Математическое и загадочное

[thyrex]

Несмотря на очевидный результат предыдущих испытаний решил таки испытать судьбу и проверить для 200000000000 треугольных чисел. Итог - все те же
1692 незакрашенных:

2 4 5 7 8 9 11 12 13 14 16 17 18 19 20 22 23 24 25 26 27 29 30 31 32 34 35 37 38 39 40 41 42 43 44 46 47 49 50 51 52 53 54 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 79 80 82 83 84 85 86 87 88 89 90 92 93 94 95 96 97 98 99 101 102 103 104 106 107 108 109 110 112 113 114 115 116 117 118 119 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 137 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 166 167 169 170 172 173 174 175 176 177 178 179 181 182 183 184 185 187 188 189 191 192 193 194 195 196 197 199 200 202 203 204 205 206 207 209 211 212 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 227 228 229 230 232 233 234 236 237 238 239 240 241 242 244 245 247 248 249 250 251 252 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 271 272 273 274 275 277 278 279 280 281 282 283 284 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 299 301 302 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 319 320 321 322 323 324 326 327 328 329 331 332 334 335 337 338 339 340 341 342 343 344 346 347 348 349 350 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 364 365 367 368 369 370 371 372 373 374 376 377 379 380 381 382 383 384 385 386 387 389 390 391 392 393 394 395 397 398 399 400 401 402 403 404 405 407 409 410 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 434 436 437 438 439 440 442 443 444 445 446 447 448 449 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 466 467 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 497 499 500 502 503 504 506 507 508 509 511 512 513 514 515 517 518 519 520 521 522 524 525 526 527 529 530 532 533 534 535 536 537 538 539 541 542 544 545 546 547 548 549 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 574 575 577 578 579 580 581 582 583 584 585 587 588 589 590 591 592 593 594 596 597 598 599 601 602 603 604 605 607 608 609 610 611 612 613 614 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 632 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 661 662 664 665 667 668 669 670 671 672 673 674 676 677 678 679 680 682 683 684 686 687 688 689 690 691 692 694 695 697 698 699 700 701 702 704 706 707 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 722 723 724 725 727 728 729 731 732 733 734 735 736 737 739 740 742 743 744 745 746 747 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 766 767 768 769 770 772 773 774 775 776 777 778 779 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 794 796 797 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 814 815 816 817 818 819 821 822 823 824 826 827 829 830 832 833 834 835 836 837 838 839 841 842 843 844 845 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 859 860 862 863 864 865 866 867 868 869 871 872 874 875 876 877 878 879 880 881 882 884 885 886 887 888 889 890 892 893 894 895 896 897 898 899 900 902 904 905 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 929 931 932 933 934 935 937 938 939 940 941 942 943 944 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 961 962 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 992 994 995 997 998 999 1001 1002 1003 1004 1006 1007 1008 1009 1010 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1019 1020 1021 1022 1024 1025 1027 1028 1029 1030 1031 1032 1033 1034 1036 1037 1039 1040 1041 1042 1043 1044 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1069 1070 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079 1080 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1091 1092 1093 1094 1096 