Математическое и загадочное

[oit]

@E.K.,моя теория: как только за 50% уходим - это максимальный результат (т.е. 1%+2%+3% ...) - как раз на 10м шаге это получается  

[E.K.]

Подсказываю: нам не нужно знать сколько кило/миллиграмм получит каждый гость, нам нужно выяснить у кого кусок будет больше.

[eco]

Ну, последним по ходу.

[santax]

Вес торта не важен. Первый берет одну сотую от торта (100/10000). Второй берет уже от 0.99 2%, то есть 198/10000. Больше у него кусок. Теперь концовка. 99й берет 99% от торта и последнему достается 1%. То есть у 99 кусок торта весит в 99 раз больше последнего. Вывод: вес кусков растет, ащатем на каком то этапе уменьшается. Надо найти этот максимум. Ясно, что оно небрльше 50,так как 50й берет половину торта, а вторая половина будет разделена между оставшимися50 гостями.

[den]

У меня получается, что 15-м гостю ничего не достанется.

[E.K.]

Ну что же вы так..

Ладно. Вот ответ. Как найти победителя чисто умственными упражнениями, без экселей и калькуляторов.

 

1. Нам всё равно сколько кто получит, посему надо просто сравнить порции соседей и найти того, кто получил больше предыдущего и последующего. Так? Найти того, чей кусок больше чем у соседей. Найти "максимум функции".

 

Ну, поехали. Пусть в торте "100 единиц". Первый получает 1%=1 единица. Второй получает 2% от 99 кусков, т.е. ... умножаем 99 на 2 (это ведь несложно?) и получаем... 1.98 "единиц торта", что почти в два раза больше первого гостя.

 

2. Про первого гостя можно забыть - он не победитель. Его можно вообще не учитывать. А для облегчения калькуляции считать, что торт опять целый и что в нём 100 "тортовых единиц". И задачка формулируется так: пришло 99 гостей, первый берёт 2%, второй 3%, последний 100%. Логика понятна?

 

Поехали. Первый (т.е. бывший второй) берёт 2%=2 единицы торта. Второй получает 3%*(100-2)=3%*98=2.94. Третий получает больше второго.

 

3.4.5... Забываем про второго гостя. Третий берёт 3 единицы, четвёртый = 4*0.97=3.88. Забываем про третьего.

Четвёртый берёт 4 куска, пятый 5*0.96=4.8. Забываем про четвёртого.

Пятый берёт 5, шестой 6*0.95=5.7.

Шестой берёт 6, седьмой 7*0.94=6.58.

Седьмой 7, восьмой 8*0.93=7.44.

Восьмой 8, девятый 9*0.92=8.28.

Девятый 9, десятый 10*0.91=9.1.

Десятый 10, одиннадцатый 11*0.9=9.9

 

Так, а вдруг у этой функции "кто больше" не один максимум, а несколько? Вдруг условный "33-й гость" получит больше 10-го? Кто сказал, что у этой функции только один максимум?

 

"Элементарно, Ватсон!" (с). Чистая математика, никаких фокусов.

N-нный гость получает N кусков (в той же модели "от ста кусков").

N+1-й гость получает (100-N)*(N+1)/100.

Умножаем обе части (куски N-нного гостя и куски N+1-го) на 100, раскрываем скобки...

 

100*N  100N - N² +100 - N

 

Переносим всё налево и получаем функцию:

 

N² + N - 100

 

Что еще с начальной школы называется "квадратичной функцией" или "квадратный трёхчлен" - это парабола. И у неё только один "излом" (максимум или минимум). Посему "двух 10-х номеров" среди гостей быть не может.

 

Вуаля!

[santax]

Вес не важен, так как мы сравниваем куски у соседних гостей. 9й гость берёт 9% торта ( 900 / 10000). 10й получается берет 91/100*10% (910 / 10000). У 10 больше. Теперь сравним 10 и 11. У10го 10% (1000/10000). А у 11го 90/100*11% (990/10000). То есть у 10 гостя кусок будет больший .

[oit]

 

 

E.K., 9-10м?

еще вчера сказал, что 10м, позже и в эксельке это подтвердилось, кстати, 9й получит на совсем немножко меньше 11го.

[E.K.]

Ладно, вот вам задачка попроще:

 

Знайка взял большое число, посчитал его факториал и записал результат на доске.

Незнайка пришел и стер одну цифру.

Как ее восстановить?

[santax]

Сложить цифры оставшиеся, поделить на 9. (9-остаток) будет стертое число.

Точнее цифра.

 

Место где оно стерто, будет пятном из мела.

Кстати, если остаток будет 0, то цифра может быть или 9, или 0. Просто нужна будет дополнительная проверка 2 чисел на соответствие факториалу.

Изменено 22 июня, 2017 пользователем santax

[E.K.]

Для проверки гипотезы возьмём, например, 13!=6227020800.

Стираем 6-ку.

2+2+7+2+8=21.

Делим на 9, остаток = 3.

Ну, в принципе, не очень 6, но близко.

[santax]

9-остаток, это "9 минус остаток". В вашем примере 9-3, стерта 6! Поясню, факториал большого числа содержит множитель 9. А все числа, которые делятся на 9, имеют сумму цифр, кратную 9.

А для цифр 0 или 9, чтобы не делить на множители большое число, можно провести проверку деления на 11. Число делится на 11, если разность суммы цифр на нечетных местах и суммы цифр на чётных местах кратна 11. Для того же числа 6227020800, пусть стёрли 0. Получилось вот такое число 62270208Х0. Сначала гипотезу про деление на 9 проверим: 27/9=3, остаток 0. Значит стёрли либо 0, либо 9. Проверяем вторую гипотезу: сумма чётных цифр - 19, нечётных 8 (если стерта 0) или 17 (если стерта 9). 19-8 кратно 11, а 19-17 нет. Значит цифра 0 стерта.

 

Про свойства чисел делящихся на 2-6 и 9 помнил, а вот про 11 подзабыл, пришлось вспоминать.

 

Кстати, 13 - не такое уж и большое число)

[E.K.]

Вот теперь всё верно.

Но достаточно "правила 11" - это упражнение сразу даёт нужный ответ.

А для подстраховки (вдруг тройку с восьмёркой перепутали, они похожи) можно "правило 3" и "правило 9" применить, обе проверки делаются "за один ход" (сумма цифр и проверка деления).

[iv65]

 Е.К. сказал:

13!=6227020800.

 

А если стереть, например, цифру 7

или 3, то задача существенным образом усложнится.

 

Да и 13 не очень большое число.

 

Как быть если, например, в условиях задачи,

будет 321!=???

 

Нужен просто алгоритм   решения данной задачи?

Мы же не ищем в жизни простых путей?

Изменено 29 июня, 2017 пользователем iv65

[Kapral]

Как быть если, например, в условиях задачи, будет 321!=???

 

)))

(%i1)    321!;

(%o1)    679269174457380047028785170185[607 digits]000000000000000000000000000000

 

 

Смотрите не ошибитесь с вводом результата ))) и самое главное не забудьте потом где удаляли цифры