Математическое и загадочное

[Рогожников Евгений]

7 часов назад, Fireman сказал:

вообще условие довольно таки не полное

В этом и есть особенность задач по физике. Тут есть некий произвол в условии. И в качестве решения ожидается построение адекватной модели. С этим у чистых математиков часто бывают проблемы. Обычно лезут в очень частные случаи, которые уводят от сути. Вы попытались решить, ход мысли был верный, но пока сделано недостаточно.

[Fireman]

3 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

но пока сделано недостаточно.

как недостаточно?

модель предложена и решение соответствующее этой модели

или требуется решить в общем виде, тогда будет как в анекдоте про стул с 1 ножкой и с бесконечным кол-вом ножек, а дальше всю жизнь искать общее решение для N ножек

 

с физической точки зрения интересно будет решение, где большая часть энергии будет уходить на преодоление силы трения, а доска будет толще гвоздя

[Рогожников Евгений]

1 час назад, Fireman сказал:

5 часов назад, Рогожников Евгений сказал:

но пока сделано недостаточно.

как недостаточно?

модель предложена и решение соответствующее этой модели

Скажем так. Задача на 10 баллов. А за ваше решение выше дадут не более 3-х. В общем виде никто не просит. Можете сами поэспериментировать, в конце концов, взяв реальную доску и гвоздь. Сомневаюсь, что получите 13 ударов. Скорее всего более 50. В этом и заключается выбор адекватной модели. 

[Fireman]

16 часов назад, Рогожников Евгений сказал:

Скажем так. Задача на 10 баллов. А за ваше решение выше дадут не более 3-х. В общем виде никто не просит. Можете сами поэспериментировать, в конце концов, взяв реальную доску и гвоздь. Сомневаюсь, что получите 13 ударов. Скорее всего более 50. В этом и заключается выбор адекватной модели. 

ок, попробую ?

но опять же - если я возьму тонкую доску - я забью гвоздь за 2 удара

особенно если правильно подберу материал доски и материал гвоздя, поэтому в таких задачах надо оговаривать некоторые детали

Изменено 10 августа, 2020 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

1 минуту назад, Fireman сказал:

но опять же - если я возьму тонкую доску - я забью гвоздь за 2 удара

С этим согласен.  И если в полное решение добавить этот частный случай , то это пойдет абитуриенту в плюс. Ведь оговорки про принятые допущения приветствуются ? Правда, и тут, если уж совсем играть в занудство, будет от 2-х до 10 ударов в зависимости от материала доски и гвоздя ?

[Fireman]

17 часов назад, Рогожников Евгений сказал:

Скорее всего более 50.

52 удара?

 

при допущениях

1) масса гвоздя значительно меньше массы молотка

2) сила тяжести гвоздя значительно ниже силы упругости доски

3) удар молотком абсолютно неупругий, молоток не сопровождает гвоздь

4) вся энергия уходит на преодолевание сопротивления доски

Изменено 10 августа, 2020 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

2 часа назад, Fireman сказал:

52 удара?

Ну тут ответ не столь интересен. Интереснее ход решения.

 

Первые 3 пункта само собой разумеющиеся. Разумно ведь допускать, что каждый удар сообщает одну и ту же энергию. Иначе вопрос задачи был бы лишён всякого смысла.

 

А вот 4-й пункт недостаточно развернут. В нем, собственно, вся суть. 

 

 

Могу дать подсказку. Почти все задачи по физике сводятся к силе, которая либо постоянна, либо зависит линейно от смещения.  Т.е к обычному маятнику. Физики  очень не любят идти во что то более сложное. И, как ни странно, они оказываются правыми !!!!!

 

Судя по ответу 52, вы скорее всего использовали численный метод. Говорю так, потому что сам когда решал, получил ответ 53. Это решение лучше предыдущих, но все равно плохое, так как по прежнему не видна суть.

 

Дам ещё неделю. Если никто не приведет решения, то выложу то решение, которое ожидали авторы задачи. Сразу скажу, что на мой взгляд это решение красивое и сразу отражает суть проблемы. 

[Fireman]

2 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

Ну тут ответ не столь интересен. Интереснее ход решения.

 

молоток передаёт некоторую энергию удара гвоздю Eуд.

при первом ударе энергия Eуд потратилась на совершение работы по преодолению силы сопротивления доски гвоздю:

 

Eуд = Fсопр*s 

 

s - пройденное расстояние = 0.1L

L - длина гвоздя

Fсопр - сопротивление доски гвоздю и в самом простом случае - это сила трения 

 

Fсопр = Fтр = mgk

 

m - масса части гвоздя внутри доски = 0.1M

M - масса гвоздя

k - коэффициент трения

 

итого при первом ударе 

 

Eуд = Fсопр*s = 0.1M*g*k*0.1L

 

При следующем ударе гвоздь войдет в доску на длину x, поэтому энергия удара Eуд будет потрачена на совершение работы по преодолению сопротивления доски 0.1 + x массы гвоздя, т.е. 

