Математическое и загадочное

1 февраля, 2019

Повторяю первый вопрос: нужно выяснить зависимость R2 от R1, чтобы конструкция пролезала через угол. Граничные значения {R1,R2} = {1,0} у полукруга и {3.41,3.41} у трубы.

Получается как-то так.. Выделенный синим треугольник ->

R₂² = 2 * (R₁ - 1)²

То есть,

R₂ = (R₁ - 1) * √2

Проверяйте..

Теперь надо найти площадь закрашенного сегмента бублика. Получается вот что..

Площадь бублика = площадь S1 (всё закрашенное, сегмент круга BDC) минус площадь S2 (B'D'C'). Площадь же сегмента круга = площадь сектора ABDC (AB'D'C') минус площадь треугольника ABC (AB'C'). Пусть угол BAC = a, угол B'AC' = a'

Тогда:

S1 = pi * R₁²* ( a / 360° ) - 1/2 * R₁² * sin(a)

Теперь надо подсчитать угол 'a'... Что у нас там на картинке получается...

R₁ - 1 = R₁ * sin( (180° - a)/2 ) = R₁ * sin(90° - a/2)

sin(90° - a/2) = sin(90°)*cos(a/2) + cos(90°)*sin(a/2) = cos(a/2)

a = 2*arccos(1 - 1/R₁)

Проверяйте, а то я и налажать могу

Теперь угол a' ... Так, а мне одному кажется, что он равен 90° ??

1 февраля, 2019

Он действительно 90° , на картинке на левом бублике это видно: половина угла a' есть ровно 45°

Так, теперь получается что...

S1 = pi * R₁² * ( a / 360° ) - 1/2 * R₁² * sin(a)

S2 = pi * R₂² * ( 1/4 ) - 1/2 * R₂² =

подставляем R₂² = 2 * (R₁ - 1)²

= 1/4 * pi * 2 * (R₁-1)² - 1/2 * 2 * (R₁-1)² = (R₁-1)² * (pi/2 - 1)

Теперь чо, типа арккосинус(1 - 1/R₁) подставлять надо?? Ой, что-то мне не хочется.. Потом же ещё максимум функции искать Но в целом первая версия функции получается. Можно ещё попробовать через угол a повыпендриваться... Вдруг попроще будет?

Так, уже выясняли, что R₁ - 1 = R₁ * cos (a/2) , тогда:

R₁ = 1 / (1 - cos (a/2) )

и можно подставлять в вышесказанное...

S1 - S2 = pi * R₁² * ( a / 360° ) - 1/2 * R₁² * sin(a) - (R₁ - 1)² * (pi/2 - 1)

Но тоже какая-то несъедобность получается:

( 1/( 1 - cos(a/2) ) )² * (pi*a/360 - 1/2 * sin(a) ) - ( cos (a/2) / (1 - cos (a/2) ) )² * (pi/2 - 1)

Что-то этого крокодила тоже дифференцировать не хочется...

1 февраля, 2019

А мож быть не стоит этот огород городить, мож быть полукруг с результатом pi/2=1.57 и есть наш чемпион?

Нет, это не так. Можно посмотреть на изменение площади вот этого (красного) огрызка и поискать его максимумы. Поскольку угол всегда 90°, то считается оно элементарно. И вместо R₁ буду для простоты ставить просто R.

Площадь "четвертного" сегмента = площади четверти (внешнего - внутреннего) кругов.

pi/4*(R² - R₂²) = pi/4 * (R² -2*(R-1)²) = pi/4 * ( -R² + 4R - 2 )

Это дифференцируется в уме, получаем максимум при R=2... поскольку, если мне склероз не изменяет (я дифференциалы уже почти 40 лет не брал!), это будет -2R + 4 = 0 , то есть = максимум где R=два. Считаем площадь огрызка... Она равна pi/2 - то есть, ровно сколько "весит" пол-круга! Но мы же считали только "красный огрызок", а там же ещё есть "серые довески".

То есть, при R=2 мы можем протащить кусок по площади больше половины круга.

То есть, как-то надо искать максимумы у той крокодил-формулы... Или какие-то решения попроще.

2 февраля, 2019

E.K. сказал:
Но мы же считали только "красный огрызок", а там же ещё есть "серые довески".

С серыми довесками получается очень даже круто, но я не могу проверить Ваши выкладки, в университете

по дифференциальному и интегральному исчислению у меня была только "4".

