.928654	a2=0.66007	S=5.622763
r=0.9	x=3.379653	y=0.48456	al=2.04714	a1=0.951396	a2=0.642993	S=5.567776
r=1	x=3.37067	y=0.543544	al=1.99908	a1=0.975613	a2=0.625518	S=5.50497
r=1.1	x=3.360396	y=0.603818	al=1.949195	a1=1.001482	a2=0.607609	S=5.433824
r=1.2	x=3.348729	y=0.665485	al=1.89734	a1=1.029208	a2=0.589226	S=5.353747
r=1.3	x=3.335552	y=0.728662	al=1.84335	a1=1.059037	a2=0.570324	S=5.264067
r=1.4	x=3.320728	y=0.793485	al=1.78703	a1=1.091262	a2=0.550847	S=5.164009
r=1.5	x=3.304096	y=0.860117	al=1.728154	a1=1.126239	a2=0.530732	S=5.052674
r=1.6	x=3.285465	y=0.928749	al=1.66645	a1=1.164403	a2=0.509902	S=4.929003
r=1.7	x=3.264603	y=0.999611	al=1.601592	a1=1.206293	a2=0.488266	S=4.791735
r=1.8	x=3.241227	y=1.072986	al=1.533178	a1=1.252592	a2=0.46571	S=4.639344
r=1.9	x=3.214985	y=1.149229	al=1.46071	a1=1.304172	a2=0.442093	S=4.469946
r=2	x=3.185425	y=1.228788	al=1.383551	a1=1.36218	a2=0.417233	S=4.281169
r=2.1	x=3.151958	y=1.312255	al=1.300866	a1=1.428154	a2=0.390894	S=4.069936
r=2.2	x=3.113784	y=1.400429	al=1.211525	a1=1.504234	a2=0.362751	S=3.832129
r=2.3	x=3.069772	y=1.494442	al=1.113926	a1=1.548083	a2=0.332346	S=3.560998
r=2.4	x=3.018222	y=1.595991	al=1.005669	a1=1.440902	a2=0.298989	S=3.246278
r=2.5	x=2.95637	y=1.707843	al=0.882842	a1=1.308067	a2=0.26155	S=2.877567
r=2.6	x=2.879098	y=1.835116	al=0.738207	a1=1.135275	a2=0.217937	S=2.429574
r=2.7	x=2.774528	y=1.989686	al=0.554967	a1=0.889938	a2=0.163271	S=1.844284
r=2.8	x=2.592212	y=2.222001	al=0.261779	a1=0.44029	a2=0.076749	S=0.878422
r=2.9	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3.1	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3.2	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3.3	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3.4	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
 

 

 

 

Я вывел и значения промежуточных переменных, чтобы удобнее было анализировать.

Похоже, что углы a1 и a2 в радианах.

Переведём их в градусы и пересчитаем ещё раз:

Прогр:

  Показать контент

 

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади серпа.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади серпа.</font></b><br><br>";
$R2 = 2 + sqrt(2);
echo "R2 = ".$R2."<br>";
$pi=pi(); 

//44

$rx=0.1;// шаг изменения r
echo "<table>";

for ($r=0; $r<=$R2; $r+=$rx)
{
  echo "<tr>";
  echo "<td>";
  echo "r=".$r;

  echo "</td><td>";

  //x = (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $x = ( sqrt (4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " x=".round($x,6)." ";

  echo "</td><td>";


  //y = R2 + r/2 - (v (4*R22 - 4*R2*r - r2)  + 2*R2 + r) / 4
  $y = $R2 + $r/2 - ( sqrt(4*$R2*$R2  - 4*$R2*$r - $r*$r)  + 2*$R2 + $r) / 4;
  echo " y=".round($y,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //al =  v2*(x - y)/2
  $al =  sqrt(2)*($x - $y)/2;
  echo " al=".round($al,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a1 = arcsin(al/R1) = arcsin( al/(R2 - r) )
  $a1 = ( asin( $al/($R2 - $r) ) )*180/$pi;
  echo " a1=".round($a1,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //a2 = arcsin(al/R2)
  $a2 = ( asin($al/$R2) )*180/$pi;
  echo " a2=".round($a2,6)." ";

  echo "</td><td>";

