Математическое и загадочное

[E.K.]

Повторяю первый вопрос: нужно выяснить зависимость R2 от R1, чтобы конструкция пролезала через угол. Граничные значения {R1,R2} = {1,0} у полукруга и {3.41,3.41} у трубы.

 

Получается как-то так.. Выделенный синим треугольник ->

 

R₂² = 2 * (R₁ - 1)²

 

То есть,

 

R₂ = (R₁ - 1) * √2

 

Проверяйте..

 

Теперь надо найти площадь закрашенного сегмента бублика. Получается вот что..

 

Площадь бублика = площадь S1 (всё закрашенное, сегмент круга BDC) минус площадь S2 (B'D'C'). Площадь же сегмента круга = площадь сектора ABDC (AB'D'C') минус площадь треугольника ABC (AB'C'). Пусть угол BAC = a, угол B'AC' = a'

 

Тогда:

 

S1 = pi * R₁² * ( a  / 360° )  -  1/2 * R₁² * sin(a)

 

Теперь надо подсчитать угол 'a'... Что у нас там на картинке получается...

 

R₁ - 1 = R₁ * sin( (180° - a)/2 ) = R₁ * sin(90° - a/2)

 

sin(90° - a/2) = sin(90°)*cos(a/2) + cos(90°)*sin(a/2) = cos(a/2)

 

a = 2*arccos(1 - 1/R₁)

 

Проверяйте, а то я и налажать могу

 

Теперь угол a' ... Так, а мне одному кажется, что он равен 90° ??

[E.K.]

Он действительно 90° , на картинке на левом бублике это видно: половина угла a' есть ровно 45°

 

Так, теперь получается что...

 

S1 = pi * R₁² * ( a  / 360° )  -  1/2 * R₁² * sin(a)

S2 = pi * R₂² * ( 1/4 )  -  1/2 * R₂² =

 

подставляем R₂² = 2 * (R₁ - 1)²

 

= 1/4 * pi * 2 * (R₁-1)² -  1/2 * 2 * (R₁-1)² = (R₁-1)² * (pi/2 - 1)

 

Теперь чо, типа арккосинус(1 - 1/R₁) подставлять надо?? Ой, что-то мне не хочется.. Потом же ещё максимум функции искать Но в целом первая версия функции получается. Можно ещё попробовать через угол a повыпендриваться... Вдруг попроще будет?

 

Так, уже выясняли, что R₁ - 1 = R₁ * cos (a/2) , тогда:

 

R₁ = 1 / (1 - cos (a/2) )

 

и можно подставлять в вышесказанное...

 

S1 - S2 = pi * R₁² * ( a  / 360° ) - 1/2 * R₁² * sin(a) - (R₁ - 1)² * (pi/2 - 1)

 

Но тоже какая-то несъедобность получается:

 

 ( 1/( 1 - cos(a/2) ) )² * (pi*a/360 - 1/2 * sin(a) ) - ( cos (a/2) / (1 - cos (a/2) ) )² * (pi/2 - 1)

 

Что-то этого крокодила тоже дифференцировать не хочется...

[E.K.]

А мож быть не стоит этот огород городить, мож быть полукруг с результатом pi/2=1.57 и есть наш чемпион?

 

Нет, это не так. Можно посмотреть на изменение площади вот этого (красного) огрызка и поискать его максимумы. Поскольку угол всегда 90°, то считается оно элементарно. И вместо R₁ буду для простоты ставить просто R.

 

Площадь "четвертного" сегмента = площади четверти (внешнего - внутреннего) кругов.

 

pi/4*(R² - R₂²) = pi/4 * (R² -2*(R-1)²) = pi/4 * ( -R² + 4R - 2 )

 

Это дифференцируется в уме, получаем максимум при R=2... поскольку, если мне склероз не изменяет (я дифференциалы уже почти 40 лет не брал!), это будет -2R + 4 = 0 , то есть = максимум где R=два. Считаем площадь огрызка... Она равна pi/2 - то есть, ровно сколько "весит" пол-круга! Но мы же считали только "красный огрызок", а там же ещё есть "серые довески".

 

То есть, при R=2 мы можем протащить кусок по площади больше половины круга.

 

То есть, как-то надо искать максимумы у той крокодил-формулы... Или какие-то решения попроще.

[iv65]

Но мы же считали только "красный огрызок", а там же ещё есть "серые довески".

С серыми довесками получается очень даже круто, но я не могу проверить Ваши выкладки, в университете

по дифференциальному и интегральному исчислению у меня была только "4".

