Математическое и загадочное

[Sandynist]

Новость появилась из области математики: удалось выразить число 42 в виде суммы трёх трёхкубовых чисел https://nplus1.ru/news/2019/09/06/42-in-cubes

 

Если честно, то я даже не знал о существовании такой проблемы

[E.K.]

Что-то давненько мы загадки не разгадывали.. Вот, давайте, найдите площадь закрашенного:

[7Glasses]

@E.K., Геометрическое и загадочное   

[Noo]

Способ у меня получился очень громоздкий. Если такое решать на олимпиаде, то на получение ответа уйдет всё время. Если под рукой есть компьютер - то моим способом ответ получится сравнительно быстро.

Примем сторону квадрата за 1.

1) Найдем площадь криволинейного треугольника ABC. Из площади квадрата вычитаем площадь, которую отсекает дуга AC. Она равна 1 - pi*(1/2)^2/4.

1) Найдем площадь зеленого криволинейного треугольника BNM (N, M - середины сторон). Она ищется также просто: из площади квадрата вычитаем площадь круга и делим на 4. Она равна (1 - pi*(1/2)^2)/4.

2) Чтобы получить красный кусочек, надо из площади криволинейного треугольника ABC вычесть площадь зеленого криволинейного треугольника и вычесть ещё площадь криволинейного треугольника MXA (X - точка пересечения вписанной окружности и дуги; контуры этого треугольника я попытался на рисунке выделить желтым)

Осталось только найти площадь криволинейного треугольника MXA. 

3) Примем центр O за начало координат, ось X направим влево, ось Y - вниз. Мы можем задать уравнение окружности по координатам центра и радиусу. Уравнение вписанной окружности имеет вид x^2+y^2 = 1/4; уравнение окружности, содержащей дугу AC - (x + 1/2)^2 + (y-1/2)^2 = 1. Для нахождения x, y решим систему из этих уравнений. Нас интересуют только положительные корни, потому что мы так выбрали оси. x = (sqrt(7)+1)/8; y = (sqrt(7)-1)/8.

4) Начинаем подбираться к площади нашего криволинейного треугольника. Мы можем её получить, если из треугольника MXA вычтем две площади: первая - площадь, ограниченная дугой MX и отрезком MX, вторая - площадь, ограниченная дугой XA и отрезком XA. Найдем площадь MXA. Знаем основание MA = 1/2 и высоту, равную 1/2 - x. Площадь MXA = 1/2*1/2*(1/2 - x) = (3 - sqrt(7))/32.

5) Теперь найдем площадь, ограниченную дугой MX и отрезком MX. Для этого из площади треугольника MOX вычитаем площадь сектора MOX. В треугольнике MOX MO = 1/2; OX - радиус окружности, равен 1/2. Найдем синус угла альфа из треугольника YXO, он равен y/MO = 2y = (sqrt(7)-1)/4. Площадь треугольника MXO равна 1/2*1/2*1/2*(sqrt(7)-1)/4 = (sqrt(7)-1)/32. Площадь сектора MOX равна 1/2*(1/2)^2* arcsin (alpha). 

Дальше становится вообще громоздко, вычисления далее не пишу.

6) Треугольник MOA равнобедренный прямоугольный, поэтому угол MOA равен 45 градусов. Стало быть, угол XOA равен 45 - альфа. В треугольнике XOA OX = 1/2; OA = sqrt(2)/2; угол 45 - alpha. Аналогично считаем его площадь.

7) Вычитаем из площади треугольника MXA полученные на шагах 5) и 6) площади, получаем площадь криволинейного треугольника MXA.

8) Вычитаем площади из площади криволинейного треугольника ABC (см. шаг 2), получаем красный кусочек.

Надеюсь, я объяснил понятно))

[Fireman]

6) Треугольник MOA равнобедренный прямоугольный, поэтому угол MOA равен 45 градусов. Стало быть, угол XOA равен 45 - альфа. В треугольнике XOA OX = 1/2; OA = sqrt(2)/2; угол 45 - alpha. Аналогично считаем его площадь.

 

По поводу п.6

 

касательно площади, отсекаемой дугой XM - все так, как написано

касательно площади, отсекаемой дугой XA - потребуется рассмотрение сектора XAD, что может быть получено из знаний координат точки X

[santax]

Если сторона квадрата X единиц, то получается X^2*(1-pi/4).

Изменено 19 ноября, 2019 пользователем santax

[Noo]

Если сторона квадрата X единиц, то получается X*(1-pi/4).

