Математическое и загадочное

[iv65]

нам нужно знать точно массы настоящей

"Да не вопрос"

Википедия Вам в помощь:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%B8%D0%BD_%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%BE

 

Масса 7,5 г

У Вас уже определено одно из неизвестных

Изменено 22 июня, 2019 пользователем iv65

[Fireman]

 

 

"Да не вопрос" Википедия Вам в помощь:

 

так то оно так, но если абстрагироваться и считать, что веса не известны...

[iv65]

 

 

так то оно так, но если абстрагироваться и считать, что веса не известны...

У меня пока не получается сделать это за 2 взвешивания

Больно всё запутано в этой задаче, а также никаких констант и аксиом я в условии задачи не вижу.

Может быть Евгений Валентинович даст какую нибудь вводную?

[Fireman]

 

 

У меня пока не получается сделать это за 2 взвешивания

 

как я описал выше - за 2 взвешивания у меня получилась или дудочка или кувшинчик  

т.е. или страну определить, зная точные массы монет или точные массы монет и 11 стран, одна из которых произвела фальшивку

 

за 4 взвешивания задача решается однозначно в лоб комбинацией двух указанных выше способов

за 3 взвешивания задача так же решается, просто в начале надо взвесить все монеты и будем считать, что разница между настоящей и фальшивой монетой известны точно

 

за 2 взвешивания надо опять таки думать  

[Себастьян Перейро]

 

поэтому разбираем все монеты по странам и получаем 21 стопку по 5 монет каждой страны Еврозоны

откладываем в сторону одну стопку из пяти монет одной из стран не взвешивая ее.

 

1-е взвешивание:

 на  чашки весов помещаем по 50 монет

10 РАЗНЫХ СТРАН

а) Если весы уравновешиваются, то мы имеем на обоих чашках весов подлинные монеты, а в отложенной стопке монет из одной из стран евросоюза находятся фальшивые, монеты, имеющие меньший (либо больший) вес.

б) Если весы не уравновешиваются, то значит в  50 монетах, имеющих меньший (больший) вес имеются фальшивки.

откладываем эти 50 монет в сторону, а дальше начинается простая математика.

 

Далее напишу, как можно определить вес подлинной монеты.

 

всем привет. В этом рассуждении есть несостыковка - ибо из пяти фальшивых монет могло поместиться по две на каждую чашку и одна фальшивая осталась в стопке из пяти отложенных. весы уравновесились-бы - но таким способом фальшивинг не обнаружился-БЫ.. Но это не актуально - т.к. весы однояйцевые  одночашечные. 

 

Насчет решения задачи в текущих условиях (одночашечные весы, 21 страна по 5 монет с каждой, 5 из них фальшивые, и есть всего два взвешивания) - то можно было-БЫ сделать так:

 

1.Положить всю кучу в чашу весов (все 105 монет).

2. Опосля - вытаскивать из кучи по пять монет из каждой страны и смотреть на сколько убывает вес.

Таким образом формально это одно взвешивание - и в процессе убытия монет из чаши мы таки увидим фальшивую кучку из 5 монет.

Как под это дело подвести математику и написать грамотно - затрудняюсь ответить (да и лень). Главное ведь результат? - вот результат.  Таки вот.

[iv65]

 

 

1.Положить всю кучу в чашу весов (все 105 монет).

А я бы сделал совсем по другому.

Сначала бы взвесил одну монету.

По теории вероятности она вряд ли была фальшивой.

 

Затем бы взвесил все остальные монеты и ,таким образом , зная ремедиум:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%83%D0%BC

а он в нашем случае :

"Причём отличаются менее чем на 8 грамм."

подобрал  бы нужные математические формулы

[Себастьян Перейро]

@iv65,

таким образом , зная ремедиум:

 

ремедиум - это хорошо. Это даже правильно.

Только во первых мы при этом использовали две попытки для взвешивания

Во вторых - не идентифицировали при этом те пять монет, которые должны были идентифицировать.

 

   

[iv65]

ремедиум - это хорошо. Это даже правильно.

Причем, такой большой ремедиум вполне вероятен , например, в случае чеканки монет из драгоценных металлов:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Памятные_монеты_евро

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%B0_%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%BE_(%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%82%D1%8B)

Только эти памятные монеты имеют другой дизайн, а также,  не выпускаются памятные монеты номиналом в 1 евро

Изменено 23 июня, 2019 пользователем iv65

[E.K.]

Предлагаю вернуться к задачке. Но для начала решить её в наиболее простом варианте. Пусть у нас всего ТРИ кучки, одна из которых сплошь из фальшивых монет.

[E.K.]

Что-то даже на трёх кучках никак за три взвешивания не получается..

Сдаёмся?

 

P.S. Ан, нет! Решабельно, причём как-то совсем элементарно..

 

Решение-для-3.

 

Из интернетов узнаём, что вес одного евро = 7.5 грамм. Далее берём по одной монете из каждой кучки и взвешиваем k1+k2 и k1+k3. Если ни разу не получаем ровно 15 грамм, то фальшивая = k1. Если первое взвешивание даёт 15 грамм, то фальшивая k3. Если второе - то k2. Если оба взвешивания 15 грамм - то это весы сломались

 

Тааак, теперь давайте решим это для четырёх монет - в качестве тренировки перед более сложными цифрами.