 

Я читал условия решения этой задачи, а в случае серпа, получаются более простые вычисления, чем в случае описанной Вами фигуры.

cyclowiki.org/wiki/Площадь_серпа

http://cyclowiki.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B

Интуиция мне подсказывает, что эта фигура будет проходить через угол в 90 градусов без особого

труда. За ссылку на вики, можете наказать меня баллов на 2000 .

Изменено 2 февраля, 2019 пользователем iv65

[iv65]

Математика - самая точная из всех точных наук

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов

https://cloud.mail.ru/public/3dVS/2A25HLQFL

Изменено 2 февраля, 2019 пользователем iv65

[E.K.]

Математика - самая точная, красивая и загадочная наука. Но нечего мне зубы заговаривать! Ещё надо:

 

1. "Крокодиловыми" формулами оперировать невозможно.. Надо попробовать "плясать от" других характеристик? Например, от длины отрезков BB' или BC, например. Мож быть, там формулы попроще будут?

 

2. А также доказать, что бублик - оптимальная фигура.

[E.K.]

 Но тоже какая-то несъедобность получается:

 ( 1/( 1 - cos(a/2) ) )² * (pi*a/360 - 1/2 * sin(a) ) - ( cos (a/2) / (1 - cos (a/2) ) )² * (pi/2 - 1)

 

Упрощённый "огрызок бублика" дал максимальную площадь на R=2. Какой у нас там угол a получается?

 

a = 2*arccos(1 - 1/R₁) = 2*arccos(1/2) = вроде бы 2*60° = 120°

 

Так может быть, просто взять "крокодилью формулу", загнать её в мат-калькулятор и прогнать значения угла a от 110 до 130 с шагом, например, один? Это же несложно..

[iv65]

 

 

Но нечего мне зубы заговаривать! Ещё надо:

Эх, нет среди нас "физиков и лириков"

Те сразу бы интегрировали бы всё это безобразие, с целью упрощения задачи в общих чертах

А не опускались бы до простого дифферинциирования.

Кстати, когда я учился в Университете, то занимался по этой замечательной книге:

https://alleng.org/d/math/math459.htm

И, о ужас, на 3 курсе она у меня пропала.

Дал просто почитать знакомым девчонкам с курса, а они не вернули.

Пришлось платить за свою щедрость и склероз в десятикратном размере (так в те года было принято)

Красота - требует (иногда) жертв.

Я не стараюсь флудить в этой теме.

Насколько я понимаю, красота в математике - это искусство пренебрежения не значимыми величинами.

Евгений Валентинович! Не пора ли ими (не знаю чем) пренебречь в данный момент???.

Без этого Ваша довольно-таки простая и очевидная задачка почему-то не решается.

[eve-nts]

 

Но тоже какая-то несъедобность получается:

 

 ( 1/( 1 - cos(a/2) ) )² * (pi*a/360 - 1/2 * sin(a) ) - ( cos (a/2) / (1 - cos (a/2) ) )² * (pi/2 - 1)

 

Что-то этого крокодила тоже дифференцировать не хочется...

Попробовал ради интереса прогнать эту формулу по всему диапазону углов a=1...360°

Максимальное положительное число получилось при а=131° -> s=1.9489402544396

Вот программка на php (что было под рукой, на том и считал) 

php:

 

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади части круга.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади части круга.</font></b><br><br>";
$pi=pi(); 
echo "pi=".$pi."<br>";
for ($a_gr=1;$a_gr<=360;$a_gr++)
{
  $a_rad = deg2rad($a_gr); //Перевод градусов в радианы
  echo "a_gr=".$a_gr;
  $s= pow( 1/( 1 - cos($a_rad/2) ), 2) * ($pi*$a_gr/360 - 1/2 * sin($a_rad) ) - pow(( cos($a_rad/2) / (1 - cos($a_rad/2) ) ), 2) * ($pi/2 - 1);
  echo " s=".$s;
  echo "<br>";
}
?>
</body>
</html>

 

 

 

Результаты расчётов: (Много цифр   ):

