Математическое и загадочное

[Friend]

Вот здесь еще подкидывают задачки

[E.K.]

На счёт возрастов детей есть схожая задачка:

 

Встречаются 2 приятеля, один другому говорит

- у меня трое детей, угадай сколько им лет, произведение их возрастов равно 36

- мало информации

- сумма их возрастов равно кол-ву окон в доме напротив

- мало информации

- один из них - рыжий

после этого приятель смог сказать возраста детей

Если кто не смог решить, то ответ такой: теоретически на троих произведение возрастов может быть комбинацией из 36=1*1*2*2*3*3. Теперь надо просто рассмотреть все возможные варианты.

 

1+1+36 = 38 // а что, практически такое возможно, старшему 36, двойняшкам по году

Но этот вариант не проходит, поскольку если в доме напротив 38 окон (или трамвай номер 38), то возрасты сразу угадываются.

 

Ещё варианты с единицей:

 

1+2+18 = 21

1+3+12 = 16

1+4+9 = 14

1+6+6 = 13

 

Без единицы:

 

2+2+9 = 13

2+3+6 = 11

4+3+3 = 10

 

Отсюда видно, что все варианты суммы кроме 13 дают однозначный ответ на второй подсказке. То есть, диалог бы сразу завершился. То есть, сумма=13.

 

Как третья подсказка указывает на 1+6+6 или на 2+2+9 ? Мне кажется, что тут некоторая натяжка. Что у двойни всегда одинаковый цвет волос (а это может быть и не так) и что до года цвет волос может быть неопределённым. Тогда вроде получается 2+2+9.

 

Или же там про "одного рыжего" какая-то специальная подсказка зарыта?

[E.K.]

Ну и ладно. У меня ещё алгебраическая задачка есть:

 

Решить в натуральных числах (x^y) * (y^x) = (x + y)^z

 

Выглядит страшненько, но решабельна. Решение занимает четверть страницы средним почерком. И похожие задачки мы только что решали (там где было про Бином Ньютона).

[Fireman]

 

 

Или же там про "одного рыжего" какая-то специальная подсказка зарыта?

 

Действительно, в задаче имелись так сказать гомозиготные близнецы, которые выглядят одинаково (мутации не в счёт)

И наверное правильно было бы говорить "только один из них рыжий" или например так "только старший из их - рыжий".

[Fireman]

 

 

Исходя из ответа Клубня-С клубню-П у него был 3021 вариант из 170 возможных сумм.   Если считать, что Клубень-С не хотел троллить и мучить Клубня-П лишними подсказками, то, когда он сказал, что знал про ситуацию у Клубня-П, у него оставалось всего 3010 из 159 возможных сумм.

 

Всё, разобрался благодаря двухгодичному обсуждению форумчан

 

Решил обойтись малой кровью и варианты сумм сделал из комбинаций чисел, которые остались у клубня-П. В результате крови было море 

 

А ведь есть:

 

1) гипотеза Гольдбаха, проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха (которая проверена до 4*10¹⁸) о представлении любого четного натурального числа суммой двух простых чисел

 

в результате все чётные суммы исключаем

 

2) возможные разложения произведения на простое число p > 50 (p = 53 и выше) и любое число

 

в результате все суммы выше 53 отпадают

 

3) возможные разложения произведения на два простых числа

 

в результате надо еще выкинуть все суммы равные p + (p + 2) (поскольку это единственная оставшаяся после п.1 сумма, в которой могут фигурировать 2 простых числа, все остальные дают четную сумму) 

 

В результате осталось рассмотреть нечётные суммы 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, что затем даёт однозначный результат

 

 

И не пришлось мучить бедный компьютер

[E.K.]

Судя по всему, пора уже рассказать решение вот этого:

 

Решить в натуральных числах (x^y) * (y^x) = (x + y)^z

Выглядит страшненько, но решабельна.

 

Поехали!

 

Сначала будет мой вариант решения (длинный, но правильный), потом же будет очевидный и краткий. Итак, мои рассуждения, глядя на этого рептилоида:

 

(x^y) * (y^x) = (x + y)^z

 

Или вот так тоже самое:

 

x^y * y^x = (x + y)^z

 

Вот вы что первым делом думаете, когда такую хрень перед своими глазами видите?

[E.K.]

В результате осталось рассмотреть нечётные суммы 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, что затем даёт однозначный результат

 

И не пришлось мучить бедный компьютер

Кстати, если всё же есть желание помучить компьютер, то давайте попробуем решить такую же задачку в других пределах:

- до 1000.

- до 1000000.

- до 10^n.

- до 2^i,

- и - ура!

[oit]

Судя по всему, пора уже рассказать решение вот этого:

 

Решить в натуральных числах (x^y) * (y^x) = (x + y)^z

Выглядит страшненько, но решабельна.

 

Поехали!

 

Сначала будет мой вариант решения (длинный, но правильный), потом же будет очевидный и краткий. Итак, мои рассуждения, глядя на этого рептилоида:

 

(x^y) * (y^x) = (x + y)^z

 

Или вот так тоже самое:

 

x^y * y^x = (x + y)^z

 

Вот вы что первым делом думаете, когда такую хрень перед своими глазами видите?

