Математическое и загадочное

[iv65]

h=1м (высота считается от нижней кромки баскетбольного мяча)? Все соударения можно считать абсолютно упругими.

Глубокоуважаемый Евгений Валентинович!

Вы совершенно правы.

Кинетическая энергия никогда не может превышать значений, соответствующей ей потенциальной. Это следует из известного всем закона:

http://sch119comp2.narod.ru/0102.htm

Это же- элементарная физическая задачка, решение которой доступно ученикам 7 класса, и, решение которой форумчанами, позволит Вам съэкономить $2000000 от вымогателей - "так называемых" самаркандских изобреталелей h, ttps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D1%81%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B8

 

От этого надо плясать, и , от ответа на этот вопрос, можно ли давать деньги Вам строителям "самаркандского космодрома"

Продолжу свое повествование:

https://forum.kasperskyclub.ru/index.php?showtopic=61496&page=34&do=findComment&comment=931447

В 1980 году я имел счастье выдержать вступительные экзамены в Ташкентский Государственный Университет имени В.И. Ленина, про название факультета я скромно умолчу.

Конкурс был небольшой, всего 3 человека на место.

Первым экзаменом у нас была математика, а, как известно, на этом экзамене срезается половина абитуриентов. И, моим соседом по парте был абитуриент титульной национальности. 

Он меня попросил помочь ему решить одну из предлагаемых приемной комиссией задачек, а это было простенькое биквадратное уравнение. Я , как простой советский человек был готов помочь всем советским людям, как в то время учила партия и правительство.

всегда готов

И, я, в течение 5-7 минут я  ему это быстренько написал на бумаге.

 

 О чудо, в то время, когда были вывешены результаты экзаменов, недели через 4 я себя не обнаружил в числе поступивших на очное отделение.

Приблизительно через год я увидел того абитуриента обучающемся в ЕВРОПЕЙСКОЙ ГРУППЕ одного из факультетов вышеназванного университета.

Воистину права старушка Шапокляк: "кто людям помогает - тот тратит время зря" ....

Изменено 24 мая, 2019 пользователем iv65

[E.K.]

1. Теннисный мяч лежит неподвижно на баскетбольном, диаметр которого равен 25см (как на рисунке). Масса баскетбольного мяча много больше массы теннисного. На какую высоту подскочит теннисный мяч после отскока от земли, если эту систему отпустить с высоты h=1м (высота считается от нижней кромки баскетбольного мяча)? Все соударения можно считать абсолютно упругими.

А не пора ли уже браться за немного подвисшую задачку?

Но для начала можно посмотреть по ссылке как решаются другие загадки про абсолютно упругие столконовения -> https://habr.com/ru/post/190236/

[E.K.]

Итак, после усвоения задачки по ссылке и её решения можно нарисовать момент столкновения мяча и шарика с поверхностью земли в следующих координатах:

 

То есть, мяч с шариком покоятся на месте, а на них со скоростью v летит тажёлая стена, по сравнению с которой масса мяча и шарика пренебрежимо малы. Столкновения абсолютно упругие, сопротивлением воздуха можно пренебречь.

 

С точки зрения мяча, по нему абсолютно упруго ударила стена бесконечной массы. Само собой, мяч полетит направо со скоростью v относительно стены, то есть со скоростью 2v относительно этой системы координат. А вот с точки зрения шарика, по нему со скоростью 2v вдарил бесконечно тяжёлый мяч. Соответственно, шарик полетит направо со скоростью 2v.

 

Теперь переворачиваем картинку на 90° гравитацией вниз. Получается, что после удара об землю мяч полетит в обратную сторону со скоростью столкновения (и, соответственно, поднимется ровно на высоту броска), а шарик полетит вверх со скоростью в два раза выше. Куда же он поднимется?

 

Формулы из средней школы говорят, что скорость касания земли у объекты будет v=√(2gh)

 

То есть, если шарик отскакивает от мяча (который вроде бы 25см диаметром) и летит со скоростью 2v вверх, то он поднимется на высоту...