 

a_gr=1 s=-393662253.79875

a_gr=2 s=-24599073.028687

a_gr=3 s=-4857462.5769284

a_gr=4 s=-1536204.4780343

a_gr=5 s=-628840.00544605

a_gr=6 s=-303026.73777754

a_gr=7 s=-163415.04182514

a_gr=8 s=-95686.969357819

a_gr=9 s=-59662.220587085

a_gr=10 s=-39088.777837979

a_gr=11 s=-26655.552162754

a_gr=12 s=-18787.161846939

a_gr=13 s=-13613.179235968

a_gr=14 s=-10099.138635485

a_gr=15 s=-7645.5583307316

a_gr=16 s=-5890.9297920904

a_gr=17 s=-4609.6382334917

a_gr=18 s=-3656.6033572068

a_gr=19 s=-2936.0450512211

a_gr=20 s=-2383.2385039997

a_gr=21 s=-1953.5248826402

a_gr=22 s=-1615.5089011951

a_gr=23 s=-1346.7436997871

a_gr=24 s=-1130.9324299752

a_gr=25 s=-956.07675217282

a_gr=26 s=-813.22929787253

a_gr=27 s=-695.63894882142

a_gr=28 s=-598.15621138818

a_gr=29 s=-516.81366098359

a_gr=30 s=-448.52602639477

a_gr=31 s=-390.87318937747

a_gr=32 s=-341.94140121639

a_gr=33 s=-300.2058735018

a_gr=34 s=-264.44310766814

a_gr=35 s=-233.66482738253

a_gr=36 s=-207.06776010105

a_gr=37 s=-183.99515536719

a_gr=38 s=-163.90707102024

a_gr=39 s=-146.35726381531

a_gr=40 s=-130.97509378755

a_gr=41 s=-117.45126301106

a_gr=42 s=-105.5265073968

a_gr=43 s=-94.982577900047

a_gr=44 s=-85.635007867882

a_gr=45 s=-77.327282269776

a_gr=46 s=-69.926113521792

a_gr=47 s=-63.317595583493

a_gr=48 s=-57.404058747971

a_gr=49 s=-52.101486233875

a_gr=50 s=-47.337383364206

a_gr=51 s=-43.049013010379

a_gr=52 s=-39.18192873889

a_gr=53 s=-35.6887509462

a_gr=54 s=-32.528142120919

a_gr=55 s=-29.663945920007

a_gr=56 s=-27.064461508728

a_gr=57 s=-24.701829989134

a_gr=58 s=-22.551514032184

a_gr=59 s=-20.591855267306

a_gr=60 s=-18.803696750438

a_gr=61 s=-17.17006006698

a_gr=62 s=-15.675868438586

a_gr=63 s=-14.307708677688

a_gr=64 s=-13.053626037986

a_gr=65 s=-11.902946995886

a_gr=66 s=-10.846125808953

a_gr=67 s=-9.8746113661794

a_gr=68 s=-8.9807313979907

a_gr=69 s=-8.157591572672

a_gr=70 s=-7.398987387557

a_gr=71 s=-6.699327081653

a_gr=72 s=-6.0535640626424

a_gr=73 s=-5.4571375644773

a_gr=74 s=-4.905920439487

a_gr=75 s=-4.396173147114

a_gr=76 s=-3.924503135021

a_gr=77 s=-3.4878289214661

a_gr=78 s=-3.0833482838658

a_gr=79 s=-2.7085100401298

a_gr=80 s=-2.3609889789625

a_gr=81 s=-2.0386635547713

a_gr=82 s=-1.7395960137026

a_gr=83 s=-1.4620146609531

a_gr=84 s=-1.204298016987

a_gr=85 s=-0.96496064255437

a_gr=86 s=-0.74264044022919

a_gr=87 s=-0.53608726421787

a_gr=88 s=-0.34415269099268

a_gr=89 s=-0.16578082133119

a_gr=90 s=-8.8817841970013E-16

a_gr=91 s=0.15408464706463

a_gr=92 s=0.29729794636641

a_gr=93 s=0.43040075918965

a_gr=94 s=0.55409548157128

a_gr=95 s=0.66903102289432

a_gr=96 s=0.77580731716116

a_gr=97 s=0.87497941492192

a_gr=98 s=0.96706119848843

a_gr=99 s=1.0525287583605

a_gr=100 s=1.1318234646473

a_gr=101 s=1.2053547636112

a_gr=102 s=1.2735027262296

a_gr=103 s=1.336620372818

a_gr=104 s=1.3950357952226

a_gr=105 s=1.4490540958542

a_gr=106 s=1.4989591608393

a_gr=107 s=1.5450152827983

a_gr=108 s=1.5874686471877

a_gr=109 s=1.6265486947386

a_gr=110 s=1.6624693712773

a_gr=111 s=1.6954302750973

a_gr=112 s=1.7256177110549