Частный случай - Уравнение окружности, эллипс

Изменено 15 апреля, 2019 пользователем oit

[E.K.]

x^y * y^x = (x + y)^z

 

Вот вы что первым делом думаете, когда такую хрень перед своими глазами видите?

А вот я сразу начинаю думать: эти загадочные иксы и игреки - они чётные, нечётные, какие - и это была самая главная ошибка в моих рассуждениях. Это была ошибка:

 

На жизнь нужно смотреть проще. На математику тоже.

(с) я, только что придумал

 

Но шут с ними с этими копирайтами, давайте следовать моей длинной (но верной) логике рассуждений про эту формулу.

 

x^y * y^x = (x + y)^z        // (далее эта штука будет упоминаться как "исходное уравнение"

 

Что сразу видно?

 

- Если x,y нечётные, то слева будет нечётное, а справа степень чётного x+y. Такого быть не может.

- Если x (или y) чётный, а y (или х) нечётный, тогда слева будет чётное, а справа нечётное. Нет, фтопку.

 

То есть, оба x и y = чётные. То есть, ! внимание, это важно ! =>

 

x = 2^m * p,  y = 2ⁿ * q, где p и q нечётные.

 

Исходное уравнение (см. выше "исходное уравнение") принимает форму:

 

2^{(my + nx)} * p^y * q^x = (2^m * p + 2ⁿ * q)^z

 

Пусть m>=n (иначе переставим x и y местами). То есть, m=n+k. Где k - это просто некоторое число, поскольку m больше n. Я доступно рассказываю? Это вроде бы должно быть просто..

 

Итак, подставляя все эти m,n,k в предыдущую формулу получается вот так:

 

2^{(my + nx)}  * p^y * q^x = 2^nz * (2^k * p + q)^z

 

Ой, что-то я устал, пойду налью себе чего-нть математически освежающего. Для поднятия духа сложения и умножения! Вычитания, деления, взятия интеграла и синуса косинуса.

[E.K.]

Дух поднят, математика ждёт!

 

Итак, остановились вот на чём:

 

2^{(my + nx)}  * p^y * q^x = 2^nz * (2^k * p + q)^z

 

Если приглядеться... то сразу видно, что если k!=0 и p!=1, то справа в скобках нечётное. Но тогда справа и слева должны совпадать степени двойки. То есть, буковки справа и сверху над символом вашей обычной оценки в дневнике из средней школы совпадают, то есть = дают равный результат:

 

2^{(my + nx)} = 2^nz

 

Ого, "опять двойку" можно срезать, мы же не в позапрошлом веке живём!

 

my+nx = nz

 

Немного повертев этим равенством.. да просто переставив слева направо, как в казино каком-то

 

n(x+y) + ky = nz

 

Получается, что ->

 

z = x+y+i, где i это просто некое число, результат деления ky на n.

 

Исходное уравнение (помните, которое в самом начале..) принимает форму:

 

(x^y) * (y^x) = (x + y)^(x+y+i)                   (1)

 

// Справа (1) не зря помечено, сюда надо будет прикладываться периодически..

 

А дальше... Извините, но я сразу пошёл трудной дорогой. Дальше берём в руки бином Ньютона и разворачиваем правые скобки:

 

(x + y)^(x+y+i) = x^(x+y+i) + C₁*x^(x+y+i-1)*y + ... C_x*x^(y+i)*y^x + и так далее...

 

x^y * y^x и равенство (1) содержит противоречие.

 

Следовательно, k не может быть чем-то больше нуля, это ноль полный и тотальный. Только ноль, и ура -> жизнь налаживается! (с)

 

m = n+k = (k=0) = n

m = n

 

Ура-ура! Мы серьёзно упростили вид x и y =>

 

x = 2^m * p

y = 2^m * q

 

Исходное равенство принимает вид:

 

2^{(n(y + x))} * p^y * q^x = 2^nz * (p + q)^z

 

Сразу: (p+q) = чётное и следовательно там среди делителей (p+q) есть двойка, то есть получается, что

 

x+y>z   (это тоже немножко важно сразу для дальнейших рассудений).

 

Для каких таких рассуждений? А вот, например таких вот:

- про степени двоек уже проверили, совпадают.

- пробиномо-ньютонили равенства цифровые, да.

- осталось проверить на "верю-не-верю", надо пробовать, иначе никак.

 

Ну, поехали:

[E.K.]

Давайте дальше я буду краток, а то и так всех уже утомил всеми этими многоэтажными арифмометрами...

 

НОД = Наибольший Общий Делитель.

x,y,p,q = взяты из предыдущих рассказов.

n=m=n

 

Итого, едем дальше ->

 

Пусть s=НОД(p,q). Тогда пусть p=s*p₁ и q=s*q₁ (p₁ и q₁ взаимопростые, это потребуется).

 

Включаю немного арифметического занудства:

 

2^{(n(y + x))} * s^(x+y) * p₁^y * q₁^x = 2^nz * s^z * (p₁ + q₁)^z

 

Конструкция понравилась? Мне тоже нет, но задачку как-то решать надо бы..