 

h = 1м, тогда v = √(2g)

h₂ = 25см + (2v)² / 2g = 25см + 4*2g / 2g = 4м25см.

 

Что?? Шарик отпрыгнет на 4+ метра?

 

Я нигде не ошибся?

 

P.S. А физически это можно проверить? Шар для пинг-понга на баскетбольный положить и бросить? Есть у кого-либо доступ в [школьный] спортзал?

 

P.P.S. Вдруг получится - вот бы видео заснять такого прыжка..

[Fireman]

Рассуждения верные, но надо учесть и скорость движения теннисного мячика:

 

1. действительно, перед касанием земли баскетбольный мяч, брошенный в высоты h, наберёт скорость 

 

v = √(2gh)

 

 

2. после абсолютного удара об землю баскетбольный мяч отпрыгнет назад с той же скоростью v

 

 

3. перейдём из системы отсчёта, относительно земли в систему отсчёта, относительно баскетбольного мяча и посмотрим, что произойдёт с теннисным мячиком:

 

изначально, когда баскетбольный мяч и теннисный мячик падали с одной скоростью, скорость теннисного мячика в системе баскетбольного мяча была равна 0

 

после отскока баскетбольного мяча от земли в системе отсчёта баскетбольного мяча скорость теннисного мячика стала равна 2v (баскетбольный мяч отскочил от земли и стал двигаться навстречу теннисному со скоростью v, а теннисный мячик продолжил падать навстречу баскетбольному мячу со скоростью v)

 

после абсолютно упругого удара теннисного мячика о баскетбольный мячик он начал двигаться в обратном направлении со скоростью 2v

 

 

4. теперь посмотрим какая же скорость получилась у теннисного мячика в системе отсчёта, связанного с землёй:

 

u = 2v (скорость теннисного мяча относительно баскетбольного) + v (скорость баскетбольного мяча относительно земли) = 3v (скорость теннисного мяча относительно земли)

 

 

5. осталось (зная скорость теннисного мячика) подсчитать высоту его отскока:

 

H = d + u² / (2g)

 

где d - диаметр баскетбольного мяча, от которого теннисный и отскочил

 

таким образом:

 

H = d + u² / (2g) = d + (3v)² / (2g) = d + 9 * [v² / (2g)]

 

т.е. теннисный мячик отскочил на 9 кратную высоту броска (+ диаметр баскетбольного мяча):

 

H = 0,25м + 9 * 1м = 9,25м

 

 

Понятно, что такой результат был достигнут благодаря идеальным условиям: отсутствие сопротивления воздуха, абсолютно упругие удары, бесконечно большие отличия масс баскетбольного и теннисного мячей, точное позиционирование одного мяча над другим и т.д.

 

В жизни всё как всегда немного не так

 

 

Т.е. надо бы ввести корректировочный коэффициентик 1/2

 

 

А что произойдёт, если рассмотреть обобщённую задачку с n мячами?

 

Если рассуждать индукционно, то рассуждая так же, как описано выше, получается, что скорость каждого следующего мяча будет равна:

 

u_i+1 = 2v_i + v

 

где 2v_i - скорость i-го мяча

 

Таким образом для пирамиды из n мячей скорость n-го мяча будет равна

 

u_n = (2ⁿ - 1)v

 

где v - скорость падения пирамиды (понятно, что изначально все мячи падают с одинаковой скоростью)

 

Что даёт такая формула?

 

 

А то, что последний мячик в пирамиде из 12 мячей, брошенной с высоты 1км...

 

набирает скорость отскока 18018м/сек, тем самым превышает вторую космическую скорость (11160м/сек), сходит с орбиты Земли и становится искусственным спутником Солнца

 

К сожалению замечательная идея дешёвого вывода резиновых спутников на орбиту сталкивается с суровой реальностью неидеальных условий с которыми приходится работать

 

Изменено 3 июня, 2019 пользователем Fireman

[E.K.]

А то, что последний мячик в пирамиде из 12 мячей, брошенной с высоты 1км...

