Математическое и загадочное

[E.K.]

Т.е. с вероятностью 50% 100 клубней обретут свободу всего за 300 лет

Не верю. Ужас какой.. Надо перепроверить выкладки самостоятельно.

[E.K.]

Сорри за тормоза, "думать некогда, работать надо" (с).

Я на 10 дней в Москве, кучу дел надо переделать, встечи разные интересные, мероприятия, на математику совершенно времени не хватает.. Сегодня в пробке поторчал, вот что надумалось ->

 

 

Для удобства покажу это на 7 клубнях.

Каждому клубню назначается свой день недели - понедельник, вторник, ..., воскресенье

• если клубень-понедельник приходит в понедельник (т.е. в свой день), то он включает свет
• если любой из клубней приходит не в свой день - он выключает свет (если свет горит)
• если клубень-воскресенье приходит в свой день и видит, что свет горит - всё, значит все клубни побывали в помещении

1. Не понял.. Пусть жребий выпал таким образом, что с понедельника по пятницу в карцере сидят клубень-понедельник и клубень-вторник только. А в субботу в карцер попадает клубень-суббота, включает свет, чем вводит в заблуждение завтрашнего клубня-воскресенье..

 

 

Ааа! Понял, извините за тупизну..

Формулировка совершенно правильная. Если клубень приходит не в свой день, то он "обнуляет неделю".

 

Но тогда есть более оптимальное решение. Бьём время на сегменты по N=сколькоклубней дней. В первый день первый клубень включает свет. Далее если за последующие N-1 дней какой-то клубень попадает в кацер повторно, то он выключает свет. В день N попавший в карцер клубень смотрит на лампочку. Если она горит, то никто из клубней не был в карцере повторно. Что означает... можно идти пить пиво и шашлык жарить!

 

Далее всё же хочется проверить вероятности "линейного" сценария. Сначала он окажется менее оптимальным сценария "сегментов", а потом более оптимальным. То есть, несколько дней клубни должны жить по "сегментной стратегии", а потом по "линейной".

 

Вроде вот так получается. Но надо пересчитать вероятности.. 300 лет - не верю! Эххх, по Теории Вероятности и Статистике (ТВиСТ) я в своё время пятёрку в диплом получил, но это было.. 32 года тому назад Где-то "на чердаке" до сих пор толстая тетрадка лежит с записями лекций...

[Friend]

Не верю. Ужас какой..

Согласен, клубни столько (300лет) не проживут.

Средняя продолжительность жизни 100 лет в лучшем случае, нужно учесть это.

[Fireman]

Не верю. Ужас какой.. Надо перепроверить выкладки самостоятельно.

 

Где-то похоже я ошибся - скорее всего потому, что взял за основу, что первый клубень будет за одинаковое кол-во дней увеличивать свой счётчик, если рассмотреть все возможные варианты - вероятность повысится

 

 

 

 

Согласен, клубни столько (300лет) не проживут.

 

Клубни!

Хорошую весть принёс я вам!

 

В общем если туго со статистикой на бумаге, поможет статистика на компьютере - собрал на коленке программку, эмитирующую работу клубней. Для каждой ситуации выполнялось 1 миллион (1.000.000) испытаний.

 

Для 100 клубней:

распределение вероятности (ПВР) выйти в зависимости от кол-ва проведённых дней в заключении

 

 

суммарная вероятность выйти в зависимости от кол-ва проведённых в заключении дней

 

т.е. 50% того, что 100 клубней выйдут на свободу получится где-то на 10500 день (всего-то 28 лет)

 

 

Для 200 клубней будет "немного" печальнее:

 

 

 

 

Ну и вообще рост срока прибывания при 50% шансе выйти выглядит так (кол-во точек не так много, потому что компьютер немного медленный для таких решений в лоб)

 

 

P.S.

 

Извиняюсь за такой фотоотчёт 

 

 

P.P.S.

 

вообще когда-то давно прикидывал среднее время на выход для такого алгоритма счётчика и оно выходило t ~ n²

 

Как я выводил - уже не помню   , но точно было все просто и из каких-то элементарных соображений  

Изменено 24 апреля, 2019 пользователем Fireman

[E.K.]

Согласен, клубни столько (300лет) не проживут.

Хорошая новость: злые админы тоже столько не проживут

 

 

P.S.

Извиняюсь за такой фотоотчёт

 

P.P.S.

