Математическое и загадочное

[Maxim Yurchuk]

07.06.2020 в 16:41, E.K. сказал:

 

Докажите, что:  1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n^2 + … < 2

 

Группируем по группами степеням двойки, потом увеличиваем слагаемые как нам удобно:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ... = (1) + (1/4 + 1/9) + (1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49) + ... < (1) + (1/4 + 1/4) + (1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16) + .... < 1 + 2*(1/4) + 4 * (16) + 8 * (1/64) .. =

= 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2

 

Получается что 

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ...  < 2

 

[Fireman]

14 минут назад, Maxim Yurchuk сказал:

группируем по группами степеням двойки, потом увеличиваем слагаемые как нам удобно:

 

да что же такое то!!!

я же помнил эту задачу и помнил что плясали от 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... +..., которая доказывается геометрически на закраске квадрата 1x1

расписал, а переход к 1/4 + 1/9 < 1/4 + 1/4 напрочь не увидел ?

вот так со временем и забываешь как тебя зовут и где в квартире находится туалет

Изменено 8 июня, 2020 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

9 часов назад, Maxim Yurchuk сказал:

Из этого следует, что последовательность (1+1/n) ^ (n + 1/2) убывает, поэтому сотый элемент этой последовательности  (1 + 0,01)^(100 + 1/2) больше чем предел, который равен e.

 

Решение выше хорошее, но вот этот факт в школе не проходят. Число e, на сколько я помню, определяли как такая константа для которой производная функции e^x равна самой функции.

То что это же число является и пределом последовательности выше требуется доказать отдельно. И тогда задача становится достаточно сложной.

 

Через ряд Тейлора, imho, самое  простое решение. Но, оно требует знаний второй половины 11-го класса.

 

Ну а  "самое простое" пока решение ?, в том смысле, что оно менее всего требует допзнаний, это способ 4, который предложил Fireman.

Правда, стоит помнить,что все вычисления там надо делать вручную. Калькулятором на школьных олимпиадах пользоваться нельзя. По крайней мере, раньше точно было нельзя.

Впрочем, когда подобное лобовое  решение найдено и все  упирается только в вычисления, то меня бы это точно не остановило. Каждая задача на такой олимпиаде на вес золота. Бывает, конечно, по разному, но обычно 4-х задач из восьми хватает для получения диплома 2-й степени, т.е вхождения в десятку лучших.

Изменено 9 июня, 2020 пользователем Рогожников Евгений

[Maxim Yurchuk]

2 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

Решение выше хорошее, но вот этот факт в школе не проходят.

Ну, не уверен. Беглый гуглинг показал, что в случайно найденном учебнике за 10 класс ( https://rabochaya-tetrad-uchebnik.com/algebra/algebra_10_klass_uchebnik_nikoljskiy/index.html#prettyPhoto[gallery3]/140/ ) число e вводится именно как предел:

 

Кроме того, пределы проходятся до производных (потому что для производных нужны пределы), поэтому кажется логичным ввести число e как второй замечательный предел, а не ждать пока введут производные.

 

И в тех же учебниках этого автора за 11 класс уже проходят производные и там за e берут определение через предел последовательности из 10го класса и доказывают что (e^x)'=e^x и подобное. 

 

[Рогожников Евгений]

1 час назад, Maxim Yurchuk сказал:

И в тех же учебниках этого автора за 11 класс уже проходят производные и там за e берут определение через предел последовательности из 10го класса и доказывают что (e^x)'=e^x и подобное. 

 

Я учился по другому учебнику. Вот по этому  https://docbaza.ru/urok/algebra/10/011/index.html. Выпуск 1990-го года.

Задача была из матолимпиады 1984 года, так что тогда в учебниках было то же самое.

 

И определение e там было таким: Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у = е^х в точке 0 имеет производную, равную 1,

https://docbaza.ru/urok/algebra/10/011/241.html

И доказывалось отсюда, что тогда  (e^x)'=e^x.

 

Никаких упоминаний о том, что еще e есть замечательный предел последовательнсоти (1+1/n)^n не было вообще.

Тем более не было и доказательств этого. 