1097 1098 1099 1100 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1111 1112 1113 1114 1115 1116 1117 1118 1119 1120 1121 1122 1123 1124 1127 1129 1130 1131 1132 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 1142 1144 1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1156 1157 1159 1160 1162 1163 1164 1165 1166 1167 1168 1169 1171 1172 1173 1174 1175 1177 1178 1179 1181 1182 1183 1184 1185 1186 1187 1189 1190 1192 1193 1194 1195 1196 1197 1199 1201 1202 1204 1205 1206 1207 1208 1209 1210 1211 1212 1213 1214 1215 1217 1218 1219 1220 1222 1223 1224 1226 1227 1228 1229 1230 1231 1232 1234 1235 1237 1238 1239 1240 1241 1242 1244 1245 1246 1247 1248 1249 1250 1251 1252 1253 1254 1255 1256 1257 1258 1259 1261 1262 1263 1264 1265 1267 1268 1269 1270 1271 1272 1273 1274 1276 1277 1278 1279 1280 1281 1282 1283 1284 1285 1286 1287 1289 1291 1292 1294 1295 1296 1297 1298 1299 1300 1301 1302 1303 1304 1305 1306 1307 1309 1310 1311 1312 1313 1314 1316 1317 1318 1319 1321 1322 1324 1325 1327 1328 1329 1330 1331 1332 1333 1334 1336 1337 1338 1339 1340 1342 1343 1344 1345 1346 1347 1348 1349 1350 1351 1352 1354 1355 1357 1358 1359 1360 1361 1362 1363 1364 1366 1367 1369 1370 1371 1372 1373 1374 1375 1376 1377 1379 1380 1381 1382 1383 1384 1385 1387 1388 1389 1390 1391 1392 1393 1394 1395 1397 1399 1400 1402 1403 1404 1405 1406 1407 1408 1409 1410 1411 1412 1413 1414 1415 1416 1417 1418 1419 1420 1421 1422 1424 1426 1427 1428 1429 1430 1432 1433 1434 1435 1436 1437 1438 1439 1442 1443 1444 1445 1446 1447 1448 1449 1450 1451 1452 1453 1454 1456 1457 1459 1460 1461 1462 1463 1464 1465 1466 1467 1468 1469 1470 1471 1472 1474 1475 1476 1477 1478 1479 1480 1481 1482 1483 1484 1487 1489 1490 1492 1493 1494 1496 1497 1498 1499 1501 1502 1503 1504 1505 1507 1508 1509 1510 1511 1512 1514 1515 1516 1517 1519 1520 1522 1523 1524 1525 1526 1527 1528 1529 1531 1532 1534 1535 1536 1537 1538 1539 1541 1542 1543 1544 1545 1546 1547 1548 1549 1550 1552 1553 1554 1555 1556 1557 1558 1559 1560 1561 1562 1564 1565 1567 1568 1569 1570 1571 1572 1573 1574 1575 1577 1578 1579 1580 1581 1582 1583 1584 1586 1587 1588 1589 1591 1592 1593 1594 1595 1597 1598 1599 1600 1601 1602 1603 1604 1606 1607 1608 1609 1610 1611 1612 1613 1614 1615 1616 1617 1618 1619 1622 1624 1625 1626 1627 1628 1629 1630 1631 1632 1633 1634 1635 1636 1637 1639 1640 1641 1642 1643 1644 1645 1646 1647 1648 1649 1651 1652 1654 1655 1657 1658 1659 1660 1661 1662 1663 1664 1666 1667 1668 1669 1670 1672 1673 1674 1676 1677 1678 1679 1680 1681 1682 1684 1685 1687 1688 1689 1690 1691 1692 1694 1696 1697 1699 1700 1701 1702 1703 1704 1705 1706 1707 1708 1709 1710 1712 1713 1714 1715 1717 1718 1719 1721 1722 1723 1724 1725 1726 1727 1729 1730 1732 1733 1734 1735 1736 1737 1739 1740 1741 1742 1743 1744 1745 1746 1747 1748 1749 1750 1751 1752 1753 1754 1756 1757 1758 1759 1760 1762 1763 1764 1765 1766 1767 1768 1769 1771 1772 1773 1774 1775 1776 1777 1778 1779 1780 1781 1782 1784 1786 1787 1789 1790 1791 1792 1793 1794 1795 1796 1797 1798 1799 1800 1801 1802 1804 1805 1806 1807 1808 1809 1811 1812 1813 1814 1816 1817 1819 1820 1822 1823 1824 1825 1826 1827 1828 1829 1831 1832 1833 1834 1835 1837 1838 1839 1840 1841 1842 1843 1844 1845 1846 1847 1849 1850 1852 1853 1854 1855 1856 1857 1858 1859 1861 1862 1864 1865 1866 1867 1868 1869 1870 1871 1872 1874 1875 1876 1877 1878 1879 1880 1882 1883 1884 1885 1886 1887 1888 1889 1890 1892 1894 1895 1897 1898 1899 1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1919 1921 1922 1923 1924 1925 1927 1928 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1951 1952 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979