 

набирает скорость отскока 18018м/сек, тем самым превышает вторую космическую скорость (11160м/сек), сходит с орбиты Земли и становится искусственным спутником Солнца

Хочу подискутировать. Поскольку из задачи понятно, что 1) мячик-кандидат на спутник должен быть лёгким, пластиковым; и 2) испытание происходит днём (ночью как-то странно ставить такие эксперименты), то => мячик полетит куда-то в сторону Солнца. На нашу общую звезду он, конечно же, не упадёт - для этого его надо разогнать до 30км/сек и направить против движения Земли по орбите (сейчас даже не соображу - это будет на рассвете или на закате? - кстати, это отдельная задачка: чтобы объект упал на Солнце его надо утром или вечером в зенит пулять?

 

Так вот, наш пластиковый шарик полетит в сторону Солнца, которое его неизбежно расплавит и молекулами расшвыряет по околосолнечному пространству. То есть, искусственным спутником он так и не станет - он не совершит ни одного оборота вокруг Солнца.

[Fireman]

Касательно мячика и отскока

Все во взрослой жизни (ну или практически все) сталкивались с этим эффектом -

 

Когда машина наезжает на лужу, то почему-то лобовое стекло становится мокрым, хотя автомобиль давно эту лужу проехал.

А происходит ровно тоже самое, что и с мячом:

 

Машина на скорости (скажем 100км/ч) ударяет колесом по луже и выбивает брызги во все стороны, но в том числе и вперёд по ходу движения, масса брызг по сравнению с массой машины ничтожно мала, поэтому брызги из под колеса устремляются вперёд относительно машины со скоростью машины (100км/ч), т.е. относительно земли со скоростью 200км/ч. 

 

Естественно брызги эту машину обгоняют, но при этом они ещё и тормозят о воздух, поэтому автомобиль их быстро нагоняет и брызги оказываются на лобовом стекле.

 

При этом чем выше скорость, тем меньше брызг будет на лобовом стекле - дело в том, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости, поэтому чем быстрее летишь, тем сильнее тормозишь о воздух и брызги просто не успевают поднять до уровня лобового стекла, оседая на бампере

 

 

На нашу общую звезду он, конечно же, не упадёт - для этого его надо разогнать до 30км/сек и направить против движения Земли по орбите (сейчас даже не соображу - это будет на рассвете или на закате? - кстати, это отдельная задачка: чтобы объект упал на Солнце его надо утром или вечером в зенит пулять?

 

Задачи на космическую механику интересны и выбиваются из повседневного опыта, поэтому бытовая интуиция начинает давать сбои.

Например, чтобы отлететь от Земли (увеличить орбиту) надо затормозить, а чтобы наоборот снизить орбиту - ускориться.

 

Орбитальная скорость Земли 29,783 км/c, поэтому если стартовать с полюса надо развить эту скорость в сторону, обратную от движения Земли

Однако можно "немного" схалявить и заставить вместо ракетных двигателей поработать саму Землю, ведь Земля вращается вокруг своей оси со скоростью 0,463 км/сек на экваторе.

Таким образом можно разогнаться всего до 29,320 км/сек  

 

Теперь когда же стартовать -

 

Земля вращается вокруг своей оси в то же направление, в каком движется вокруг Солнца (вроде так, мы же не Венера). Поэтому надо стартовать после полудня в сторону от заката.

Хотя тут все надо тщательно проверить

 

 

 

 

Так вот, наш пластиковый шарик полетит в сторону Солнца, которое его неизбежно расплавит

 

Тут надо подсчитать на каком расстоянии от Солнца мячик будет летать.

Это конечно киноштамм, что стоит попасть в открытый космос и все, сразу минус 270 и заморозка. Космос - это хороший термос, только шиворот-навыворот.

Около Земли температура "воздуха" +4 градуса цельсия (!)

Конечно под прямыми солнечными лучами он будет греться и греться (все таки термос), но если мячик белый - то должен довольно себя комфортно чувствовать

 

Например, спутник ТеchEdSat мерил температуру в космосе

 

Изменено 3 июня, 2019 пользователем Fireman

[E.K.]