Площадь измеряется в единицах длины в квадрате (м^2). У Вас в формуле размерность просто единица длины (м)

[santax]

@Noo,действительно, исправился. Изменено 19 ноября, 2019 пользователем santax

[E.K.]

Что-то какая-то тяжёлая задачка получилась.. Мне показалось, что если внимательно посмотреть на круги и сектора, то должно получиться что-то более элегантное..

 

Или покрасить их в разные цвета - и решение проявится само собой..

 

Увы, действительно надо вычислять координаты точки (или же величины углов - что примерно одно и тоже), формулы получаются.. как фундамент лопатой копать.

 

Неужели нет более простого и красивого решения? У меня не получилось..

[Борис Прокофьев]

Или покрасить их в разные цвета - и решение проявится само собой..

А там разве будет решение? Все эти "буквы" (A, G, X, Y, Z, R, Sq) выражены друг через друга.

Если подставить вместо них вышеуказанные формулы, то получим тождества. Искомое R через единственно известное n так не выразить. 

 

Такое ощущение, что при таком построении точки пересечения окружностей делят соответствующие дуги на равные части:

В таком случае все нужные углы известны [α = 3π/4 и т.д.] и искомая площадь вычисляется элементарно как разница площадей сегментов.

 

Но это надо доказать...

Изменено 23 ноября, 2019 пользователем Борис Прокофьев

[E.K.]

Но это надо доказать...

Ой, вроде бы элементарно. Надо было просто внимательно на углы посмотреть, высоты провести.. И всё сразу видно. Сейчас нарисую..

 

[ пардон, дальше не читать, грубый ляп в рассуждениях ]

 

Вот:

 

Пусть длина ребра квадрата равна единице. Т.е., O₁A=1/2, O₂A=1. Внимательно смотрим.. и видим, что:

 

1) AB = 1/2*cos(a) = 1/2*sin(b+pi/4)

2) a+b = pi/4

 

Дальше вроде всё просто и верно:

 

cos(a) = sin(pi/4-a)

 

Откуда просто сразу a=pi/8. Ура.

 

Это справедливо для любых a. Ни разу не ура...

 

Пользуясь этим знанием получаем AB = 1/2*cos(a) = sin(d). Откуда можно подсчитать d из равенства:

 

sin(d) = (√(2 + √2))/4

 

Теперь искомая красная площадь:

 

Она равна площади красно+желтого сектора ACО₁+плюс+ два зелёных треугольника AO₁O₂-минус- желто+зелёного сектора ACO₂ =>

 

Площадь искомых закрашенных фигур = 2 (их две) помножить на (можно уже подставлять длину ребра квадрата 'n') =>

 

pi*(n/2)² * 3/8 + 2*n * n/√2 * sin(d) / 2 - pi*n² * (2d/2pi) =

n² * (3/32*pi + sin(d)/√2 - 4d)

 

Какая-то вот такая геометрия получается.. Непростая.

 

[ пардон, что выше не читать, грубый ляп в рассуждениях ]

[Борис Прокофьев]

Но это надо доказать... 

 

Там "на глаз" вроде всё очевидно: 

Если угол меньше 45° то точка А попадает внутрь квадрата, если больше → наружу.

Иначе говоря, ОА равна тому чему она равна (n/√2) только в том случае, если угол именно pi/4. Но доказать что-то не получается 

[E.K.]

Но доказать что-то не получается

Да, у меня что-то тоже никаких идей. Только через уже применявшиеся уравнения окружностей. Смотрим на треугольник OBC:

 

O - центр координат.

Считаем координаты B и С.

Расстояние между ними есть 1/2 синуса половины искомого угла. Должны получить pi/8 (половина угла).

[E.K.]

Расстояние между ними есть 1/2 синуса половины искомого угла. Должны получить pi/8 (половина угла).

Увы. Я не поленился и подсчитал. Угол BOC получается чуть меньше 22.5°. Он у меня получился 20.7°

 

Предлагаю на этом закрыть тему. Что-то непростая задачка получилась.. На усидчивость, а не сообразительность.

[Борис Прокофьев]

Такое ощущение, что при таком построении точки пересечения окружностей делят соответствующие дуги на равные части:

 

Увы. Я не поленился и подсчитал. Угол BOC получается чуть меньше 22.5°. Он у меня получился 20.7°

То есть ощущение было изначально обманчивым... Жаль.