 

Замечательно, что в новых учебниках это появилось. Мне, правда, сложно судить, что это за учебники. Т.е предназначены ли они для обычных общеобразовательных школ, либо только для спецшкол.

Но даже для такого учебника я практически уверен, что в нем нет доказательства эквивалентности двух определений числа e. Того определения, что я дал выше и определения через предел замечательной последовательности.  В школьной программе пределы и производные вообще даются очень нестрого. Никакого эпсилон-дельта языка. 

 

[Fireman]

 

24 минуты назад, Рогожников Евгений сказал:

Никаких упоминаний о том, что еще e есть замечательный предел последовательнсоти (1+1/n)^n не было вообще.

 

но тем не менее определение e именно такое, потому что через него можно задавать e для комплексных чисел и математических конструкций вообще (у которых основные операции определены)

другое дело, что в школе доказывали первый замечательный предел, а про второй говорили "это очень сложно и не входит в программу"

 

но вообще со вторым замечательным пределом если что и доказывать, что (1+1/x):x куда-то все таки сходится

[Maxim Yurchuk]

1 час назад, Рогожников Евгений сказал:

И определение e там было таким: Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у = е^х в точке 0 имеет производную, равную 1,

Определение какое-то странное, кажется, что слова "большее 2 и меньшее 3" не должны быть в определении:) 

 

Но из этого определения следует все то же самое же. 

Дано, что 

(e^x-1)/x -> 1 (при x->0)

Т.е. просто записали производную в точке 0. 

 

Заменяем x = ln(u+1), получаем 

u/ln(u+1) -> 1 (при u -> 0)

 

Вносим все под логарифм: 

1 / ln((u+1)^(1/u)) -> 1 

 

Переворачиваем дробь: 

ln((1+u)^(1/u)) -> 1

 

Убираем логарифм: 

ln((1+u)^(1/u)) -> ln(e)

(1+u)^(1/u) -> e

 

заменяем u = 1/n  и из этого следует, что

(1+1/n)^n -> e (при n->+inf)

 

А далее решение то же самое, т.к. используемый предел выведен из другого определения. 

 

Ну т.е. формально ничего выходящего из школьной программы твоего учебника. 

 

1 час назад, Рогожников Евгений сказал:

Но даже для такого учебника я практически уверен, что в нем нет доказательства эквивалентности двух определений числа e.

Да вроде в тех что я скидывал было, но я бегло смотрел. Но оно вроде как не очень сложное, см. выше (правда это только в одну сторону, но я думаю в обратную тоже не проблема). 

 

37 минут назад, Fireman сказал:

но вообще со вторым замечательным пределом если что и доказывать, что (1+1/x):x куда-то все таки сходится

 

Да это вроде несложно (если я ничего не перепутал):

a_n = (1+1/n)^n

b_n = (1+1/n)^(n+1)

 

Можно доказать, что

1) lim a_n = lim b_n

2) a_n возрастает

3) b_n убывает 

 

Значит a_n имеет предел. Ну, собственно, эти идеи я и использовал в своем решении. 

 

Изменено 9 июня, 2020 пользователем Maxim Yurchuk

[Рогожников Евгений]

34 минуты назад, Fireman сказал:

но вообще со вторым замечательным пределом если что и доказывать, что (1+1/x):x куда-то все таки сходится

То что эта последовательность куда то сходится доказать легко. Но в рамках нашей задачи надо доказать что сходится именно к e. 

[iv65]

09.06.2020 в 11:25, Рогожников Евгений сказал:

Решение выше хорошее, но вот этот факт в школе не проходят.

я с Вами не согласен, так как в школе его используют как основание натурального логарифма:

https://ru.wikipedia.org/wiki/E_(число)

И, я думаю, что всем школьникам известна эта функция:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Экспонента

 

Изменено 10 июня, 2020 пользователем iv65

[E.K.]

Всем привет!

 

Хочется немного охладить кипящий реактор математической мысли Мне кажется, что традиционно эта лужайка не для поиска самых сложных задачек, которые теоретически может решить каждый способный выпускних физмат-школы... ("способный" - в смысле "способный взять золото" на мировой Математической Олимпиаде). Задачки здесь приветствуются не заковыристые по сложности, не требующие алгебраической эквилибристики - нет. Хотелось бы также элегантных задачек попроще, которые не требуют знаний рядов Тейлора, числовых последовательностей Каталана и многоярусных бином-ньютоновых строчек мелким почерком. Примеров таких задачек много - можно листать с самого начала. Я их условия специально выделял красным, чтобы лучше было видно.