a_gr=113 s=1.7532056596705

a_gr=114 s=1.7783566687201

a_gr=115 s=1.8012226740847

a_gr=116 s=1.8219457559863

a_gr=117 s=1.8406588361618

a_gr=118 s=1.8574863210085

a_gr=119 s=1.8725446952718

a_gr=120 s=1.8859430704226

a_gr=121 s=1.8977836914982

a_gr=122 s=1.9081624058374

a_gr=123 s=1.9171690968341

a_gr=124 s=1.9248880855558

a_gr=125 s=1.9313985028217

a_gr=126 s=1.9367746341095

a_gr=127 s=1.9410862394517

a_gr=128 s=1.9443988502982

a_gr=129 s=1.9467740451507

a_gr=130 s=1.9482697056231

a_gr=131 s=1.9489402544396

a_gr=132 s=1.9488368767594

a_gr=133 s=1.9480077260969

a_gr=134 s=1.9464981160053

a_gr=135 s=1.9443506985943

a_gr=136 s=1.9416056308635

a_gr=137 s=1.9383007297582

a_gr=138 s=1.9344716167759

a_gr=139 s=1.9301518528906

a_gr=140 s=1.9253730644982

a_gr=141 s=1.9201650610323

a_gr=142 s=1.9145559448474

a_gr=143 s=1.908572213923

a_gr=144 s=1.9022388578956

a_gr=145 s=1.8955794478903

a_gr=146 s=1.8886162205851

a_gr=147 s=1.8813701569091

a_gr=148 s=1.8738610557471

a_gr=149 s=1.8661076029919

a_gr=150 s=1.8581274362639

a_gr=151 s=1.8499372055914

a_gr=152 s=1.8415526303245

a_gr=153 s=1.832988552536

a_gr=154 s=1.8242589871423

a_gr=155 s=1.8153771689647

a_gr=156 s=1.8063555969293

a_gr=157 s=1.797206075597

a_gr=158 s=1.7879397541951

a_gr=159 s=1.778567163314

a_gr=160 s=1.769098249419

a_gr=161 s=1.7595424073179

a_gr=162 s=1.7499085107147

a_gr=163 s=1.7402049409712

a_gr=164 s=1.7304396141887

a_gr=165 s=1.7206200067167

a_gr=166 s=1.7107531791867

a_gr=167 s=1.700845799161

a_gr=168 s=1.6909041624851

a_gr=169 s=1.6809342134213

a_gr=170 s=1.6709415636388

a_gr=171 s=1.6609315101301

a_gr=172 s=1.6509090521192

a_gr=173 s=1.6408789070212

a_gr=174 s=1.6308455255113

a_gr=175 s=1.6208131057569

a_gr=176 s=1.6107856068609

a_gr=177 s=1.6007667615639

a_gr=178 s=1.59076008825

a_gr=179 s=1.5807689022946

a_gr=180 s=1.5707963267949

a_gr=181 s=1.5608453027177

a_gr=182 s=1.550918598499

a_gr=183 s=1.5410188191257

a_gr=184 s=1.5311484147314

a_gr=185 s=1.5213096887312

a_gr=186 s=1.5115048055239

a_gr=187 s=1.5017357977857

a_gr=188 s=1.4920045733768

a_gr=189 s=1.4823129218857

a_gr=190 s=1.472662520828

a_gr=191 s=1.4630549415219

a_gr=192 s=1.4534916546561

a_gr=193 s=1.4439740355688

a_gr=194 s=1.4345033692527

a_gr=195 s=1.4250808551009

a_gr=196 s=1.4157076114089

a_gr=197 s=1.4063846796449

a_gr=198 s=1.3971130285014

a_gr=199 s=1.3878935577398

a_gr=200 s=1.3787271018396

a_gr=201 s=1.3696144334617

a_gr=202 s=1.3605562667369

a_gr=203 s=1.3515532603878

a_gr=204 s=1.342606020694

a_gr=205 s=1.3337151043079

a_gr=206 s=1.3248810209294

a_gr=207 s=1.3161042358477

a_gr=208 s=1.3073851723552

a_gr=209 s=1.2987242140425

a_gr=210 s=1.2901217069789

a_gr=211 s=1.2815779617849

a_gr=212 s=1.2730932556033

a_gr=213 s=1.2646678339719

a_gr=214 s=1.2563019126054

a_gr=215 s=1.247995679089

a_gr=216 s=1.2397492944897

a_gr=217 s=1.2315628948889

a_gr=218 s=1.2234365928402

a_gr=219 s=1.2153704787563

a_gr=220 s=1.2073646222286

a_gr=221 s=1.1994190732836

a_gr=222 s=1.1915338635776

a_gr=223 s=1.1837090075345

a_gr=224 s=1.1759445034285