Про упругие отскоки - не могу не поделиться. Это просто прекрасно!

 

 

[oit]

@E.K., это было конечно шедеврально!

[E.K.]

Вот какой ответ на задачку я получил в блоге ЖЖ:

 

Абсолютно упругий удар.
Вы умудрились расчитать распределение импульса между двумя телами не зная из масс.
При весе теннисного мяча 57гр и баскетбольного мяча 600гр, теннисный мяч подпрыгнет на 7.2 метра

[E.K.]

это было конечно шедеврально!

А вы заметили, что эта заморская крыса рыжих окрасов - она сразу поняла, что надо очень быстренько сваливать и катапультироваться с этого космического пепелаца, - но просто не успела?

[eco]

Животное жалко. Надо бы было эту мадам туда посадить 

[Fireman]

 

 

Вы умудрились расчитать распределение импульса между двумя телами не зная из масс. При весе теннисного мяча 57гр и баскетбольного мяча 600гр, теннисный мяч подпрыгнет на 7.2 метра

 

ну это да, рассматривались же идеальные условия - абсолютно упругий удар и lim(m2/m1) = 0

 

Масса баскетбольного мяча много больше массы теннисного.

 

 

в жизни конечно получается "много больше" всего то в 10 раз, поэтому даже не знаю, можно ли это называть "много больше"

 

как отмазочка - имелся в виду мячик для настольного тенниса !!!

[iv65]

 

 

заморская крыса рыжих окрасов - она сразу поняла,

Это не крыса, а, по-моему, морская свинка:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B0

[E.K.]

Поскольку на меня медленно, но неумолимо надвигаются очередные броски туда-сюда по глобусу нашего мира, то "в дорожку" надо бы накинуть ещё задачку. А оно есть у меня. Ещё одна задачка на подбрасывание мячей и прочих тяжестей, но немного более сложная. Вот такая ->

 

Есть тяжёлый шар на лёгком и прочном штыре, который крепится к земле шарниром. Если толкнуть шар вверх достаточно сильно, то он может перевалиться через верхнюю точку и упасть с другой стороны. Если толкнуть слабо, то он подскочит и упадёт обратно, как на картинках:

 

Если толкнуть "средне", то он остановится вертикально (в состоянии неустойчивого равновесия).

 

Пусть масса шара 1кг, длина штыря (до центра шара) тоже 1м.

 

Вопрос: за какое время при правильном толчке шар зависнет в верхнем положении?

 

(изменится ли это время, если масса шара будет 100кг, а длины штыря 10м?)

 

Дерзайте. Я пока не знаю как правильно решать эту задачку.

 

Но что-то мне моя научная интуиция подсказывает, что шар будет стремиться к верхней точке бесконечно долго.. Хотя, наверное, могу быть неправ.

 

P.S. Для упрощения, раверное, можно сделать такое допущение: штырь мега-лёгкий из композитных сплавов, а шар наоборот - сверхряжёлый (из осмия или иридия, например). То есть, диаметр шара = толщине штыря, а сам штырь в начале движения лежит строго параллельно земле.

[E.K.]

Время бежит, а задачки надо решать. Понимаю, что время летнее, все на речке-рыбалке, или по грибы-ягоды, а кто-то в поле-огороде, а я тут с задачками пристаю. Так вот, неважно что и где - решать как-то надо. Для этого надо собрать силу воли в кулак и посмотреть какие силы действуют на наш шар.

 

Когда он находится в состоянии свободного падения, то на него действует только одна сила: сила тяжести (7-й класс средней школы).

 

Когда же он на штыре-шарнире, то по окружности его заставляет двигаться ещё и центростремительная сила (11-й класс средней школы).

 

Как уже выяснили, F1 = m*g, где g = ускорение свободного падения. Теперь надо залезть в интернет и посмотреть что такое F2... Ага, F2 = m*v² / r = m*ω²*r , где v = линейная скорость, а w = угловая скорость.

 

// а у меня заканчивается краткий перерыв, надо и поработать немножко..