 

Eуд = (0.1 + x)M*g*k*x*L

 

Поскольку энергия удара одна и та же, то имеем 

0.1M*g*k*0.1L = (0.1 + x)M*g*k*x*L

 

0.1²=(0.1 + x)x

 

И после второго удара гвоздь будет на глубине 0.1 + (-0.1 + ✓(0.1² + 4*0.1)/2 = 0.16L

 

Энергия следующего удара уйдет на проталкивание (0.16+x) массы гвоздя на x длины гвоздя

 

Общая формула:

 

x² + x * S_n-1 - 0.1² = 0

S_n = S_n-1 + x

 

т.е.

 

S_n = S_n-1 + (S_n-1 + ✓(S_n-1²+0.04))/2

 

или если упростить и переписать:

 

2x_n+1 = 3x_n + ✓(x_n² + 0.01)

 

n - номер удара

x_n - половина глубины вхождения гвоздя в доску

 

Итого имеем:

 

На 52 ударе гвоздь входит на 1.004 длину гвоздя

 

 

Ну и наконец с этой логикой можно зайти с другого бока:

 

После того как гвоздь вбит на всю длину если ударить еще раз, то гвоздь войдет на

x² + x - 0.1²=0

x = 0,0099 своей длины

 

значит понадобится не более, чем

1 + (1 - 0,1)/0,0099 = 92 ударов молотка

 

Это максимальная оценка сверху для нашей облегченной физической модели

 

Но на самом деле в этом вычислении ошибка - ведь мы сейчас вычислили насколько пройдет гвоздь массой (M+x), а гвоздь у нас ограничен массой М

Поэтому формула будет такой:

 

0.1² = x

 

Таким образом потребуется только

1 + 0.9/0.01 <= 91 удар молотка

 

Изменено 10 августа, 2020 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

Поразительно. Почти один в один мое решение, когда я когда то давно решил эту задачу на другом форуме. 

 

 

Выложу тогда то, что ожидалось.

 

При забивании гвоздя, тому надо преодолевать две силы:

Первая - это сила трения, действующая на боковую поверхность гвоздя, и которая линейно с неким коэффициентом зависит от глубины гвоздя в доске. Вторая - это сила сопротивления, действующая на острие гвоздя, т.е на нижнюю поверхность, и которую можно считать постоянной. Ну а далее от сил надо перейти к энергии, т.к мы имеем дело с ударами молотка, которые мы считаем одинаковыми, т.е несущими одну и ту же энергию. И мы помним, что энергия тут есть работа силы. Сила, которая постоянна, совершает работу пропорционально перемещению, подобно тому как это делает сила тяжести. значит, работа такой силы будет A*x , где A - некая постоянная, а x - смещение. Сила, которая пропорциональна смещению, совершает работу пропорционально квадрату смещения, подобно пружинке, которую мы сжимаем. Значит, работа такой силы будет B*x*x.

 

Итого, если длина гвоздя L, которую можно положить равной 1, то полная энергия E, затраченная на его забитие, равна L*(A + B*L). Ну а энергия удара W равна энергии, которая получилась после первого удара и равна 0.1*L*(A +B*0.1*L).

Отсюда число ударов есть E/W = (100*A+10*B)/(10A+B).  Таким образом, ответ будет от 10 до 100, в зависимости от соотношения между A и B,  то есть в зависимости от соотношения между обеими силами, которые тут и будут определяться материалом гвоздя и доски

 

 

 

[Рогожников Евгений]

И вот ещё пара задач из того же источника, которые мне наиболее запомнились.

   Оценить скорость ветра, которая может перевернуть стоящий автобус. 

Футболист наносит удар по мячу. Оценить время контакта ноги футболиста и мяча.

 

[Fireman]

19 минут назад, Рогожников Евгений сказал:

Футболист наносит удар по мячу. Оценить время контакта ноги футболиста и мяча.

удар будет происходить поэтапно:

1) нога вминает мяч на некоторое расстояние s

2) нога останавливается  и мяч начинает двигаться вперед, расправляясь, т.е. мяч точкой удара ноги по мячу остается на месте, но двигается остальными частями понемногу расправляясь

3) мяч расправляется полностью (приобретает форму шара) и отрывается от неподвижной ноги

 

таким образом итоговое время будет:

T = T_ноги + T_мяча  

 

где

T_ноги - время продвижения ноги 

T_ноги = s / v_ноги

 

T_мяча  - время продвижения мяча

T_мяча  = s / v_мяча

 

удар по мячу абсолютно неупругий, поэтому

m_ноги * v_ноги = m_мяча * v_мяча

 

где

m_ноги - масса ноги

m_мяча - масса мяча

v_ноги - скорость ноги

v_мяча - скорость мяча

 

Итого:

v_мяча = m_ноги * v_ноги / m_мяча

 

Тогда:

 

T = s * (1 / v_ноги + 1 / v_мяча) = s * (1 / v_ноги + 1 / (m_ноги * v_ноги / m_мяча)) = (s / v_ноги) * (m_ноги + m_мяча) / m_ноги = T_ноги * (m_ноги + m_мяча) / m_ноги

 