 

При этом я не против иногда ломать зубы и извилины над сложными задачками. Брейн-лифтинг и тяжёлая умственная атлетика тоже бывает полезной штукой! - даже если решить без подсказки самому всё равно не получится. Но пусть такие упражнения идут как минимум через раз..

 

Посему обращаюсь ко всем, кто мне эти задачки подкидывает: хочется больше задачек разнообразных, не только алгебраических, но и логических, комбинаторных, всяких разных какие есть! И всем заранее большое спасибо

 

Вот, например, пара неплохих судоку - поскрипеть мозгами на выходных. Предупреждаю! Как и вон та судока - эти тоже "на раз-два" не решаются.

 

Судоку-раз:

 

Судоку-два:

 

Удачи!

[Рогожников Евгений]

48 минут назад, E.K. сказал:

Посему обращаюсь ко всем, кто мне эти задачки подкидывает: хочется больше задачек разнообразных, не только алгебраических, но и логических, комбинаторных, всяких разных какие есть! И всем заранее большое спасибо

А подкидывать надо через личные сообщения?

[E.K.]

Наверное, можно и сразу сюда. Если задачка хорошая

И условия лучше красненьким выделять, чтобы заметнее было.

[iv65]

3 часа назад, E.K. сказал:

Наверное, можно и сразу сюда. Если задачка хорошая

У меня ещё с советских времён сохранилась парочка книжек с математическими головоломками, например эта:

https://avidreaders.ru/download/kenterberiyskie-golovolomki.html?f=pdf

???

В этой замечательной книжке не приводится алгоритм решения этих задачек.

Насколько я понимаю, что с тригонометрией у присутствующих здесь ребят имеются небольшие проблемы, жаль, что в сети перестала 

появляться эта девушка:

Ох, что бы мы делали в этом мире без представителей слабого пола? 

И, это вечный вопрос из области натурфилософии.

ИМХО

Мы бы просто вымерли, причём в третьем поколении.

Ведь мужчины в данный момент(насколько мне известно со 100 (сто процентной вероятностью))  не могут размножаться почкованием:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Почкование

Женщин надо беречь!!! 

И, "женщин обижать не рекомендуется":

https://start.ru/watch/zhenshhin-obizhat-ne-rekomenduetsya

 

Изменено 11 июня, 2020 пользователем iv65
добавлена информация

[Vladislav Nikolaev]

(ln(1+x))'=1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...
Интегрируем: ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5-x^6/6+...
x=1/n
ln(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+1/(3n^3)-1/(4n^4)+1/(5n^5)-1/(6n^6)+...
(n+1/2)ln(1+1/n)=(n+1/2)[1/n-1/(2n^2)+1/(3n^3)-1/(4n^4)]+(n+1/2)[1/(5n^5)-1/(6n^6)+...]
Слагаемое (n+1/2)[1/(5n^5)-1/(6n^6)+...] ,очевидно, при всех натуральных n > 0.
(n+1/2)[1/n-1/(2n^2)+1/(3n^3)-1/(4n^4)]=1-1/(2n)+1/(3n^2)-1/(4^n3)+1/(2n)-1/(4n^2)+1/(6n^3)-1/(8n^4)=
1+1/(12n^2)-1/(12n^3)-1/(8n^4)=1+1/(4n^2)*[1/3-1/(3n)-1/(2n^2)]
1/3-1/(3n)-1/(2n^2)=(2n^2-2n-3)/(6n^2)>0 при n>1, откуда следует что (n+1/2)ln(1+1/n)>1, при n>1.

[Рогожников Евгений]

11.06.2020 в 12:15, E.K. сказал:

 

Судоку-раз:

 

 

Убил прорву времени. Никогда не приходилоь ранее при решении судоку перебирать столько тупиковых подветок. 

Получил вот такое решение

 

 

На второе судоку уже сил нет. Пойду пиво пить.