 

Ой, а для четырёх тоже несложно..

 

Решение-для-4.

 

Взвешиваем:

k1 + k2 + k3 = M

2k2 + k3 + 2k4 = N

 

Если M равно весу трёх монет, то фальшивая k4, её вес равен M-22.5 грамма (M минус вес трёх евро-монет).

Если N равно весу пяти монет, то фальшивая k1, её вес равен N-37.5 грамма.

Если обе не равны, то фальшивка либо k2, либо k3. Но это означает, что k1 и k4 весят по 7.5 грамма. То есть,

 

k2 + k3 = M - k1 = M - 7.5

2k2 + k3 = N - 2k4 = N - 15

 

Элементарнейшая система уравнений. Вычитаем первое из второго, подставляем обратно, получаем:

 

k2 = N - M + 7.5

k3 = 2M - N

 

Кто-то из них равен 7.5 грамм, а другое - фальшивка.

 

Дальше надо для пяти тоже самое состряпать..

// вот интересно, до какого максимального числа кучек можно догнать этот метод без учёта ограничения 8 грамм (то есть, разница фальшивой кучки чуть больше веса одной монеты) и что второе взвешивание не знает о результатах первого?

[E.K.]

А у меня вроде бы получилось.. Примерно вот так:

 

1. Нам известен вес "честной" евро-монеты = 7.5 грамм. То есть, задачка именно про евро-монеты, а не просто какие-то абстрактные гульдены или динары.

 

2. Для удобства обозначим все монеты из разных кучек буквами ‘a-b-c-d-e-f-g-h-i-j-k-l-m-n-o-p-q-r-s-t-u’. 21 «кучек», в каждой из которых 5 «букв». Буква=монета.

 

3. Будет два взвешивания с результатами M (первое) и N (второе).

 

Первое взвешивание: раскладываем 60 монет из 20 кучек вот так ->

 

a     f     k     p

bb    gg    ll    qq

ccc   hhh   mmm   rrr

dddd  iiii  nnnn  ssss

eeeee  jjjjj  ooooo  ttttt

 

Взвешиваем, получаем какой-то результат M. Если вес M равен весу 60 правильных монет (450 грамм), то фальшивая 21-я кучка ('u'). Взвешиваем одну монету оттуда – и всё. Результат: фальшивые монеты в кучке ‘u’, вес фальшивой монеты = результату второго взвешивания (N).

 

Если же фальшивые монеты в первых 20 кучках, то надо так разложить монеты ещё раз, чтобы математической магией потом найти фальшивую «букву» и ей вес. Раскладываем 19 кучек. Поскольку если фальшивая 20я кучка, то результат второго взвешивания будет равен суммарному весу взвешиваемых правильных монет. Вычитаем нужное количество из первого взвешивания – и всё.

 

Теперь вопрос: как разложить 19 кучек так, чтобы математическими действиями найти фальшивую кучку? Для каждого набора «честных» монет нужно доказать их «честность». То есть, показать, что суммарный вес оставшихся монет (из оставшихся 18 кучек) не равен сумме аналогичного количества «честных» монет.

 

Например, как проверить «честность монет» из кучки ‘a’? Во втором взвешивании используем тоже одну монету ‘a’, а все остальные подбираем так, чтобы из второго взвешивания вычесть результат первого и чтобы в уравнении остались все остальные буквы.

 

То есть, N-M = a – a /*то есть, убираем ‘а’ из равенства*/ +- ненулевое количество всех остальных ‘b-c-d-….-s’

 

Если среди «всех остальных b-…-s» есть фальшивая, то результат N-M не будет равен количеству монет в первом взвешивании минус количество монет во втором взвешивании, умноженное на вес «честной» монеты. То есть, если результат N-M равен весу «честных» монет, то фальшивая ‘a’, а её вес вычисляется из первого взвешивания как M-минус-вес 59 честных монет.

 

Если же ‘a’ «честная», то дальше похожую алхимию проводим с ‘b’, но учитывая что количество ‘b’ должно быть не равно двум монетам, иначе в первой разности N-M «обнулятся» и монеты типа ‘b’.

 

То есть, если бы у нас было всего 6 монет ‘a-b-c-d-e-f’, то решением задачки является два вот такие взвешивания:

 

Взвешивание-1. M=

 

a       d

bb     ee

ccc   fff

 

Взвешивание-2. N=

 

a        dd

bbb    eeeee

cccc  f

 

Проверка «честности»:

a:          N-M      = [0a] + b + c + d + 3e - 2f           (если получается вес 4 честных монет, то ‘a’ – фальшивая).

b:          2N-3M  = -a + [0b] - c - d + 4e - 8f           (если получается минус вес 7 честных монет, то ‘b’ – фальшивая).

c:           3N-4M  = -a + b + [0c] + 2d + 7e – 9f       (если получается ноль, то ‘c’ – фальшивая).

d:          N-2M    = -a - b - 2c + [0d] + e - 5f           (и так далее).

e:          2N-5M  = -3a - 4b - 7c - 3d + [0e] – 13f

f:           3N-M    = 2a + 7b + 9c + 5d + 13e + [0f]

 

// Кстати, нигде здесь и далее не требуется условие «вес фальшивой кучки отличается не более чем на 8 грамм». Похоже, это просто подсказка посмотреть в интернетах на вес монеты 1 евро.