a_gr=225 s=1.1682403344156

a_gr=226 s=1.1605964695145

a_gr=227 s=1.1530128645415

a_gr=228 s=1.1454894630007

a_gr=229 s=1.1380261969316

a_gr=230 s=1.1306229877164

a_gr=231 s=1.1232797468494

a_gr=232 s=1.1159963766698

a_gr=233 s=1.1087727710599

a_gr=234 s=1.1016088161103

a_gr=235 s=1.0945043907545

a_gr=236 s=1.0874593673729

a_gr=237 s=1.0804736123692

a_gr=238 s=1.0735469867199

a_gr=239 s=1.0666793464978

a_gr=240 s=1.0598705433719

a_gr=241 s=1.0531204250837

a_gr=242 s=1.0464288359018

a_gr=243 s=1.0397956170556

a_gr=244 s=1.0332206071493

a_gr=245 s=1.0267036425567

a_gr=246 s=1.0202445577984

a_gr=247 s=1.0138431859017

a_gr=248 s=1.007499358745

a_gr=249 s=1.0012129073855

a_gr=250 s=0.99498366237377

a_gr=251 s=0.98881145405324

a_gr=252 s=0.98269611284718

a_gr=253 s=0.97663746953284

a_gr=254 s=0.97063535550382

a_gr=255 s=0.96468960302107

a_gr=256 s=0.95880004545311

a_gr=257 s=0.95296651750619

a_gr=258 s=0.94718885544468

a_gr=259 s=0.94146689730233

a_gr=260 s=0.93580048308484

a_gr=261 s=0.93018945496421

a_gr=262 s=0.92463365746522

a_gr=263 s=0.91913293764462

a_gr=264 s=0.91368714526324

a_gr=265 s=0.90829613295153

a_gr=266 s=0.90295975636881

a_gr=267 s=0.89767787435668

a_gr=268 s=0.89245034908674

a_gr=269 s=0.88727704620318

a_gr=270 s=0.88215783496027

a_gr=271 s=0.87709258835532

a_gr=272 s=0.87208118325715

a_gr=273 s=0.86712350053047

a_gr=274 s=0.86221942515639

a_gr=275 s=0.85736884634932

a_gr=276 s=0.85257165767044

a_gr=277 s=0.84782775713804

a_gr=278 s=0.84313704733491

a_gr=279 s=0.83849943551299

a_gr=280 s=0.83391483369545

a_gr=281 s=0.82938315877646

a_gr=282 s=0.82490433261882

a_gr=283 s=0.82047828214951

a_gr=284 s=0.81610493945357

a_gr=285 s=0.81178424186618

a_gr=286 s=0.80751613206343

a_gr=287 s=0.80330055815158

a_gr=288 s=0.79913747375526

a_gr=289 s=0.79502683810463

a_gr=290 s=0.79096861612157

a_gr=291 s=0.78696277850517

a_gr=292 s=0.78300930181658

a_gr=293 s=0.77910816856335

a_gr=294 s=0.77525936728341

a_gr=295 s=0.77146289262874

a_gr=296 s=0.767718745449

a_gr=297 s=0.76402693287502

a_gr=298 s=0.76038746840249

a_gr=299 s=0.75680037197572

a_gr=300 s=0.75326567007183

a_gr=301 s=0.74978339578526

a_gr=302 s=0.74635358891279

a_gr=303 s=0.74297629603926

a_gr=304 s=0.73965157062385

a_gr=305 s=0.73637947308732

a_gr=306 s=0.7331600709

a_gr=307 s=0.72999343867091

a_gr=308 s=0.72687965823789

a_gr=309 s=0.72381881875887

a_gr=310 s=0.72081101680454

a_gr=311 s=0.71785635645225

a_gr=312 s=0.71495494938143

a_gr=313 s=0.71210691497052

a_gr=314 s=0.70931238039555

a_gr=315 s=0.7065714807304

a_gr=316 s=0.70388435904892

a_gr=317 s=0.70125116652886

a_gr=318 s=0.69867206255785

a_gr=319 s=0.69614721484145

a_gr=320 s=0.69367679951327

a_gr=321 s=0.69126100124745

a_gr=322 s=0.6889000133734

a_gr=323 s=0.68659403799296

a_gr=324 s=0.68434328610014

a_gr=325 s=0.68214797770341

a_gr=326 s=0.68000834195069

a_gr=327 s=0.67792461725717

a_gr=328 s=0.67589705143598

a_gr=329 s=0.67392590183185

a_gr=330 s=0.67201143545787

a_gr=331 s=0.67015392913539

a_gr=332 s=0.66835366963724

