Математическое и загадочное

[E.K.]

Ну, и пока я еду в аэропорт, ответьте мне на вот такую теперь уже совсем простенькую загадку и без применения тяжёлых программно-аппаратных средств:

 

1. На какую цифру заканчивается число 777⁷⁷⁷ ?

 

Теперь усложнение:

 

2. А две последние цифры получится вычислить?

3. А злые и оставшиеся без пива админы тут же бы подсказали: а три последние цифры, ха-ха-ха, а то все в бан!

[Себастьян Перейро]

оканчивается на 97 

Изменено 7 апреля, 2019 пользователем Себастьян Перейро

[thyrex]

777 mod 4 = 1 => последня цифры 7

777 mod 4 = 1 => последние две цифры 07

777 mod 20 = 17 => три последние цифры 207

[E.K.]

оканчивается на 97 

Это ответ на какой из вопросов? - а то тут есть альтернативные мнения:

 

777 mod 4 = 1 => последние две цифры 07

777 mod 20 = 17 => три последние цифры 207

[Себастьян Перейро]

@E.K.,

 

777 в 777 степени оканчивается на 97. (два последних числа).

Изменено 8 апреля, 2019 пользователем Себастьян Перейро

[Fireman]

кхм, действительно 97 - круто!

 

я делал топорно и в лоб

 

1) для одной цифры

 

777⁷⁷⁷ mod 10 = 7 * 7⁷⁷⁶ * 111⁷⁷⁷ mod 10 = 7 * 49³⁸⁸ * 111⁷⁷⁷ mod 10 = 7 * (-1)³⁸⁸ * (1)⁷⁷⁷ mod 10 = 7

 

2) для двух цифр

 

из разложения бинома Ньютона (700 + 70 + 7)⁷⁷⁷ следует, что для определения последних двух цифр необходимо вычислить следующие члены:

 

...777 * 70 * 7⁷⁷⁶ + 7⁷⁷⁷ = ... 54390 * 7⁷⁷⁶ + 7⁷⁷⁷

 

 

7⁷⁷⁶ mod 10 = 49³³⁸ mod 10 = (-1)³³⁸ mod 10 = 1

 

т.е. 54390 * 7⁷⁷⁶ будет заканчиваться на ...90

 

7ⁿ mod 100 даёт 2 последние цифры 07, 49, 43, 01, 07, .... т.е. цикл размером 4

 

Поскольку 777 mod 4 = 1, то 7⁷⁷⁷ заканчивается на 07

 

Откуда ...90 + ...07 = ...97

 

 

Но у меня это мега в лоб получается , что некрасиво

 

А в одну строчку - это круто!!!

Изменено 8 апреля, 2019 пользователем Fireman

[thyrex]

а то тут есть альтернативные мнения

уже заметил свой косяк. Мое мнение неверно

[Fireman]

Остается рассмотреть варианты степеней 3 и 7. Возможны 5 случаев: 1) троек и семерок поровну; 2) присутствуют обе цифры и троек больше, чем семерок; 3) присутствуют обе цифры и семерок больше, чем троек; 4) число состоит только из троек; 5) число состоит только из семерок.

 

На самом деле все 5 случаев можно объединить в один два:

 

P = 3^m7ⁿ

 

где P - искомое произведение цифр

 

P₁=21^m7^n-m

P₂=21ⁿ3^m-n

 

Вот эти 2 случая и можно рассмотреть:

 

Чтобы число 3^x заканчивалось на 1 оно должно быть вида (3*3*3*3)^y=(81)^y

Чтобы число 7^x заканчивалось на 1 оно должно быть вида (7*7*7*7)^y=(2401)^y

 

Т.е. наши 2 варианта будут 

 

P₁=21^x81^y

P₂=21^x2401^y

 

Число 21^x через бином Ньютона можно представить как (2*10 + 1)^x = ... + x*2*10¹ + 1 и значит, что оно всегда в любой степени будет заканчиваться на чётное число (член 20x) и единицу.

Аналогично числа 81 и 2401 в любой степени будут заканчиваться на четное число и единицу

 

А их произведение (...20a + 1)*(...20b + 1) = ... + 20( a + b ) + 1 так же будет заканчиваться на четное число и единицу.

 

Так что подвыпившие ребятки как-то уж очень странно стирали числа, чтобы получить 11

Изменено 8 апреля, 2019 пользователем Fireman

[Себастьян Перейро]

кхм, действительно 97 - круто!

 

я делал топорно и в лоб

 

......

..... из разложения бинома Ньютона (700 + 70 + 7)⁷⁷⁷ следует, что для определения последних двух цифр необходимо вычислить следующие члены:

 

...777 * 70 * 7⁷⁷⁶ + 7⁷⁷⁷ = ... 54390 * 7⁷⁷⁶ + 7⁷⁷⁷

 

Но у меня это мега в лоб получается , что некрасиво

 

А в одну строчку - это круто!!!

