Математическое и загадочное

[Fireman]

42 минуты назад, E.K. сказал:

Немного не подходит. В условиях задачи есть "ненулевыми целыми числами".

ох, действительно, в голове сидело, что можно использовать любые действительные числа, отличные от нуля ?

 

тогда если второй игрок ставит вместо второй звездочки некое целое число a, то первый игрок должен вместо оставшейся звездочки ставить любое целое число того же знака, что и число, поставленное вторым игроком - это будет приводить к гарантированной отрицательности дискриминанта (ну чтобы не думать - может ставить то же самое число)

Изменено 4 мая, 2020 пользователем Fireman

[E.K.]

Продолжение нового цикла задачек:

 

Найти все простые числа p=[n²/3], где [x] - целая часть числа x.

[Рогожников Евгений]

Найти все простые числа p=[n²/3], где [x] - целая часть числа x.

Это простая задачка.

Если n = 3*K, то [n^2/3] = 3*K  - не является простым при K > 1.
И тут всего один ответ
n = 3, p = 3

Если же n  не делится на 3, то n^2 = 3*K + 1
И тогда  p =  [n^2/3] = K .

Т.е мы получаем, что 3*p = n^2 - 1 = (n-1)*(n+1).
НО число 3*p имеет всего два простых делителя, а значит, всего 4 делителя,если считать 1. 

И получается что тогда у нас следующие варианты:

(n-1) = 1, а (n+1) = 3*p
(n-1) = 3, а (n+1) = p

И ответ у нас будет только 
n = 4, p = 5

Изменено 5 мая, 2020 пользователем Рогожников Евгений

[E.K.]

Ну, для полноты картинки надо бы ещё добавить, что n^2 никогда != 2 (mod 3).

И всё на этом

[E.K.]

Вот ещё простенькая задача. Не уверен, что решабельна в уме, но одной салфетки точно хватит

 

Дана последовательность натуральных чисел, в которой число номер k является произведением k первых простых чисел (2, 2*3=6, 2*3*5=30 => 2,6,30 и так далее). В последовательности есть два числа, разность между куторыми равна 30000. Что это за числа?

[Fireman]

3 часа назад, E.K. сказал:

Не уверен, что решабельна в уме, но одной салфетки точно хватит

Изменено 6 мая, 2020 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

Разность этих двух чисел делится на наименьшее. Но 30000 не делится на 7. Значит, наименьшее из этих чисел будет одно из: 2, 6, 30. Т. е нужен перебор всего 3-х вариантов. Получаем, что подойдут 30 и 30030=2*3*5*7*11*13

[E.K.]

Сегодняшнее, тоже несложное:

 

На угловых клетках шахматной доски записаны числа 1,9,9,1 как на рисунке:

Можно ли заполнить числами все остальные клетки так, чтобы в каждой горизонтали и каждой вертикали получилась геометрическая прогрессия? А арифметическая?

[Рогожников Евгений]

Ответ нет на оба вопроса.

 

Для удобства обозначений будем использовать координаты.
строки нумеруем сверху вниз от 1 до 8.
столбцы нумеруем слева направо  от 1 до 8.

Пусть в клетке {8,8} будет число A, а в клетке {1,8} будет число B.

Тогда.

Для геометрической прогрессии.

Вычислим значения в клетках {1,1} и {8,1}.
С оной стороны, если мы стартанем с клетки {8,8} то это будут  1/A^6  и 9/A^6 
С другой стороны, если мы стартанем с клетки {1,8} то это будут  9/B^6  и 1/B^6 

Получаем тогда два уравнения:
1/A^6= 9/B^6  
9/A^6= 1/B^6

откуда  (B^6/A^6  = 9) и (B^6/A^6  = 1/9)

Противоречие.

Для арифметической прогрессии.

