Математическое и загадочное

[E.K.]

Что-то меня вклинило..

Никак не могу:

 

Решить в целых числах: (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 30.

[santax]

После сокращения получилось (x-z) * (x-y) * (z-y) = 10. А это возможно лишь с множителями 1, 2, 5.

Пусть x-z=1, x-y=2. Тогда z-y=1, а должно быть -5, ведь z-y=5. Аналогично проверив все выражения, понимаем, что решения нет.

 

Для сокащения Сначала первых два слагаемых разложил по формуле а^3 + б^3.

[E.K.]

Всё верно.

Сегодня утром, поковырявшись с этими иксами и игреками (но немного иначе) я пришел к тому же выводу.

Решения нет.

 

(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 30.

a^3 + b^3 + c^3 = 30.

 

что можно сказать про эти a,b,c ?

 

a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = 0, ага...

 

Для упрощения (плюс-минус, какая разница? и так ясно, что 'a' - положительное, а 'b' и 'c' - отрицательные) пусть:

 

a = b+c

 

Разворачиваем и получаем:

 

b*c*(b+c)=10.

 

Приехали...

[E.K.]

Еще парочка от хороших людей на десерт:

 

1. Решить в уме, задачка разминочная:

 

Найти все последовательные натуральные чётные (например, 2,4,6,8) числа, сумма которых равна 100.

 

2. Простая задачка, тоже решить в уме, а если на бумаге - то за 1 минуту:

 

Доказать, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133.

 

Оттуда обещают еще задачек отгрузить.

[santax]

1. 3 последовательности: {100}, {22,24,26,28}, {16,18,20,22,24}.

 

100 делил на его делители (число чисел в последовательности).

[E.K.]

1. 3 последовательности: {100}, {22,24,26,28}, {16,18,20,22,24}.

 

100 делил на его делители (число чисел в последовательности).

2. Простая задачка, тоже решить в уме, а если на бумаге - то за 1 минуту:

 

Доказать, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133.

[E.K.]

Чо притихли?

У меня ещё есть... импорного слега

[santax]

Дошло!!!

Выражение равно 121*11^n + 12*144^n. Преобращуем второе слагаемое к виду 12*(133+11)^n. (133+11)^n, если раскрыть скобки будет равно 133^n + X*133^(n-1)*11 + .. + 11^n. То есть все слагаемые делятся на 133, кроме последнего. Тогда выражение можно сократить к виду 121*11^n + 12*11^n = 133*11^n. Бинго!

 

Притихли,потому что в голове формулы и числа крутились, но в нужную цепочку не складывались. А набумаге за минуту можно решить, если тоже знать сразу правильное направление.

[E.K.]

Ну, ладушки. Получилось и сложилось.

Мне дальше задачки накидывать? - или у всех устали глаза и нейронный сети головного мозга тоже хотят нафиг всё это?

[santax]

Скидывайте, Евгений Валентинович.

[E.K.]

N-46 и N+37 - полные квадраты, найти N.

[santax]

Это вроде просто:

0(0),1(1),4(2),9(3),16(4),25(5)...X(m) Разница между ними 1(1),3(2),5(3),7(4),9(5)...Y(m), где Y= 2m-1

 

N+37 - (N-46) = 83, тогда m=42.

Тогда N-46 = 41^2, N+37 = 42^2

 

N=1727

[E.K.]

Это вроде просто:

0(0),1(1),4(2),9(3),16(4),25(5)...X(m) Разница между ними 1(1),3(2),5(3),7(4),9(5)...Y(m), где Y= 2m-1

А где сказано, что это последовательные полные квадраты?

[santax]

А где сказано, что не последовательные?) то есть ищем множество решений, а не одно?

В любом случае, между этими квадратами должно находиться четное число квадратов или 0, когда они соседние.

И разность между ними тогда будет состоять из ряда последовательных чисел. Н-р, 3,5,7 или 15, 17, 19, 21, 23. И сумма этих чисел должна делиться на число чисел в этой последовательности и равняться среднему числу. Для 1го варианта это делитель 3 и среднее 5; для 2-го делитель 5 и среднее 19. 

А так как 83 простое число, то N=1727 единственное решение.

Изменено 6 сентября, 2017 пользователем santax

[E.K.]

Да. Надо найти все решения.