Я читал условия решения этой задачи, а в случае серпа, получаются более простые вычисления, чем в случае описанной Вами фигуры.

cyclowiki.org/wiki/Площадь_серпа

http://cyclowiki.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B

Интуиция мне подсказывает, что эта фигура будет проходить через угол в 90 градусов без особого

труда. За ссылку на вики, можете наказать меня баллов на 2000 .

Изменено 2 февраля, 2019 пользователем iv65

2 февраля, 2019

Математика - самая точная из всех точных наук

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов

https://cloud.mail.ru/public/3dVS/2A25HLQFL

Изменено 2 февраля, 2019 пользователем iv65

2 февраля, 2019

Математика - самая точная, красивая и загадочная наука. Но нечего мне зубы заговаривать! Ещё надо:

1. "Крокодиловыми" формулами оперировать невозможно.. Надо попробовать "плясать от" других характеристик? Например, от длины отрезков BB' или BC, например. Мож быть, там формулы попроще будут?

2. А также доказать, что бублик - оптимальная фигура.

2 февраля, 2019

В 01.02.2019 в 18:35, E.K. сказал:
Но тоже какая-то несъедобность получается:

( 1/( 1 - cos(a/2) ) )² * (pi*a/360 - 1/2 * sin(a) ) - ( cos (a/2) / (1 - cos (a/2) ) )² * (pi/2 - 1)

Упрощённый "огрызок бублика" дал максимальную площадь на R=2. Какой у нас там угол a получается?

a = 2*arccos(1 - 1/R₁) = 2*arccos(1/2) = вроде бы 2*60° = 120°

Так может быть, просто взять "крокодилью формулу", загнать её в мат-калькулятор и прогнать значения угла a от 110 до 130 с шагом, например, один? Это же несложно..

2 февраля, 2019

E.K. сказал:

Но нечего мне зубы заговаривать! Ещё надо:

Эх, нет среди нас "физиков и лириков"

Те сразу бы интегрировали бы всё это безобразие, с целью упрощения задачи в общих чертах

А не опускались бы до простого дифферинциирования.

Кстати, когда я учился в Университете, то занимался по этой замечательной книге:

https://alleng.org/d/math/math459.htm

И, о ужас, на 3 курсе она у меня пропала.

Дал просто почитать знакомым девчонкам с курса, а они не вернули.

Пришлось платить за свою щедрость и склероз в десятикратном размере (так в те года было принято)

Красота - требует (иногда) жертв.

Я не стараюсь флудить в этой теме.

Насколько я понимаю, красота в математике - это искусство пренебрежения не значимыми величинами.

Евгений Валентинович! Не пора ли ими (не знаю чем) пренебречь в данный момент???.

Без этого Ваша довольно-таки простая и очевидная задачка почему-то не решается.

5 февраля, 2019

В 01.02.2019 в 18:35, E.K. сказал:

Но тоже какая-то несъедобность получается:

( 1/( 1 - cos(a/2) ) )² * (pi*a/360 - 1/2 * sin(a) ) - ( cos (a/2) / (1 - cos (a/2) ) )² * (pi/2 - 1)

Что-то этого крокодила тоже дифференцировать не хочется...

Попробовал ради интереса прогнать эту формулу по всему диапазону углов a=1...360°

Максимальное положительное число получилось при а=131° -> s=1.9489402544396

Вот программка на php (что было под рукой, на том и считал)

php:

Показать контент

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади части круга.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади части круга.</font></b><br><br>";
$pi=pi(); 
echo "pi=".$pi."<br>";
for ($a_gr=1;$a_gr<=360;$a_gr++)
{
  $a_rad = deg2rad($a_gr); //Перевод градусов в радианы
  echo "a_gr=".$a_gr;
  $s= pow( 1/( 1 - cos($a_rad/2) ), 2) * ($pi*$a_gr/360 - 1/2 * sin($a_rad) ) - pow(( cos($a_rad/2) / (1 - cos($a_rad/2) ) ), 2) * ($pi/2 - 1);
  echo " s=".$s;
  echo "<br>";
}
?>
</body>
</html>

Результаты расчётов: (Много цифр ):

Показать контент

7 февраля, 2019

Супер! Спасибо!

Проверочные значения..

90° фигура вырождается в "трубу", площадь бахается в ноль. = так и есть.

180° будет половина круга, площадь пи-пополам, то есть = 1.57. Да!

То есть, формула вроде бы правильная.

И за цифры - спасибо!!!

И ещё бы:

1. прокатать формулу вокруг 131

2. доказать, что это оптимальное решение.

Если не получится, то в субботу можно лезть в интернеты за подсказками.