вообще когда-то давно прикидывал среднее время на выход для такого алгоритма счётчика и оно выходило t ~ n²

Как я выводил - уже не помню   , но точно было все просто и из каких-то элементарных соображений

О! Вот это похоже на правду

Вот было бы интересно посмотреть на эти элементарные соображения.. Но для этого их надо вспомнить. Или придумать заново. Или изложить условие задачи как-то иначе. Например,

 

В ящике 100 (N) монет. Берём любую, красим её в зелёный цвет и бросаем обратно. Затем случайно выбираем монеты из ящика, возвращая их обратно. Если вытаскиваем не окрашенную монету, то красим её в красный цвет - но только одну первую монету после того, как вытащили зелёную. Каково среднее количество монет нужно взять из ящика пока они все не окажутся покрашенными?

[E.K.]

Так, мне опять пора готовиться в дорогу, чемодан собирать, а вам тем временем вот такая несложная задачка:

 

Есть числа 1,2,3,...,19. Сколькими различными способами можно их переставить так, чтобы в результте записи их подряд без  пробелов получился палиндром-перевёртыш?

 

Кстати, а можно ли вообще записать их в виде палиндрома?... Ага, можно:

11231451671891019817615413211.

 

То есть, задачка: сколько таких палиндромов можно получить перестановками? Наверное, задачку надо решать не перебором (и без компьютера), а каким-то умно-мозговым методом..

[oit]

11231451671891019817615413211.

интересная закономерность

1-12-3-14-5-16-7-18-9-10-19-8-17-6-15-4-13-2-11

с одной стороны нечетные до 10 по возрастанию с четными после 10, с другой - наоборот по убыванию

вроде бы, можно переставлять местами, главное - соблюдать порядок четных после 10 с нечетными до 10

9-18-7-16-5-14-3-12-1-10-11-2-13-4-15-6-17-8-19

1-12-3-14-5-16-9-18-7-10-17-8-19-6-15-4-13-2-11

Изменено 25 апреля, 2019 пользователем oit

[E.K.]

Правильно. И до решения задачки осталось.. полсантиметра!

[E.K.]

Ну, как хотите. Вот решение. Сначала внимательно смотрим на набор имеющихся чисел:

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

 

Там есть единственный ноль. То есть, чтобы получился перевёртыш, этот ноль должен стоять точно посередине. От него и начнём плясать..

 

...10...

 

Слева от нуля стоит единица. Это значит, что и справа тоже должна стоять единица. Таких вариантов два: либо это '1', либо какая-то пара '1?'. Если это '1', то получается:

 

...101...

 

Однако в оставшемся наборе есть две единицы подряд, это '11'. Но как бы мы ни скрещивали остальные числа, две единицы подряд мы никак получить не сможем. То есть, '1' справа от '...10...' не подходит. Это как ни крути должно быть парное число '1?'. Какое именно? Да всё равно какое. Пусть это будет '1a' ->

 

... 10 1a ...

 

Но тогда и слева должно быть 'a' ->

 

... a 10 1a ...

 

Отлично. Что дальше мы можем поставить справа от 'a'? Можем ли мы туда воткнуть '1b'? Давайте попробуем... Поскольку если там оказывается '1b',

 

... a 10 1a 1b ...

 

то слева появляется 'b1' ->

 

... b 1 a 10 1a 1b ...

 

И дальше... Дальше сами?

[E.K.]

Отлично. Что дальше мы можем поставить справа от 'a'? Можем ли мы туда воткнуть '1b'? Давайте попробуем... Поскольку если там оказывается '1b',

... a 10 1a 1b ...

то слева появляется 'b1' ->

... b 1 a 10 1a 1b ...

И дальше... Дальше сами?

А дальше вот что. У нас среди неиспользованных чисел есть 11 ('a' и 'b' не равны единице, поскольку '1' мы уже использовали слева:

 

... b 1 a 10 1a 1b ...

 

То есть, надо куда-то будет воткнуть '11'. Но из оставшихся чисел никоем образом нельзя получить две единицы подряд. То есть, предположение "давайте воткнём 1b" не работает. Не втыкается туда '1?'. То есть, там должно быть число, состоящее из одной цифры:

 

... a 10 1a b ...

 

То есть, слева надо вставить 'b', а поскольку 'чисто бэ' уже справа, то оно только с единицей:

 

... 1b a 10 1a b ...

 

И так далее вырисовывается последовательность построений палиндрома:

 

... 1b a 10 1a b 1 ...  

... 1b a 10 1a b 1c ... 

... c 1b a 10 1a b 1c ...

... c 1b a 10 1a b 1c d ...