 

1. Если ответ на мой ответ - то нет у меня не круто.

В лоб - как раз у меня и получилось.

Я ведь рабоче-крестьянин - считаю на пальцах, в уме и на бумажке.

В поисках паттерна решал в лоб умножая два последних числа в множителях (в уме и писал промежуточные варьянты на гумажку).

И пришлось сделать эту тупую работу двадцать раз - прежде чем паттерн получился.

вот паттерн -  29,33,41,57,89,53,81,37,49,73,21,17,09,93,61,97,69,13,01,77.

 

после этого оставалось поделить 777 на количество паттернов. И на неполном последнем паттерне выбрать нужную оконцовку из двух чисел.

 

кстати в этом паттерне есть закономерность и после трех первых степеней можно было применить и ее (для построения паттерна).

каждое последующее число получается прибавлением удвоенной разницы между чисел к предыдущему....

Если интересно - понаблюдайте за пропорцией разницы в числовом ряду.. это красиво..

но я это увидел ужо опосля -  когда паттерн написал вручную методом тыка...

 

============================

с другом в метро вечером ехали - я ему про эту задачку рассказал. Он на своем смартфоне на питоне вот такое выдал (принтскрины):

 

 

 

==============================

 

а у Вас и правда круто - уровень работы с математикой весьма высокий.

Евгений Валентинович умеет аккумулировать вокруг себя математиков    (я не про себя если что).

Изменено 8 апреля, 2019 пользователем Себастьян Перейро

[Deadman]

Притащил с просторов интернета :

 

Вася и Петя сидят в парке на лавочке и неспешно пьют пиво, загадывая друг другу разные загадки. На соседней лавочке пригрелась небольшая стайка голубей. Вася говорит:
— Смотри: количество голубей вон на той лавке равно произведению возрастов двух моих детей–дошкольников. Знаешь, сколько им лет?
Петя окидывает взглядом голубей:
— Мало информации.
— Хм... Младший похож на маму!
И Петя мгновенно называет возраст обоих детей.
Сколько же лет детям?

[E.K.]

Это просто.. Было же покруче. Вот здесь: https://forum.kasperskyclub.ru/index.php?showtopic=54210&p=842787

 

 

Задачка:

 

Однажды осенней ночью очень злой админ фанклуба загадал два различных натуральных числа, оба больше 1 и меньше 100. Потом он запер фанклуб тремя замками, но с парой фанклубнев внутри. При чём здесь числа? - Всё просто. Нужно отгадать их. Злой админ сказал фанклубням сумму и произведение своих магических чисел.

 

Одному фанклубню он сказал их Произведение (фанклубень-П), другому - их Сумму (фанклубень-С) -- а сам пошёл пить пиво (чем админы обычно и занимаются после бана фанклубней). Клубни посмотрели каждый на свой результат: клубень-П на произведение, а клубень-С на сумму, друг к другу не подглядывая (через стены не посмотришь, вайфая и прочего сетевого нет вообще, мы в подземельях фанклуб-админия). Через некоторое время клубень-П крикнул своему коллеге по несчастью:

 

 -- Я не могу определить что загадал злой админ, мне не хватает данных.

 -- А я сразу знал, что тебе не хватит данных! - порадовал его знаток суммы чисел клубень-С.

 -- Ага, ну тогда я знаю что за числа загадал админ! - сказал клубень-П.

 -- Ну, раз так... то и я знаю! - сказал второй, двери открылись, прилетел вертолёт и они вместе пошли пить пиво.

 

[Fireman]

-- Ну, раз так... то и я знаю!

 

Чёртовы телепаты!!!

 

 

Боюсь даже представить как решали эту задачку в уме Клубень-П и клубень-С.

 

У Клубня-П всего было 4753 варианта из 2783 возможных произведений.

 

Когда Клубень-П осознал, что он не может разгадать 2 зашифрованных в произведении числа, то у него осталось 3021 вариант из 1051 произведений.

 

Исходя из ответа Клубня-С клубню-П у него был 3021 вариант из 170 возможных сумм.

 

Если считать, что Клубень-С не хотел троллить и мучить Клубня-П лишними подсказками, то, когда он сказал, что знал про ситуацию у Клубня-П, у него оставалось всего 3010 из 159 возможных сумм.

 

Этот факт и то, что Клубень-П после этого смог сказать, какие числа зашифрованы в его произведениях у Клубня-П оставалось всего 2 варианта из 2 произведений (для нас, для Клубня-П все было уже ясно).

