Математическое и загадочное

[eve-nts]

Получается парабола.

Максимальная площадь примерно (визуально по графику) при r=0.75 s=2.4

[E.K.]

Кстати, не вижу проблем подсчитать площадь трубки для произвольного радиуса 'r'. Ещё раз смотрим на картинку..

 

Вертикаль AA' = 1 и она же = OA*sin(a) = (1 + r*cos(a)) * sin(a)

Получается что:

 

sin(a) + r*sin(a)*cos(a) = 1

 

Можно вспомнить, что sin(a)*cos(a) = sin(2a)/2 ... но всё равно 'r' как-то непонятно высчитывается.

 

Тогда можно попробовать рисовать трубку, считать радиус 'r' и площадь трубки в зависимости от угла 'a'.

 

r = 2*(1 - sin(a)) / sin(2a)

 

Дальше подставляем в уже полученную выше формулу (площади боковых сегментов, но считать от 0 до 'a'), плюс надо пересчитать формулу треугольника BCO, его площадь вроде получается (1 + r*cos(a))*cos(a). Итого,

 

S = a + 2r*sin(a) + r² * a/2 + r² * sin(2a)/4  +  (1 + r*cos(a))*cos(a) - π*r² /2

 

Проверяю. Трубка вырождается в полукруг при a=90° (или же π/2), r=0 ... => S = π/2, вроде всё верно.

[E.K.]

Получается парабола.

Максимальная площадь примерно (визуально по графику) при r=0.75 s=2.4

Отлично! "Роман летел к развязке" (с).

Но ту формулу я выводил из предположения прямого угла, что даёт минимальный 'r = 0.586'  - но визуально там площадь получается тоже больше двойки.

 

Но замечание. Парабола получается в зависимости от 'r' - это само собой разумеется, поскольку там квадратичная функция

[E.K.]

Максимальная площадь примерно (визуально по графику) при r=0.75 s=2.4

Увы, при r>0.586 трубка с ограничением a=π/4 не лезет в коридор

 

То есть, максимальная площадь при прямом угле достигается на r=0.586

[eve-nts]

 

То есть, максимальная площадь при прямом угле достигается на r=0.586

 

S = π/4 + 2r*sin(π/4) + r² * π/8 + r² * sin(π/2)/4 +  1  -  π*r² /2

 

Тогда S= 2.29542

[E.K.]

Тогда S= 2.29542

Ура-ура! Бьют барабаны, трубят трубы и дамы чепчики в воздух кидают.

Мы научились протаскивать за угол фигуру с площадью больше двойки.

 

На этом, наверное, можно успокоиться и переходить к другим задачам.

 

Спасибо eve-nts за помощь! А зрителям - за пристальное внимание

 

Какие следующие задачки накидывать? - есть геометрические, есть алгебраические.. Какие?

 

------

 

UPD. Но предже чем ехать дальше, в интернетах есть настоящие научные изыскания про данную проблему.

 

Предыдущий рекордсмен: http://mathworld.wolfram.com/MovingSofaProblem.html

Текущий рекордсмен (придумано в 2018)  https://arxiv.org/pdf/1706.06630.pdf

 

 

Вроде бы со сглаженными углами его "пролезабельность" повышена до аж 2.37 - о как!

 

А вот такая штука - максимально пролезабельная за два угла, направо и налево.

 

Теперь вроде совсем всё про затаскивание мебели за угол.

[Sandynist]

 

 

Какие следующие задачки накидывать? - есть геометрические, есть алгебраические.. Какие?

 

Если возможно, то лучше по очереди. Заметил, что геометрические задачи форумчане решают с большим трудом. И количество участников в решении таких задач намного меньше.

[E.K.]

Мальчики и девочки, я - перфекционист (не путать с занудой). Посему если где-то я нахожу неточности в картинке, то мне немедленно хочется их исправить... или хотя бы на них указать. Вот что тут получается. В мои измышления вкралась неточность. Даже две.

 

дуги AD и CG на картинке справа описываются формулами "расстояние от точки дуги до O равно 1+r*cos(a)", при этом угол 'a' принимает значения от 0 до 45° - поскольку фигура симметричная, то совершая аналогичный поворот ещё на 45° по той же формуле мы протаскивает всю фигуру за угол (поворот 90°).

 

1. Увы, это не так. Поворотом на 45° мы "всовываем хобот" только, но совершенно забываем про "хвост". То есть, для правильного исчисления данной задачки надо либо всю фигуру (и хобот, и хвост) проворачивать на 45° (а там вдруг могут быть немного разные формулы), либо же половину фигуры поворачивать на 90° (вот тогда и "хвост" симметрично отработает).

 

2. Не факт, что уже пролезшие части конструкции вдруг снова не вылезут за её пределы. Это как-бы глазуально видно, но нужна формальная формула. Что-то лень

 

3. Кстати, я совершенно запамятовал поиспользовать тот факт, что вписанный в окружность угол на диагонали = 90°, это даже в Википедии есть

 

-----

 

Итого, я считаю, что если спилить с нашей конструкции по паре сантиметров по краям, смазать маслицем, да толкнуть хорошенько... то у нас уже есть 2.29 "теоретических", чутка уменьшим фигурку, да по смазанному - тогда сейф на 2+ точно пролезть должен!

 

Спасибо за внимание

 

// Хоооорошая задачка, аж на 8 страниц получилась...

[E.K.]

Если возможно, то лучше по очереди. Заметил, что геометрические задачи форумчане решают с большим трудом. И количество участников в решении таких задач намного меньше.

Категорически согласен!

 

Давайте решать поочерёдно. Геометрические, алгебраические и наоборот. Но поскольку у меня есть только одна единственная геометрическая задачка, то давайте сначала её - а потом уже про алгебру потрём.. Согласны? ... Не слышу. Наверное согласны.

 

Тогда задачка следующая ==>>

 

!Без подглядывания в Интернеты!

 

 

Задача:

 

Есть три окружности неравных радиусов. Ко всем ним проведены касательные линии. Доказать, что пересечения этих линий лежат на одной прямой.

 

Вот, на моей картинке - на прямой. Докажите, что любая другая такая картинка будет с прямой зелёной линией.

 

Успехов, чмоки!

[E.K.]

Что притихли? Задачка ОЧЕНЬ простая. Достаточно внимательно посмотреть на картинку, нарисовать центры окружностей, провести прямые линии...

 

 

И ответить на простой вопрос, который на картинке нарисован.

[Deadman]

 

 

И ответить на простой вопрос, который на картинке нарисован.

 

180 градусов будет. Осталось доказать

[eve-nts]

Задача, похоже, не очень сложная. 

Нужно доказать, что сумма углов b1+b2=180 град. Тогда это будет прямая линия.

 

[E.K.]

Точно! Давайте посмотрим на разные треугольники на картинке...

 

Что про них можно сказать?

[Deadman]

А мы уверены, что A2EF треугольник, а не четырехугольник А2EXF? Если да, то по выделенным на изображении смежным треугольникам и их общим углам выводится требуемое доказательство.

[eve-nts]

a1 + a2 + a3 = 180

z + c1 = 180  - a1 - (b1 + e)

x + c1 = 180 - a3 - (d1 +f)

(180 - a2) + e + b1 + f + d1 = 180 ->   a2 =  e + b1 + f + d1 {хотя какое-то странное получилось уравнение для треугольника EA2F  }