7 февраля, 2019

В 07.02.2019 в 00:14, E.K. сказал:

И ещё бы:

1. прокатать формулу вокруг 131

Сделал расчёт с точностью до 0.000000001

Если не наделал ошибок, то это программа для расчётов:

php:

Показать контент

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади части круга.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади части круга.</font></b><br><br>";
$pi=pi(); 
echo "pi=".$pi."<br>";
$smax=0; //max значение площади фигуры
$amax=131; //угол для max площади
$da=1; //диапазон расчётов угла
$dax=0.1;// шаг изменения угла

while ($dax>0.000000001)
{

for ($a_gr=$amax-$da; $a_gr<=$amax+$da; $a_gr+=$dax)
{
  $a_rad = deg2rad($a_gr); //Перевод градусов в радианы
  echo "a_gr=".$a_gr;
  $s= pow( 1/( 1 - cos($a_rad/2) ), 2) * ($pi*$a_gr/360 - 1/2 * sin($a_rad) ) - pow(( cos($a_rad/2) / (1 - cos($a_rad/2) ) ), 2) * ($pi/2 - 1);
  echo " s=".$s;
  echo "<br>";
  if ($s>$smax){$smax=$s;$amax=$a_gr;}
}
echo "[amax]=".$amax." [smax]=".$smax."<br><br>";

$da=$da/10;
$dax=$dax/10;
}

?>
</body>
</html>

Результаты расчётов:

Показать контент

Итого: Угол = 131.35997781° или 131°21'35".920, площадь = 1.9489896171233

7 февраля, 2019

Супер! Спасибо.

Но лезть за подсказками в интернеты, наверное, рановато. Может быть, сначала попробовать подсчитать вариант "серп"? Вот такой:

1. Получаем сразу две переменные: R1 и R2. Ими можно двигать независимо друг от друга.

2. Площадь серпа считается как-то сложно..

3. Как и что друг от друга зависит? Ну, для начала... Пусть для простоты a1 и a2 - это половины углов, то есть углы от вертикали до радиуса в точку пересечения с нижней стенкой коридора. Тогда ->

R1*cos(a1) = R2*cos(a2)

R1*sin(a1) = R1 - 1

Ну, на этом, наверное, можно уже считать формулу площади серпа.

7 февраля, 2019

В 07.02.2019 в 17:42, E.K. сказал:

R1*cos(a1) = R2*cos(a2)

R1*sin(a1) = R1 - 1

Я тригонометрию уже подзабыл..

Но если sin, это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а cos - отношение прилежащего катета к гипотенузе, то разве тогда не так должно получиться:

R1*sin(a1) = R2*sin(a2)

R1*cos(a1) = R1 - 1

8 февраля, 2019

В 07.02.2019 в 20:05, eve-nts сказал:

то разве тогда не так должно получиться:

R1*sin(a1) = R2*sin(a2)

R1*cos(a1) = R1 - 1

Конечно так! Что-то я подустал за неделю, да и день вчера напряжённый был. Сортавала, Валаам, Питер, Москва...

В 07.02.2019 в 17:42, E.K. сказал:
2. Площадь серпа считается как-то сложно..

Кстати, кто-то здесь утверждал, что серп считается легко? Ау!

И нужна третья формула. Первые две - это как радиусы и углы вписываются в ровный коридор. Третье соотношение даст нам как оно просерпивается через угол коридора.

8 февраля, 2019

Ага, стоило нарисовать красиво - и сразу всё стало понятно. По-хорошему, надо бы доказать, что эта конструкция максимально пролезаемая, но по идее и так всё визуально видно Если как-то менять радиусы, то площадь уменьшается.

Итого, треугольник CEO₂: CO₂² = CE² + EO₂²

2*R₂² = (R₂ + √2)²

Теперь надо подсчитать формулу площади серпа в зависимости от R1 и найти её максимум. Кто возьмётся?

UPD. А если ещё внимательнее посмотреть, то в мои рассуждения закралась небольшая ошибка.. Но подсчитать максимум вот этого серпа всё равно требуется.

Математическое и загадочное

Рекомендуемые сообщения

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

Топ авторов темы

Популярные дни

Топ авторов темы

Популярные дни

Популярные посты

Elly

E.K.

E.K.

Изображения в теме

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

iv65

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

iv65

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

iv65

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

eve-nts

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

eve-nts

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

eve-nts

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

E.K.

Ссылка на комментарий

Поделиться на другие сайты

Пожалуйста, войдите, чтобы комментировать

Похожий контент

Обзор

Активность

Магазин

Поддержка

Kaspersky Support Forum