 

И вроде решение уже близко, но факт того, что Клубень-П понял, какие у него в произведении числа даёт целых 2 варианта из 2 сумм для Клубня-С 

 

А я так надеялся на то, что останется только 1 вариант 

 

Но логика же была правильная!!! ... мне кажется   

Изменено 10 апреля, 2019 пользователем Fireman

[E.K.]

Чёртовы телепаты!!!

Что, разве никак? Если совсем никак - то по ссылке выше приводится обсуждение задачки и её единственное решение. Кстати, похоже, что решение единственное на всём множестве натуральных чисел (если верна проблема Гольдбаха).

 

 

небольшая стайка голубей. Вася говорит:

...

Сколько же лет детям?

Это совсем просто. Нужно поиграться с числами от 1 до 6 (школьный возраст).

 

1. Может ли быть стайка голубей из одного голубя? Мы же математики, почему нет. Но 1 не подходит, поскольку тут же ответ: двойня по 1 году.

 

Кстати, 0 тоже не подходит, поскольку ноль голубей, а детям может быть одному ноль лет, а другому сколько хотите. Отгадать никак нельзя.

 

2. Не подходит, поскольку тут же ответ "1 и 2". Так же не подходят все простые числа.

3. Простое число.

 

4. Оно! (почему - сами догадаетесь? )

5. Простое.

6. = 1*6 = 2*3, даже после второй фразы решение не однозначное.

 

И так далее.

 

Или ещё проще: два неравных натуральных числа (от 1 и выше), произведение которых есть квадрат некого другого числа, при этом разложение на множители состоит только из 1 и ещё двух чисел, дающих при перемножении результат меньше школьного возраста.

[Fireman]

 

 

Что, разве никак?

 

У меня была такая идея:

 

1) раз Клубень-П не смог сразу угадать числа, то произведение точно не является

 

а) произведением двух любых простых чисел (потому что это однозначно раскладывает произведение на 2 числа)

б) произведением трёх одинаковых простых чисел (потому что в этом случае 3 числа x дают только один вариант {x, x²})

в) произведением чисел, в котором одно простое, а второе составное, но не позволяющее собрать несколько комбинаций, например 366, потому-что возможны 3 варианты такого произведения - {2, 61*3}, {3, 61*2}, {6, 61*3} - но из них подходит только первое, у остальных одно из чисел больше 100, что не соответствует условиям задачи

 

 

итого у Клубня-П остаётся только 4753 варианта из 2783 возможных произведений.

 

 

2) раз Клубень-С изначально знал, что Клубень-П не разложит своё произведение, то его сумма 

 

а) не является суммой чисел описанных в п.1)

 

итого у Клубня-С остаётся только 3021 вариант из 170 возможных сумм

 

 

но раз Клубень-С сам не смог узнать из суммы на какие числа раскладывается эта сумма (после того, как Клубень-П сказал ему о том, что не может разложить своё произведение), то его сумма

 

б) не предполагала однозначного разложения (например сумма равная 3)

 

итого у Клубня-С остаётся всего 3010 из 159 возможных сумм.

 

 

3) раз Клубень-П после того, как узнал о ситуации у Клубня-С смог однозначно определить числа, значит

 

а) после того, как он применил к своим произведениям знания о суммах Клубня-С (исключил некоторые суммы), у него осталось произведение только с 1 вариантом разложения (остальные по суммам были отсеяны)

 

И таких произведения только два:

 

6624 = 72 * 92

7200 = 75 * 96

 

 

4) после того как Клубень-П сообщил о том, что смог разложить произведение, Клубень-С знал эти 2 варианта и значит знал суммы, а дальше посмотрел на свою сумму и выбрал правильные числа

 

И всё бы ничего, но для нас, внешних наблюдателей разговора Клубней и не знающих, какая сумма у Клубня-С однозначного решения не получалось, потому что суммы 

 

164 = 72 + 92

171 = 75 + 96

 

присутствуют у Клубня-С среди его 159 возможных сумм (п.2).

 

 

Или я вообще неправильно решил или упустил какой-то момент, который позволил бы одну из сумм исключить из рассмотрения.

Deadman

 

На счёт возрастов детей есть схожая задачка:

 

Встречаются 2 приятеля, один другому говорит

 

- у меня трое детей, угадай сколько им лет

- ок, давай подсказки

- произведение их возрастов равно 36

- мало информации

- сумма их возрастов равно кол-ву окон в доме напротив

- мало информации

- один из них - рыжий

 

после этого приятель смог сказать возраста детей

[oit]

 

 

- сумма их возрастов равно кол-ву окон в доме напротив -

тут разные интерпретации могут быть)) про номер трамвая ...

Совсем недавно на всех сайтах была эта задачка, похоже))