 

Теперь такую же химию надо применить к 19 кучкам монет - всё просто.

[E.K.]

> Теперь такую же химию надо применить к 19 кучкам монет.

 

Ну, попробуем применить... Нам нужно составить такую комбинацию кучек монет, чтобы при разных вариантах вычитаний в результате обнулялась ТОЛЬКО ОДНА монета.

 

То есть, количество монет из разных кучек должно быть какой-то попарной комбинацией чисел... взаимопростых чисел, чтоль? То есть, если во втором взвешивании используем одну монету ‘a’, то не может быть ‘f’, ‘k’, ‘p’, ‘bb’, ‘gg’, ‘ll’, ‘qq’ – иначе при умножении первого взвешивания на два и вычитания обнулятся и результаты для ‘f-k-p-b-l-g-q’.

 

Аналогично, если в первом взвешивании есть ‘bb’ и во втором ‘bbb’ (две монеты и три монеты типа ‘b’) то во втором не может быть ‘qqq’, ‘lll’, ‘qqq’. А «неправильных» комбинаций из шести монет ‘iiiiii’, ‘nnnnnn’, ‘ssssss’ не может быть просто по той причине, что в каждой кучке не по шесть, а по пять монет.

 

То есть, берём некую комбинацию "взвешивания-1" и строим по ней набор "взвешивание-2". Для этого можно даже "табличку запретов" поставить. Например, если в первом и во втором взвешивании трогаем только по одной монете  'a', то в "табличке запретов" надо померить все остальные 'f-k-p-bb-gg-ll-qq... и так далее'. Или же придумать какой-то другой метод построения этих последовательностей (о!)

 

Но это оставим на будущее, а текущее решение (слева) и "таблица запретов" (справа) выглядит вот так:

 

Взвешивание-1. M=                    1 2 3 4 5          1 2 3 4 5

                                   a         1        k 11g   f a   

a     f     k     p                b         2        l   p 13g b   

bb    gg    ll    qq               c         3        m 16  p h c   

ccc   hhh   mmm   rrr              d         4        n i q 15p d   

dddd  iiii  nnnn  ssss             e 5                o e   18j p    

eeeee jjjjj ooooo ttttt            f       6 a        p 12g k f a    

                                   g       7 b        q 14p l g b    

Взвешивание-2. N=                  h       8 c        r m 17p h c   

                                   i 9       d        -si q   p d   

aaaaa ffff  kkk   p                j e     10         t e19   j p    

bbbbb gggg  lll   q

ccccc hhhh  m     rr

ddddd i     nnn   (-s - ноль монет)

e     jjjj  ooo   tt

 

Вроде бы все взаимовычеты должны получиться "правильными" и получаются "разности" со всеми нужными комбинациями монет.

[E.K.]

Хмм.. Но поскольку задача решена для случая известного веса 1-евровой монеты, то надо попробовать решить её в общем случае. Когда неизвестен вес "честной" монеты.. Вот интересно - получится или нет?

 

Для разгона предлагаю посмотреть на эти самые монеты. Но поскольку у меня с собой нет наличных евро, то вот фотка 2х-долларовых гонгконгских монет:

 

Почему и зачем у меня с собой совершенно случайно оказалась стопка 2х-долларовых монет из Гонконга - это отдельная история, которая будет чуть позже

 

// Всем приветы из залива Броутона, погоды сейчас = на букву 'ж'...

Это 'жесть', а что вы подумали - это у нас здесь было вчера

[iv65]

В условии этой задачи есть и эта вводная:

 

 

Причём отличаются менее чем на 8 грамм.

Видимо, и это условие надо также где-то учесть в математических выкладках.

[iv65]

Я предлагаю слегка упростить задачу. 

Поскольку из условий задачи:

https://forum.kasperskyclub.ru/index.php?showtopic=54210&page=70&do=findComment&comment=934783

следует, что:

"они из какой-то одной страны привезли пять фальшивых монет,"

то можно взвешивать только 21 монету (по одной из каждой страны ЕС).

21 делится на 3 без остатка, поэтому нужно разделить их на 3 стопки по 7 монет и сравнить их по весу.

Может быть обнаружено только 2 варианта:

а) В случае равенства веса двух различных стопок из 7 монет разных стран ЕС,  можно предположить, что 

в этих 14 монетах различных стран ЕС имеются  только подлинные монеты.

б) В случае не равного веса двух стопок, можно сделать вывод о том, в какой из стопок находится фальшивая монета.

Вес этой стопки будет больше (либо меньше ) 7.5 х 7 = 52.5 грамм.

Задача слегка упрощается:

В  стопке из 7 монет, содержащей фальшивую монету необходимо с помощью математики найти

страну, которая чеканит фальшивые монеты