... 1d c 1b a 10 1a b 1c d ...

... e 1d c 1b a 10 1a b 1c d 1e...

...

... i 1h g 1f e 1d c 1b a 10 1a b 1c d 1e f 1g h 1i ...

 

Где {a,b,c,d,e,f,g,h,i} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} во всех возможных вариациях. То есть,

 

9!=362880

[E.K.]

Сейчас думаю вот над такой немного геометрической задачкой.. и мне кажется, что решение должно быть тривиальное, как квадрат, разбитый на 4 части, у которого известны площади трёх частей и надо найти площадь четвёртой - помните такую задачку? Так вот, новая звучит несколько пространнее ->

 

Существует ли выпуклый многогранник, у которого совпадают числовые значения объёма, площади поверхности (всех граней) и суммы длин всех рёбер?

 

Для затравки: может ли существовать такая правильная пирамида? А куб? А курносовыпуклый икосододекаэдр? Шучу. Но задачка мне кажется весьма интересной..

[Себастьян Перейро]

@E.K.,  с квадратным кубом не получается.  Возможно есть фигура, отвечающая условиям задачи - но это что-то более многогранное (кругло-ребристое).. Или пирамидальное что-то.. Но это неточно..

 

нет - с пирамидой тоже мимо. ибо V=1/3*sh  (где s = площадь основания пирамиды). 

 

остается только многогранный шароподобный тетраэдр (но это слишком слажно считать).

Изменено 30 апреля, 2019 пользователем Себастьян Перейро

[E.K.]

остается только многогранный шароподобный тетраэдр (но это слишком слажно считать).

Все правильные многогранники не подходят. Там получается так: рисуем точку точно в центре, от неё к углам рисуем рёбра. Получаются одинаковые пирамиды. Объём всей конструкции = сумме объёмов пирамид = 1/3 площади основания * расстояние от центра до угла. Оно должно быть равно сумме всех граней, чего быть не может (их больше и они длиннее). Надо бы математически это показать, но сейчас ой некогда..

 

Параллелепиппед с квадратным основанием тоже мимо. Математика там элементарная. Параллелепипед с гранями a,b,c. Если в основании квадрат, то b=c. Получается, что:

 

4a + 8b = 4ab + 2b² = ab²

 

Эта система не имеет решения.

[E.K.]

Подробнее о вышесказанном ->

Нам нужно найти выпуклую геометрическую фигуру или доказать невозможность этой фигуры, у которой в единых измерениях равны сумма всех рёбер, площадей граней и объём. Например, для куба 1*1*1 - можете такой представить? - так вот, ... ага, пора вводить названия.

 

Пусть длина ребра номер i бутет L_i, а сумма всех рёбер будет L.

Площадь поверхности = S_i, а их сумма = S.

Объём полученной хрени пусть = V.

 

Итого, нам нужно найти или опровергнуть следующее:

 

L = S = V

 

Попробуем подсчитать для простейшего устройства многогранного выпуклого 3х-мерного мира: куб. Который размером 1*1*1. Вот такой ->

 

 

Сколько у него рёбер? Двенадцать. Их длина, очевидно, равна их количеству. То есть, L=12.

Площадь поверхности тоже равна их количеству. S=6.

Объём этого куба равен = 1x1x1 = 1=V.

 

Увы, простейший куб не подходит под решение задачки. Нам нужно чтобы L=S=V, а тут 12,6,1.

 

Не прокатило, нужно думать далее.

[E.K.]

Конечно же, мне бы очень было приятно, если бы кто-то мне здесь добровольно помогал бы...

 

Но, увы. Пока я сам пройдусь по арифметикам этих фигур. Итак, давайте сплющим куб. Пусть это будет плитка-параллелепипед типа такого:

 

 

Что получается для такой фигуры? Длины её граней равны: a,b,c=b.

 

Длины всех рёбер равны: 8 "длинных" (если по картинке) 'b' и четыре "коротких" a ->

 

L = 4a + 8b

 

Сумма площадей поверхностей равна = две большие b*b и четыре a*b ->

 

S = 4*a*b + 2*b²

 

// Вот, пришла пора вспоминать 8-10й классы и двойки по математике...

 

А какой объём этой волшебной хрени?? Умножаем a на b и на c=b. Что получается?

 

V = ab²

 

Итого, если L=S=V, то ->

 

4a + 8b = 4*a*b + 2*b² =  a*b²

 

Дальше это будет просто решение квадратного уравнения.. мня уже устал, продолжу чуть позже.