Математическое и загадочное

[Рогожников Евгений]

6 минут назад, Maxim Yurchuk сказал:

Возможно, если повторить рассуждения, но при этом взять простые p, q, r,

Согласен. Это точно срабатывает. А у меня выше была ошибка.

Но хочется найти решение попроще. Я уверен, что любая расстановка N шашек просто не позволит набрать большое число уникальных путей. И там оценка будет гораздо точнее. И вообще удивлен, что дублей в уникальных длинах оказалось так много, 

[Fireman]

Вообще есть оценка для кол-ва представлений числа m в виде суммы двух квадратов:

где s(m) - кол-во представлений числа в виде суммы двух квадратов

 

Если я правильно понимаю - мы в качестве N просто подставим нашу B = N(N+1)/2 к примеру, да вообще того, что N^2 уже с понимающим коэффициентом - это на бесконечности даст нужный эффект

[Fireman]

18.06.2020 в 18:26, Рогожников Евгений сказал:

И хотя данная оценка явно грубая, но если нас интересует асимптотика на бесконечности, то это срабатывает. Нам нужно просто показать, что среди пар чисел (i,j), которые можно считать векторами, где i и j берутся от 0 до N, но i <=j, при больших N найдутся более N пар у которых совпадет длина векторов.

 

Пришла в голову идея (если выше она обсуждалась - извините, пропустил) - вроде она должна сработать:

 

Пусть у нас есть некоторая дискретная плоскость размером NxN, кол-во расстояний расчёт как O(N^2).

Если мы на плоскости нарисуем окружность радиуса N, то все точки, которые лягут на эту окружность будут иметь одинаковое расстояние от центра, но при этом будут состоять из разных групп {x, y}, таким образом кол-во одинаковых расстояний будет расти как O(N).

 

По идее этого факта в первом приближении более чем достаточно

 

Если же более строго - тут нам на помощь придут Гауссовы числа (комплексные числа, у которых вещественная и мнимая части целые).

Есть теорема Шинцеля, которая утверждает, что для любого натурального N существует окружность, которая проходит ровно через N точек решётки Z^2 (наша комплексная плоскость целых чисел).

 

Изменено 19 июня, 2020 пользователем Fireman

[_Иван]

С какого-то момента решений действительно не будет --- чтобы исчерпать все большие расстояния, надо много шашек расставить в двух противоположных углах.

 

Но тут есть отдельная интересная часть: попробовать порасставлять шашки вручную. Я сам дошёл до 5x5, и слышал, что есть решения для 6х6 и 7х7, но пока что их не раскусил. Компьютер с этим легко справится перебором, конечно.

Изменено 20 июня, 2020 пользователем _Иван

[Fireman]

1 час назад, _Иван сказал:

и слышал, что есть решения для 6х6 и 7х7, но пока что их не раскусил.

 

 

 

Ну и конечно это не единственные решения, для каждого N < 8 существует минимум 8 решений :)))

 

 

[iv65]

5 часов назад, Fireman сказал:

Ну и конечно это не единственные решения, для каждого N < 8 существует минимум 8 решений :)))

 

А причём здесь доска из 6х6? Ведь это противоречит вводной от Евгения Валентиновича: 

 

Доска N*N, ставим N шашек на доску. Хотим сделать так, чтобы все расстояния между шашками были разными.

 

Хотите попробовать? Если честно, то я в таких задачках не очень вообще никак.. Но с удовольствием посмотрю как другие над ними плотоядничают

Ведь даже в чапаевцах играют на доске 8х8.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Чапаев_(игра)

И почему вы не выбрали в предложенном Вами решении доску из, например  17х17, 19х19, 23х23, либо 29х29, а также 31х31, 37х37???

Было бы гораздо красивее и полезнее в смысле математической красоты выданного Вами решения.

Мы же здесь сейчас играем в шашки:

ru.wikipedia.org/wiki/Шашки

А не в го:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Го

либо, это:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Рендзю

???

Изменено 20 июня, 2020 пользователем iv65
добавлена информация

[Рогожников Евгений]

45 минут назад, iv65 сказал:

А причём здесь доска из 6х6?

Мы уже тут доказали что для N<8 решение есть. Для N =8 решения нет. Для N  больше 17 решения также нет. Судя по всему, от 9 до 16 решения также нет. Это программным перебором также несложно установить. Проблема сейчас только в том, чтобы найти более красивое решение

[iv65]

1 минуту назад, Рогожников Евгений сказал:

Проблема сейчас только в том, чтобы найти более красивое решение

Ведь в этом всё и дело, в красоте решения математических задач собственной головой, а не простым машинным перебором. Евгений Валентинович не очень давно писал в этой ветке, что подобные решения - читерство.

[Fireman]

7 минут назад, iv65 сказал:

а не простым машинным перебором. Евгений Валентинович не очень давно писал в этой ветке, что подобные решения - читерство.

ну задача о 4 красках - решена компьютерным перебором (по другому пока не умеют)

задача о хроматическом числе проверена для x=4 компьютерным перебором (по другому никак)

задача о разложении числа на 3 простых множителя - решена компьютерным перебором (до 10^20, все что выше - уже строго доказывается)

 

много задач, которые красиво нельзя (или мы пока не умеем) доказывать в полном объему

 

1 час назад, iv65 сказал:

Доска N*N, ставим N шашек на доску. Хотим сделать так, чтобы все расстояния между шашками были разными.

как мне кажется мы строго, коротко и красиво доказали, что при N стремящимся к бесконечности задача не решается

доказать для 8 думаю можно строго, но красоты в таком доказательстве не будет или найти какое-то N конечное N тоже будет сложновато, хотя можно подумать, но как мне кажется чем ближе и ближе мы будем подходить к 8, тем менее красиво и более длинно будет доказательство (но это не точно :))

[Рогожников Евгений]

22 минуты назад, Fireman сказал:

доказать для 8 думаю можно строго, но красоты в таком доказательстве не будет или найти какое-то N конечное N тоже будет сложновато, хотя можно подумать, но как мне кажется чем ближе и ближе мы будем подходить к 8, тем менее красиво и более длинно будет доказательство (но это не точно :))

Полностью согласен. Для 8 явно будет нудный перебор вариантов. Возможно, что то красивое может вырасти для N  больших 10. Это как раз тот случай, когда компьютерный перебор имеет полное право на жизнь. На мой взгляд, fireman дал исчерпывающее решение.

[Vladislav Nikolaev]

07.06.2020 в 16:41, E.K. сказал:

Докажите, что:  1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n^2 + … < 2

Вот еще так можно:

 

[Fireman]

4 часа назад, Vladislav Nikolaev сказал:

Вот еще так можно:

по хорошему тут надо для начала показать, что сумма меньше или равна интегралу

[Рогожников Евгений]

3 минуты назад, Fireman сказал:

по хорошему тут надо для начала показать, что сумма меньше или равна интегралу

Данное решение вообще было дано самым первым .

[Fireman]

43 минуты назад, Рогожников Евгений сказал:

Данное решение вообще было дано самым первым .

не спорю, я про конкретно тот пост, что без показа, что дискретная сумма меньше непрерывного интеграла - это неполное решение

[Vladislav Nikolaev]

Да, как-то не заметил, извиняюсь.