Математическое и загадочное

[Рогожников Евгений]

2 часа назад, E.K. сказал:

Можно ли число вида 10^(3n+1) представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел?

вроде, проходит решение "в лоб"

 

Если у нас есть сумма двух кубов, то пусть это  2^(3d) * (a^3 + b^3)  = 10^(3n+1).   При этом НОД(a,b) не делится на 2.

Но тогда (a^3 + b^3) делится на 2. И тогда a и b оба не делятся на 2.

Аналогично можно считать, что оба a и b оба не делятся на 5.

 

Итого, имеем, что есть два числа a и b, которые оба не делятся ни на 2 ни на 5, но при этом  (a^3 + b^3)  = 2^k * 5^s

 

Заметим, что (a^3 + b^3) = (a+b)*(a^2 -ab +b^2)

 

Легко проверить, что (a^2 -ab +b^2) не делится на 5. Надо просто перебрать все возможные варианты для остатков

(1, 1)  , (1, 2), (1, 3), (1, 4)

(2, 2), (2, 3), (2, 4)

(3, 3), (3, 4)

(4, 4)

 

Но при этом  (a^2 -ab +b^2) не делится и на 2. Тут еще легче проверить.

 

Значит, (a^2 -ab +b^2)  = 1, чего быть не может

[E.K.]

39 minutes ago, Рогожников Евгений said:

Если у нас есть сумма двух кубов, то пусть это  2^(3d) * (a^3 + b^3)  = 10^(3n+1).   При этом НОД(a,b) не делится на 2.

Но тогда (a^3 + b^3) делится на 2. И тогда a и b оба не делятся на 2.

Эхх... Как обычно - я начал копать в этом направлении, но что-то запутался. Остаётся только приукрасить решение:

 

??^3 + ??^3 = 10^(3n+1)   =>

2^(3x) * 5^(3y) * (a^3 + b^3) = 10^3n *2*5

 

При этом a и b одновременно не делятся ни на 2, ни на 5, а (a^3 + b^3) делится на 2*5.

 

43 minutes ago, Рогожников Евгений said:

Легко проверить, что (a^2 -ab +b^2) не делится на 5. Надо просто перебрать все возможные варианты для остатков

(1, 1)  , (1, 2), (1, 3), (1, 4)

(2, 2), (2, 3), (2, 4)

(3, 3), (3, 4)

(4, 4)

(1,1) , (1,2) , (1,-2), (1,-1)

(2,2) , (2,-2) // (2,-1) не надо - уже выше было (1,-2).

// и все остальные тоже не надо - они зеркальны уже проверенным.

 

Красивая задачка, хорошее решение. Жаль, что сам не осилил...

[Тим 2]

По остаткам от деления кубов на 10 или 100 можно же посмотреть наример

2^3+8^3=2^3*65 делиться на десять а сто наверно нет уже.

[Тим 2]

21 час назад, Рогожников Евгений сказал:

2^(3d) * (a^3 + b^3)  = 10^(3n+1)

Непонял что-то. Общий делитель  a и б вынесли, после чего а или б должно делиться на два,  либо двойка была в одной степени у а и б и тогда остаток степени   двойки 3n+1 должен содержаться в сумме кубов.

[Рогожников Евгений]

4 часа назад, Тим 2 сказал:

Непонял что-то. Общий делитель  a и б вынесли, после чего а или б должно делиться на два,  либо двойка была в одной степени у а и б и тогда остаток степени   двойки 3n+1 должен содержаться в сумме кубов.

Если есть два числа у которых 2  входит как делитель в разной степени, то сумма  кубов этих чисел делится на 2^(3k). Т. Е не может быть равна 10^(3n+1)

[Тим 2]

21 час назад, Рогожников Евгений сказал:

Если  два числа у которых 2  входит как делитель в разной степени,

Оно не может в разной степени входить потому что сумма делится на два значит что два слагаемых должны делиться на два. Не поленился и провнрил на 100 сумма кубов тоже делится на 10,000 сумма кубов точно не будет делится.

51^3+49^3=250300

[Тим 2]

 99^3+1^3=970300

9999^3+1^3=999700029999+1

Те в пределе равно.

[Тим 2]

Зайдем как-нибудь так:

1001^3+999^3=2000006000

Мой калькулятор пишет что

99^5+1=99^5

[Тим 2]

Без задачек что-то скучно совсем.

[E.K.]

Увы, у меня такой зашквар, что пока не получается..

[E.K.]

Вот такое интересное решение было предложено:

 

1. Куб натурального числа сравним по модулю 7 либо с 0, либо с ±1.

2. Поэтому сумма двух кубов сравнима с одним из следующих чисел: ±2, ±1, 0.

3. А  10^(3n+1) = 1000^n x 10 ≡ (–1)^n x 3 = ±3 (mod 7).

 

Я пошёл спать, а вы продолжайте бодрствовать с этим знанием.

[E.K.]

Поскольку у меня самого на задачки времени совсем не хватает, то вот даю такую, которую сам не проверял. Может быть и засада какая-то. К тому же "незначительные потери" - понятие очень растяжимое в зависимости от цены на газ.

 

А вот стоит дома баллон объёмом 100 литров со сжатым газом под давлением в 10 атмосфер. И есть два пустых баллона по 50 литров. Ну и какая-нибудь соединительная трубка. Как перекачать почти весь газ из большого баллона в маленькие в домашних условиях (типа без компрессора, например)? Незначительные потери могут быть, это ок.

[santax]

Я даже не знаю как решать 😃 

Какие тут могут быть тезисы:

1. Газ будет идти от баллона с большим давлением, к баллону с меньшим давлением

2. два баллона 50л и 100л, соединенные трубкой в любом случае распределят газ между собой, а не перетечет оставив "пустоту" в 100л баллоне.

 

Ну и всё..

 

[E.K.]

Да чёрт его знает.. Сначала с большого баллона закачать в малый, потом из малого во второй малый. И так повторять бесконечно - получаем, что в 100л + 50л + 50л одинаковое количество газа.

 

Мне кажется, что всё это ересь. Гораздо дешевле просто пойти и купить газ в баллоне. Ну, это у нас. А в некоторых странах они вот такие задачки решают...

[santax]

и кстати да, баллоны-то по 50 явно не пустые, а с воздухом. Ваакумные сплюшило давно бы уже.

 

В россии эта задача решается через авито: обменяю один баллон 100л с газом, на 2 баллона по 50л. И трубка соеденительная в подарок.