a_gr=333 s=0.66661095383427

a_gr=334 s=0.66492608884545

a_gr=335 s=0.66329939219147

a_gr=336 s=0.66173119195211

a_gr=337 s=0.66022182692732

a_gr=338 s=0.65877164680234

a_gr=339 s=0.65738101231671

a_gr=340 s=0.65605029543749

a_gr=341 s=0.65477987953676

a_gr=342 s=0.65357015957344

a_gr=343 s=0.65242154227965

a_gr=344 s=0.65133444635169

a_gr=345 s=0.65030930264578

a_gr=346 s=0.64934655437866

a_gr=347 s=0.64844665733327

a_gr=348 s=0.64761008006953

a_gr=349 s=0.6468373041405

a_gr=350 s=0.64612882431389

a_gr=351 s=0.6454851487993

a_gr=352 s=0.64490679948105

a_gr=353 s=0.64439431215711

a_gr=354 s=0.64394823678392

a_gr=355 s=0.64356913772759

a_gr=356 s=0.64325759402141

a_gr=357 s=0.64301419963003

a_gr=358 s=0.6428395637203

a_gr=359 s=0.6427343109392

a_gr=360 s=0.64269908169872

 

 

 

[E.K.]

Супер! Спасибо!

Проверочные значения..

90° фигура вырождается в "трубу", площадь бахается в ноль. = так и есть.

180° будет половина круга, площадь пи-пополам, то есть = 1.57. Да!

 

То есть, формула вроде бы правильная.

 

И за цифры - спасибо!!!

 

И ещё бы:

1. прокатать формулу вокруг 131

2. доказать, что это оптимальное решение.

 

Если не получится, то в субботу можно лезть в интернеты за подсказками.

[eve-nts]

И ещё бы:

1. прокатать формулу вокруг 131

Сделал расчёт с точностью до 0.000000001

Если не наделал ошибок, то это программа для расчётов:

php:

 

<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<title>Касперский. Расчёт площади части круга.</title>
</head>
<body>
<?php
echo "<font color=#228B22 face=Arial style='font-size:12px'><b>Касперский. Расчёт площади части круга.</font></b><br><br>";
$pi=pi(); 
echo "pi=".$pi."<br>";
$smax=0; //max значение площади фигуры
$amax=131; //угол для max площади
$da=1; //диапазон расчётов угла
$dax=0.1;// шаг изменения угла

while ($dax>0.000000001)
{

for ($a_gr=$amax-$da; $a_gr<=$amax+$da; $a_gr+=$dax)
{
  $a_rad = deg2rad($a_gr); //Перевод градусов в радианы
  echo "a_gr=".$a_gr;
  $s= pow( 1/( 1 - cos($a_rad/2) ), 2) * ($pi*$a_gr/360 - 1/2 * sin($a_rad) ) - pow(( cos($a_rad/2) / (1 - cos($a_rad/2) ) ), 2) * ($pi/2 - 1);
  echo " s=".$s;
  echo "<br>";
  if ($s>$smax){$smax=$s;$amax=$a_gr;}
}
echo "[amax]=".$amax." [smax]=".$smax."<br><br>";

$da=$da/10;
$dax=$dax/10;
}

?>
</body>
</html> 

 

 

Результаты расчётов:

 

a_gr=130    s=1.9482697056231

a_gr=130.1 s=1.9483730213012

a_gr=130.2 s=1.9484681411214

a_gr=130.3 s=1.9485551173518

a_gr=130.4 s=1.9486340019411

a_gr=130.5 s=1.9487048465208

a_gr=130.6 s=1.9487677024075

a_gr=130.7 s=1.9488226206045

a_gr=130.8 s=1.9488696518043

a_gr=130.9 s=1.9489088463905

a_gr=131    s=1.9489402544396

a_gr=131.1 s=1.9489639257233

a_gr=131.2 s=1.9489799097103

a_gr=131.3 s=1.9489882555683

a_gr=131.4 s=1.9489890121663

a_gr=131.5 s=1.9489822280759

a_gr=131.6 s=1.9489679515737

a_gr=131.7 s=1.9489462306433

a_gr=131.8 s=1.9489171129769

a_gr=131.9 s=1.9488806459771

a_gr=132    s=1.9488368767594

a_gr=132.1 s=1.9487858521534

a_gr=132.2 s=1.948727618705

a_gr=132.3 s=1.9486622226781

a_gr=132.4 s=1.9485897100566

[amax]=131.4 [smax]=1.9489890121663

 