  //Площадь Серпа =
  //pi * (R2 - r)2 * arcsin( ?2 * (x - y) / (2 * (R2 - r)) ) / 180   -  
  //pi * R22 * arcsin( v2 * (x - y) / (2 * R2) ) / 180  +
  //v2*(x - y) * R2 * cos( arcsin( v2 * (x - y) / (2 * R2) )  ) / 2

  $S=
  $pi * ($R2 - $r)*($R2 - $r) * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * ($R2 - $r)) ) / 180 -
  $pi * $R2*$R2 * asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * $R2) ) / 180 +
  sqrt(2)*($x - $y) * $R2 * cos( asin( sqrt(2) * ($x - $y) / (2 * $R2) )  ) / 2;
  echo " S=".round($S,6)."<br>";

  echo "</td>";
  echo "/<tr>";
}
echo "</table>";

?>
</body>
</html> 

 

 

 

Рез::

  Показать контент

 

r=0	x=3.414214	y=0	al=2.414214	a1=45	a2=45	S=5.828427
r=0.1	x=3.413842	y=0.050372	al=2.378333	a1=45.858003	a2=44.154656	S=5.822539
r=0.2	x=3.412704	y=0.101509	al=2.341368	a1=46.755945	a2=43.296265	S=5.811527
r=0.3	x=3.410763	y=0.15345	al=2.303268	a1=47.697243	a2=42.424002	S=5.795149
r=0.4	x=3.407979	y=0.206234	al=2.263975	a1=48.68574	a2=41.536959	S=5.773144
r=0.5	x=3.404306	y=0.259907	al=2.223426	a1=49.725776	a2=40.634134	S=5.745229
r=0.6	x=3.399696	y=0.314518	al=2.181551	a1=50.822275	a2=39.714416	S=5.711094
r=0.7	x=3.394093	y=0.370121	al=2.138271	a1=51.980851	a2=38.776568	S=5.670397
r=0.8	x=3.387435	y=0.426779	al=2.0935	a1=53.207942	a2=37.819208	S=5.622763
r=0.9	x=3.379653	y=0.48456	al=2.04714	a1=54.510968	a2=36.840778	S=5.567776
r=1	x=3.37067	y=0.543544	al=1.99908	a1=55.898535	a2=35.839518	S=5.50497
r=1.1	x=3.360396	y=0.603818	al=1.949195	a1=57.380698	a2=34.81342	S=5.433824
r=1.2	x=3.348729	y=0.665485	al=1.89734	a1=58.969292	a2=33.760184	S=5.353747
r=1.3	x=3.335552	y=0.728662	al=1.84335	a1=60.678359	a2=32.677148	S=5.264067
r=1.4	x=3.320728	y=0.793485	al=1.78703	a1=62.524722	a2=31.561205	S=5.164009
r=1.5	x=3.304096	y=0.860117	al=1.728154	a1=64.528744	a2=30.408695	S=5.052674
r=1.6	x=3.285465	y=0.928749	al=1.66645	a1=66.71536	a2=29.215249	S=4.929003
r=1.7	x=3.264603	y=0.999611	al=1.601592	a1=69.115521	a2=27.975587	S=4.791735
r=1.8	x=3.241227	y=1.072986	al=1.533178	a1=71.768238	a2=26.683227	S=4.639344
r=1.9	x=3.214985	y=1.149229	al=1.46071	a1=74.723572	a2=25.330059	S=4.469946
r=2	x=3.185425	y=1.228788	al=1.383551	a1=78.047144	a2=23.905712	S=4.281169
r=2.1	x=3.151958	y=1.312255	al=1.300866	a1=81.827206	a2=22.396561	S=4.069936
r=2.2	x=3.113784	y=1.400429	al=1.211525	a1=86.186261	a2=20.784091	S=3.832129
r=2.3	x=3.069772	y=1.494442	al=1.113926	a1=88.698647	a2=19.042015	S=3.560998
r=2.4	x=3.018222	y=1.595991	al=1.005669	a1=82.55758	a2=17.130779	S=3.246278
r=2.5	x=2.95637	y=1.707843	al=0.882842	a1=74.946725	a2=14.98573	S=2.877567
r=2.6	x=2.879098	y=1.835116	al=0.738207	a1=65.046472	a2=12.486866	S=2.429574
r=2.7	x=2.774528	y=1.989686	al=0.554967	a1=50.989703	a2=9.354717	S=1.844284
r=2.8	x=2.592212	y=2.222001	al=0.261779	a1=25.226744	a2=4.397368	S=0.878422
r=2.9	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3.1	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3.2	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3.3	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN
r=3.4	x=NAN	y=NAN	al=NAN	a1=NAN	a2=NAN	S=NAN 

 

 

[E.K.]