Если нога весит 10кг, а мяч 0.5 кг, нога бьет со скоростью бега (10м/с) на половину диаметра мяча (0,1м), то время контакта мяча с ногой будет 0,0105 сек

 

 

 

[Рогожников Евгений]

5 минут назад, Fireman сказал:

Если нога весит 10кг, а мяч 0.5 кг, нога бьет со скоростью бега (10м/с) на половину диаметра мяча (0,1м), то время контакта мяча с ногой будет 0,0105 сек

Как ни странно, но ответ не зависит ни от скорости удара ноги, ни от ее массы, ни от массы мяча. В предположении, правда, что масса ноги значительно больше массы мяча, что мяч хорошо накачен и что удар относительно быстр, а также, что размер стопы, которая наносит удар сопоставима с размером мяча. Так что ваше решение все же неверно. Хотя ответ , с учётом подобранных вами конкретных параметров, оказался  верен .

 

Реальный ответ зависит только от степени накаченности мяча, которую вы не указали

[Fireman]

1 час назад, Рогожников Евгений сказал:

Оценить скорость ветра, которая может перевернуть стоящий автобус. 

удобнее решать обратную задачу - 

"оценить скорость ветра, которая будет удерживать автобус, наклонённый под углом 45 градусов от падения"

 

очевидно, что сила тяжести и сила ветра должны быть равны, тогда итоговая сила смотрит строго в точку стояния автобуса на земле и тем самым дает автобусу устойчивости

сила ветра в данном случае может рассматриваться как сила лобового сопротивления, т.е. 

 

F_сопр = ro * v² * S / 2

 

где

ro - плотность воздуха

v - скорость воздуха

S - площадь поверхности воздуха

 

итого:

m*g = ro * v² * S / 2

v = ✓(2m*g / (S * ro))

 

пусть масса автобуса - 10 тонн, высота 2 метра и длина 10 метров

тогда 

 

v = ✓(2 * 10000 * 9.8 / 20 / 1.2) = 90 м/сек или 320 км/ч

[Fireman]

28 минут назад, Рогожников Евгений сказал:

Реальный ответ зависит только от степени накаченности мяча, которую вы не указали

у меня как раз накачка мяча 1 атмосфера  т.е. мни мяч как хочешь, поэтому и нужны другие параметры, на футбольный мяч это конечно не очень похоже

 

 

Ок, согласно вашим условиям 

28 минут назад, Рогожников Евгений сказал:

В предположении, правда, что масса ноги значительно больше массы мяча, что мяч хорошо накачен и что удар относительно быстр, а также, что размер стопы, которая наносит удар сопоставима с размером мяча.

 

мяч можем рассматривать как пружинный маятник и период этого маятника как раз равен времени нахождения мяча на стопе (половина периода мяч сжимается - идет удар по мячу, вторая половина периода мяч разжимается - идет отрыв мяча от стопы)

 

T = 2 * pi * ✓(m / k)

 

m - масса мяча (пусть будет 0,5кг)

k - коэффициент упругости мяча (для облегчения будем считать, что это объёмный адиабатический модуль упругости воздуха (пусть будет 150000Па)

 

В итоге получаем

 

T = 2 * 3.14 * ✓(0.5 / 150000) = 0.0115 сек 

 

 

  

28 минут назад, Рогожников Евгений сказал:

Так что ваше решение все же неверно.

все зависит от того, какую модель рассматривать :))))

 

Изменено 10 августа, 2020 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

6 часов назад, Fireman сказал:

 

мяч можем рассматривать как пружинный маятник

Да, именно так. А на счёт того, что ответ не зависит от массы мяча, я погорячился. Конечно, же зависит. Также как зависит период пружинного маятника от грузика. Также ответ зависит  и от радиуса мяча, так как тот входит в формулу рассчёта коэффициента k упругости мяча.

 

Собственно, что дело обстоит так, то есть, что систему можно рассматривать как пружинный маятник, вытекает как только мы попытаемся рассмотреть величину силы, которая будет действовать на мяч при ударе. Мяч это шар и при ударе деформируется со стороны удара. Так как нога велика, то ситуация будет та же, как если бы мяч ударялся в стену. Рассмотрим зависимость силы от деформации x. Так как деформация будет невелика, то форму мяча будет можно считать шаром с отрезанным сегментом. 

Сила F равна произведению давления на площадь сегмента. Легко показать, что площадь сегмента приближенно равна  2*pi*r*x, где r есть радиус мяча. Тут мы отбросили величины порядка x*x. Изменение давления пропорционально изменению объема шара и будет пропорционально x*x, поэтому его также можно отбросить и считать давление постоянным равным p. Таким образом, получаем формулу F= -2*p*pi*r*x.  То есть тут та же формула, что и для пружинного маятника!!!!

 

Попутно найден и коэффициент упругости k=2*p*pi*r

 

Ну а далее рассчет как и у вас. Только, чтобы цифры были красивые, давление p следует положить 2-м атмосферам - как в автомобильной шине. r будет примерно 15 см. Одна атмосфера, как мы помним, это давление в воде на глубине 10 метров, то есть 100 000 кг/м^3. Итого, ответ будет 1/100 секунды