a_gr=131.3   s=1.9489882555683

a_gr=131.31 s=1.9489886719411

a_gr=131.32 s=1.9489890124702

a_gr=131.33 s=1.9489892772043

a_gr=131.34 s=1.9489894661921

a_gr=131.35 s=1.9489895794821

a_gr=131.36 s=1.9489896171231

a_gr=131.37 s=1.9489895791635

a_gr=131.38 s=1.9489894656518

a_gr=131.39 s=1.9489892766366

a_gr=131.4   s=1.9489890121663

a_gr=131.41 s=1.9489886722894

a_gr=131.42 s=1.9489882570542

a_gr=131.43 s=1.9489877665092

a_gr=131.44 s=1.9489872007026

a_gr=131.45 s=1.9489865596829

a_gr=131.46 s=1.9489858434983

[amax]=131.36 [smax]=1.9489896171231

 

a_gr=131.35   s=1.9489895794821

a_gr=131.351 s=1.9489895866497

a_gr=131.352 s=1.9489895930607

a_gr=131.353 s=1.9489895987154

a_gr=131.354 s=1.9489896036137

a_gr=131.355 s=1.9489896077557

a_gr=131.356 s=1.9489896111415

a_gr=131.357 s=1.9489896137711

a_gr=131.358 s=1.9489896156445

a_gr=131.359 s=1.9489896167618

a_gr=131.36   s=1.9489896171231

a_gr=131.361 s=1.9489896167284

a_gr=131.362 s=1.9489896155777

a_gr=131.363 s=1.9489896136711

a_gr=131.364 s=1.9489896110086

a_gr=131.365 s=1.9489896075903

a_gr=131.366 s=1.9489896034163

a_gr=131.367 s=1.9489895984865

a_gr=131.368 s=1.9489895928011

a_gr=131.369 s=1.9489895863601

[amax]=131.36 [smax]=1.9489896171231

 

a_gr=131.359   s=1.9489896167618

a_gr=131.3591 s=1.948989616832

a_gr=131.3592 s=1.9489896168946

a_gr=131.3593 s=1.9489896169496

a_gr=131.3594 s=1.9489896169971

a_gr=131.3595 s=1.948989617037

a_gr=131.3596 s=1.9489896170693

a_gr=131.3597 s=1.9489896170941

a_gr=131.3598 s=1.9489896171113

a_gr=131.3599 s=1.948989617121

a_gr=131.36     s=1.9489896171231

a_gr=131.3601 s=1.9489896171176

a_gr=131.3602 s=1.9489896171046

a_gr=131.3603 s=1.9489896170841

a_gr=131.3604 s=1.9489896170559

a_gr=131.3605 s=1.9489896170202

a_gr=131.3606 s=1.948989616977

a_gr=131.3607 s=1.9489896169262

a_gr=131.3608 s=1.9489896168678

a_gr=131.3609 s=1.9489896168019

[amax]=131.36 [smax]=1.9489896171231

 

a_gr=131.3599   s=1.948989617121

a_gr=131.35991 s=1.9489896171215

a_gr=131.35992 s=1.948989617122

a_gr=131.35993 s=1.9489896171224

a_gr=131.35994 s=1.9489896171227

a_gr=131.35995 s=1.948989617123

a_gr=131.35996 s=1.9489896171232

a_gr=131.35997 s=1.9489896171233

a_gr=131.35998 s=1.9489896171233

a_gr=131.35999 s=1.9489896171232

a_gr=131.36       s=1.9489896171231

a_gr=131.36001 s=1.9489896171229

a_gr=131.36002 s=1.9489896171226

a_gr=131.36003 s=1.9489896171223

a_gr=131.36004 s=1.9489896171218

a_gr=131.36005 s=1.9489896171213

a_gr=131.36006 s=1.9489896171207

a_gr=131.36007 s=1.9489896171201

[amax]=131.35998 [smax]=1.9489896171233

 

a_gr=131.35997   s=1.9489896171233

a_gr=131.359971 s=1.9489896171233

a_gr=131.359972 s=1.9489896171233

a_gr=131.359973 s=1.9489896171233

a_gr=131.359974 s=1.9489896171233

a_gr=131.359975 s=1.9489896171233

a_gr=131.359976 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977 s=1.9489896171233