Посему, копать-копать-копать-не-перекопать!!!

 

Поскольку x+y>=z, то можно поделить на (2^nz)*s^z) =>

[E.K.]

Ой, я постараюсь ещё-ещё короче.

Там так получается:

 

2^(n(x+y-z)) * s^(x+y-z) * p₁^y * q₁^x = (p₁ + q₁)^z = (разворачиваем скобки) = p₁^z + q₁*(...) = p₁*(...) + q₁^z

 

=> p₁ делится на q₁, q₁ делится на p₁, но поскольку они взаимопростые, то p₁=q₁=1. То есть, p=q.

 

Итого,  x = 2^m * p = 2ⁿ * q = y

То есть, x = y

 

Офигительный вывод!

 

Особенно полезен, если можно было бы к нему догадаться в самом-самом начале решения задачки.

 

Увы, я не смог.

Но ничего страшного, завтра ещё что-нть придумается!

[E.K.]

То есть, x = y

Офигительный вывод!

Особенно полезен, если можно было бы к нему догадаться в самом-самом начале решения задачки.

 

Именно так и есть

 

x = y

 

Причём это следует сразу из постановки задачи, без всех этих выкрутасов с чётными-нечётными и разложением на множители.

 

Смотрим на исходную задачку:

 

x^y * y^x = (x + y)^z

 

Если левая часть делится на x, то и правая тоже обязана делиться на x.

Если левая часть делится на y, то и правая тоже обязана делиться на y.

 

То есть, (x+y) делится и на x, и на y. Но это возможно только в случае x=y.

 

Всё.

 

Дальше совсем элементарно.

[E.K.]

16.04.2019 в 05:33, E.K. сказал:

Смотрим на исходную задачку:

x^y * y^x = (x + y)^z

Если левая часть делится на x, то и правая тоже обязана делиться на x.

Если левая часть делится на y, то и правая тоже обязана делиться на y.

Кстати, что-то я погорячился. Если внимательно посмотреть на эти высказывания, то они становятся совершенно неочевидными.. Предположим, что 4^y*2^x=6^z

 

Ладно, едем дальше. Только что мы убедились, что x = y и карета превращается в тыкву исходное уравнение x^y * y^x = (x + y)^z теперь звучит уже вот таким образом:

 

x^2x = (2x)^z                              (2)

 

// (2) я пометил специально, потребуется ниже.

 

Подставляем в (2) уже знакомое представление икса: x=2^m*p =>

... ага, там "степень в степени", возможности движка форума не позволяют рисовать такие вещи... посему запись будет вот такой:

 

Подставляем x=2^m*p =>

 

(2^m*p)^(2*2^m*p) = (2^(m+1)*p)^z             // вот здесь слева "степень в степени";

 

Вытаскиваем нечётный p наружу..

 

(2^m)^(2*2^m*p) * p^(2*2^m*p) = (2^(m+1))^z * p^z

 

А зачем этот p вообще нужен? А вдруг p=1 и x это вообще просто степень двойки? Чтобы это доказать давайте предположим, что p не равен единице.

 

Итак, пусть p!=1 , но тогда степени p справа и слева в предыдущей записи равны, то есть => 2x=z

Подставляем это знание в в (2) и получаем => x^(2x) = (2x)^z => x^z = z^z => x=z и получаем противоречие 2x=z=x, а мы в натуральных числах, икс не может быть нулём.

 

Следовательно, предположение p!=1 неверно. Ура, жизнь становится всё проще и проще => p=1 и наш икс есть просто степень двойки! Ура: x=2^m

 

Тождество (2) принимает вид:

 

(2^m)^(2*2^m) = (2*2^m)^z

 

Степени двойки срава и слева должны быть равны, то есть:

 

m*2*2^m = (m+1)*z

 

Здесь же правое и левое делится одновременно на m и на m+1, это возможно только в случае => m=1, отсюда следует единственное решение исходного уравнения в натуральных числах x = y = 2^m*p = 2^1*1 = 2 и z тоже двойка.

 

Всё.

 

===>   x=y=z=2 

 

UPD: Увы, год назад задачка была решена не до конца..

Ошибка выше выделена красным.

 

Правильно вот так:

 

m*2*2^m = (m+1)*z

Или

m*2^(m+1) = (m+1)*z

 

Из чего следует, что z делится на m, а (m-1) = степень двойки. И количество решений бесконечно:

 

i=1,2,...

m = 2^i - 1

x=y = 2^m

z = m*2^(m+1) / (m+1)

 

Проверяем для нескольких i=1,2,3 =>

i=1: m=1, x=y=z=2 (уже было выше).

i=2: m=3, x=y=8, z=12.

i=3: m=7, x=y=128, z=224.

 

Теперь вроде всё совсем правильно.

[oit]

 

 

Частный случай - Уравнение окружности, эллипс

я что-то погорячился, знак * с знаком + перепутал 

А про 2ку первоначально была мысль, но ответ не сходился как раз из-за этого упущения со знаками * и +