Вычислим значения в клетках {1,1} и {8,1}.
С оной стороны, если мы стартанем с клетки {8,8} то это будут  7 - 6A  и 7*9 - 6A
С другой стороны, если мы стартанем с клетки {1,8} то это будут  7*9 - 6B  и 7 - 6B

Получаем тогда два уравнения:
7 - 6A= 7*9 - 6B
7*9 - 6A= 7 - 6B

откуда  (6B - 6A  = 56) и (6A - 6B  = 56)
Сложив оба равенства, получим  0 = 112

Противоречие.

[E.K.]

А вот округло-геометрическое:

Каким наименьшим числом кругов радиуса 1 можно полностью покрыть круг радиуса 2? (малые круги могут накладываться друг на друга и выходить за края большого круга).

[Рогожников Евгений]

Каким наименьшим числом кругов радиуса 1 можно полностью покрыть круг радиуса 2? (малые круги могут накладываться друг на друга и выходить за края большого круга).

 

Ответ 7.

Впишем в круг радиуса 2 правильный шестиугольник.  На каждой его стороне как на диаметре построим круг радиуса 1( т.е центр круга есть середина стороны ).
Это будет 6 кругов. Еще один круг радиуса 1 будет иметь центром тот же центр, что и круг радиуса 2.
Это даст покрытие.
В самом деле, проведем из центра круга радиуса 2 радиусы к вершинам шестиугольника. В итоге наш круг разобъется на 6 одинаковых секторов.
Для каждого сектора внутренний круг и круг, построенный на стороне, перескутся как раз на сторонах сектора. А, значит, сектор будет покрыт этими двумя кругами.
Но тогд, раз каждый сектор покрыт,то и весь круг покрыт.

То, что нельзя обойтись меньшим числом кругов следуетиз следующего соображения:
круг радиуса 1 может отсечь отсечь от окружности радиуса 2 хорду длины не более чем 2 ( длины своего диаметра ). Но эта хорда закроет только шестую часть окружности.
Значит, чтобы вся окружность большого круга была закрыта, потребуется не менее 6-ти кругов. И если их будет ровно 6, то они не достанут до центра и будет нужен еще, хотя бы один круг.
 

[E.K.]

Да, верно. А теперь на арифметику:

 

Могут ли все натуральные числа от 2 до 100 быть членами 13 геометрических прогрессий?

 

P.S. Уточнение: конечно же, должны быть использованы все числа и только по одному разу.

[barefoot]

08.05.2020 в 17:54, E.K. сказал:

Можно ли заполнить числами все остальные клетки так, чтобы в каждой горизонтали и каждой вертикали получилась геометрическая прогрессия? А арифметическая?

 

На оба вопроса ответ - да, можно. И не единственным образом.

Вот пример с арифметическими прогрессиями:

75 64 53 42 31 20  9 -2
64 55 46 37 28 19 10  1
53 46 39 32 25 18 11  4
42 37 32 27 22 17 12  7
31 28 25 22 19 16 13 10
20 19 18 17 16 15 14 13
 9 10 11 12 13 14 15 16
-2  1  4  7 10 13 16 19

 

А вот - с геометрическими:

 

3^8  3^7  3^6  3^5  3^4  3^3  3^2  3^1
3^7  3^6  3^5  3^4  3^3  3^2  3^1  3^0
3^6  3^5  3^4  3^3  3^2  3^1  3^0  3^-1
3^5  3^4  3^3  3^2  3^1  3^0  3^-1 3^-2
3^4  3^3  3^2  3^1  3^0  3^-1 3^-2 3^-3
3^3  3^2  3^1  3^0  3^-1 3^-2 3^-3 3^-4
3^2  3^1  3^0  3^-1 3^-2 3^-3 3^-4 3^-5
3^1  3^0  3^-1 3^-2 3^-3 3^-4 3^-5 3^-6

 

[Рогожников Евгений]

2 часа назад, barefoot сказал:

На оба вопроса ответ - да, можно

В ваших ответах 9 и 1 стоят не в тех клетках, что были в вопросе. Их надо поменять местами

[barefoot]

3 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

В ваших ответах 9 и 1 стоят не в тех клетках, что были в вопросе. Их надо поменять местами

Пардон. Действительно, другую задачу решал... А если поменять местами, то решений нет.