a_gr=131.359978 s=1.9489896171233

a_gr=131.359979 s=1.9489896171233

a_gr=131.35998   s=1.9489896171233

a_gr=131.359981 s=1.9489896171233

a_gr=131.359982 s=1.9489896171233

a_gr=131.359983 s=1.9489896171233

a_gr=131.359984 s=1.9489896171233

a_gr=131.359985 s=1.9489896171233

a_gr=131.359986 s=1.9489896171233

a_gr=131.359987 s=1.9489896171232

a_gr=131.359988 s=1.9489896171232

[amax]=131.359978 [smax]=1.9489896171233

 

a_gr=131.359977   s=1.9489896171233

a_gr=131.3599771 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599772 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599773 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599774 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599775 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599776 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599777 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599778 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599779 s=1.9489896171233

a_gr=131.359978   s=1.9489896171233

a_gr=131.3599781 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599782 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599783 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599784 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599785 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599786 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599787 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599788 s=1.9489896171233

[amax]=131.3599778 [smax]=1.9489896171233

 

a_gr=131.3599777   s=1.9489896171233

a_gr=131.35997771 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997772 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997773 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997774 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997775 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997776 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997777 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997778 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997779 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599778   s=1.9489896171233

a_gr=131.35997781 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997782 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997783 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997784 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997785 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997786 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997787 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997788 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997789 s=1.9489896171233

a_gr=131.3599779   s=1.9489896171233

[amax]=131.35997781 [smax]=1.9489896171233

 

a_gr=131.3599778     s=1.9489896171233

a_gr=131.359977801 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977802 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977803 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977804 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977805 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977806 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977807 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977808 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977809 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997781   s=1.9489896171233

a_gr=131.359977811 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977812 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977813 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977814 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977815 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977816 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977817 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977818 s=1.9489896171233

a_gr=131.359977819 s=1.9489896171233

a_gr=131.35997782   s=1.9489896171233

[amax]=131.35997781 [smax]=1.9489896171233

 

 

Итого: Угол = 131.35997781° или 131°21'35".920, площадь = 1.9489896171233

[E.K.]

Супер! Спасибо.

 

Но лезть за подсказками в интернеты, наверное, рановато. Может быть, сначала попробовать подсчитать вариант "серп"? Вот такой:

 

1. Получаем сразу две переменные: R1 и R2. Ими можно двигать независимо друг от друга.

2. Площадь серпа считается как-то сложно..

 

3. Как и что друг от друга зависит? Ну, для начала... Пусть для простоты a1 и a2 - это половины углов, то есть углы от вертикали до радиуса в точку пересечения с нижней стенкой коридора. Тогда ->

 

R1*cos(a1) = R2*cos(a2)

R1*sin(a1) = R1 - 1

 

Ну, на этом, наверное, можно уже считать формулу площади серпа.

[eve-nts]

R1*cos(a1) = R2*cos(a2)

R1*sin(a1) = R1 - 1

Я тригонометрию уже подзабыл..

Но если sin, это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а cos - отношение прилежащего катета к гипотенузе, то разве тогда не так должно получиться:

 

R1*sin(a1) = R2*sin(a2)

R1*cos(a1) = R1 - 1

[E.K.]

то разве тогда не так должно получиться:

 

R1*sin(a1) = R2*sin(a2)

R1*cos(a1) = R1 - 1

Конечно так! Что-то я подустал за неделю, да и день вчера напряжённый был. Сортавала, Валаам, Питер, Москва...

 

 

2. Площадь серпа считается как-то сложно..

Кстати, кто-то здесь утверждал, что серп считается легко? Ау!

 

И нужна третья формула. Первые две - это как радиусы и углы вписываются в ровный коридор. Третье соотношение даст нам как оно просерпивается через угол коридора.

[E.K.]

Ага, стоило нарисовать красиво - и сразу всё стало понятно. По-хорошему, надо бы доказать, что эта конструкция максимально пролезаемая, но по идее и так всё визуально видно Если как-то менять радиусы, то площадь уменьшается.

 

Итого, треугольник CEO₂: CO₂² = CE² + EO₂²

 

2*R₂² = (R₂ + √2)²

 

Теперь надо подсчитать формулу площади серпа в зависимости от R1 и найти её максимум. Кто возьмётся?

 

UPD. А если ещё внимательнее посмотреть, то в мои рассуждения закралась небольшая ошибка.. Но подсчитать максимум вот этого серпа всё равно требуется.