  В 15.02.2019 в 23:46, Sandynist сказал:

Есть небольшое предложение — возможно неплохо было бы включить в этой теме шапку, в которой публиковать условия текущей решаемой задачи. Все решённые задачи прятать под спойлер, а самую актуальную держать в заголовке.

Отличная идея!

Текущая задача:

 

Есть Г-образный коридор шириной 1 (2 рукава коридора сходятся под углом 90 градусов).

Какой максимальной площади диван сейф можно переместить из одного рукава в другой?

 

Для примера - квадратный сейф площадью 1 (1х1) перемещается в 2 движения - до упора по горизонтали, до упора по вертикали.

Сейф не обязательно квадратный, он любой формы.

Интересует только плоская площадь. Какой он по вертикали - неважно, поворачивать на бок и катить сейф нельзя.

Количество денег баллов в сейфе не уточняется.

 

P.S. И без подглядывания в интернеты!

 

Начало обсуждения здесь: https://forum.kasperskyclub.ru/index.php?showtopic=54210&p=915382

[E.K.]

  В 18.02.2019 в 13:18, eve-nts сказал:

Я вывел и значения промежуточных переменных, чтобы удобнее было анализировать.

Похоже, что углы a1 и a2 в радианах.

Переведём их в градусы и пересчитаем ещё раз:

Промежуточные вычисления - это правильно. Ошибки всегда .. такие ошибки!

 

Именно так! Там деление на 180 - это градусы.

 

  В 18.02.2019 в 13:18, eve-nts сказал:

r=0	x=3.414214	y=0	al=2.414214	a1=45	a2=45	S=5.828427

S = 5.8

Где-то ошибка.. Сейчас буду проверять.

 

При стремлении r->0 малый (синий) круг вырождается в большой (красный). Точки пересечений {x,y} стремятся к {R₂, 0}, длина al -> R₂/√2 серп вырождается в дугу, а его площадь стремится к нулю (а не к 6).

 

Смотрим... r=0.

 

{x,y} = {0,R₂} = {0,3.4142135} 

a1 = a2 = половина прямого угла

длина отрезка al = вот бы на него ещё посмотреть..

 

Значит, бага где-то в моей формуле серпа:

 

Площаль Серпа =

pi * (R₂ - r)² * arcsin( √2 * (x - y) / (2 * (R₂ - r)) ) / 180   -  

pi * R₂² * arcsin( √2 * (x - y) / (2 * R₂) ) / 180  +

√2*(x - y) * R₂ * cos( arcsin( √2 * (x - y) / (2 * R₂) )  ) / 2

 

На самом деле должны получиться следующие значения:

 

четверть площади большого круга -

черверть площади большого круга (в который выродлается малый) +

площади двух прямых, к которые вырождаются треугольники.

 

Смотрим...

 

Площаль вырожденного Серпа =

pi * R₂² * arcsin( √2 * R₂ / (2 * R₂) ) / 180  =  pi * R₂² * arcsin (√2 / 2 ) / 180 = pi * R₂² * 45/180 = pi * R₂² / 4  .

pi * R₂² * arcsin( √2 * R₂ / (2 * R₂) ) / 180  // Для полной красоты цифра площади = pi * (2 + √2)² * 45 / 180 = 9.155

√2* R₂ * R₂ * cos( arcsin( √2 * R₂ / (2 * R₂) )  ) / 2

 

Она равна... OA'O₁ = OO₁ * A'L' / 2 = (R₂- r) * al /2 * cos(a₂)

Исправления выделены красным. /2 - это гасится умноженеим на два, там же два треугольника. Но откуда там вообще косинус взялся?? .... ааа, по ошибке была подсчитана площадь треугольника OA'L' (вместо искомого OA'O₁).

 

Итого, исправленная формула выглядит вот так (исправления красным, ненужный арксинус просто убит) ->

 

Площаль Серпа =

pi * (R₂ - r)² * arcsin( √2 * (x - y) / (2 * (R₂ - r)) ) / 180   -  

pi * R₂² * arcsin( √2 * (x - y) / (2 * R₂) ) / 180  +

√2*(x - y) * (R₂- r)    r * (x-y)

 

Вроде всё.. Приношу извинения за косяк. Хотя, могли бы и сами заметить