Результаты удачных перекрашиваний по первому разу:

Круг 1 - клубень 1
Круг 3 - клубень 2
Круг 6 - клубень 3
Круг 10 - клубень 4
Круг 15 - клубень 5
Круг 21 - клубень 6
Круг 28 - клубень 7
Круг 36 - клубень 8
Круг 45 - клубень 9
Круг 55 - клубень 10
Круг 66 - клубень 11
Круг 78 - клубень 12
Круг 91 - клубень 13
Круг 105 - клубень 14
Круг 120 - клубень 15
Круг 136 - клубень 16
Круг 153 - клубень 17
Круг 171 - клубень 18
Круг 190 - клубень 19
Круг 210 - клубень 20
Круг 231 - клубень 21
Круг 253 - клубень 22
Круг 276 - клубень 23
Круг 300 - клубень 24
Круг 325 - клубень 25
Круг 351 - клубень 26
Круг 378 - клубень 27
Круг 406 - клубень 28
Круг 435 - клубень 29
Круг 465 - клубень 30
Круг 496 - клубень 31
Круг 528 - клубень 32
Круг 561 - клубень 33
Круг 595 - клубень 34
Круг 630 - клубень 35
Круг 666 - клубень 36
Круг 703 - клубень 37
Круг 741 - клубень 38
Круг 780 - клубень 39
Круг 820 - клубень 40
Круг 861 - клубень 41
Круг 903 - клубень 42
Круг 946 - клубень 43
Круг 990 - клубень 44
Круг 1035 - клубень 45
Круг 1081 - клубень 46
Круг 1128 - клубень 47
Круг 1176 - клубень 48
Круг 1225 - клубень 49
Круг 1275 - клубень 50
Круг 1326 - клубень 51
Круг 1378 - клубень 52
Круг 1431 - клубень 53
Круг 1485 - клубень 54
Круг 1540 - клубень 55
Круг 1596 - клубень 56
Круг 1653 - клубень 57
Круг 1711 - клубень 58
Круг 1770 - клубень 59
Круг 1830 - клубень 60
Круг 1891 - клубень 61
Круг 1953 - клубень 62
Круг 100 - клубень 64
Круг 165 - клубень 65
Круг 298 - клубень 67
Круг 366 - клубень 68
Круг 505 - клубень 70
Круг 576 - клубень 71
Круг 648 - клубень 72
Круг 721 - клубень 73
Круг 795 - клубень 74
Круг 870 - клубень 75
Круг 1023 - клубень 77
Круг 1101 - клубень 78
Круг 1180 - клубень 79
Круг 1260 - клубень 80
Круг 1341 - клубень 81
Круг 1423 - клубень 82
Круг 1506 - клубень 83
Круг 1590 - клубень 84
Круг 1675 - клубень 85
Круг 1761 - клубень 86
Круг 1848 - клубень 87
Круг 1936 - клубень 88
Круг 135 - клубень 90
Круг 226 - клубень 91
Круг 318 - клубень 92
Круг 411 - клубень 93
Круг 600 - клубень 95
Круг 696 - клубень 96
Круг 793 - клубень 97
Круг 891 - клубень 98
Круг 1090 - клубень 100
Круг 1191 - клубень 101
Круг 1293 - клубень 102
Круг 1396 - клубень 103
Круг 1500 - клубень 104
Круг 1605 - клубень 105
Круг 1818 - клубень 107
Круг 1926 - клубень 108
Круг 388 - клубень 112
Круг 501 - клубень 113
Круг 615 - клубень 114
Круг 730 - клубень 115
Круг 846 - клубень 116
Круг 963 - клубень 117
Круг 1200 - клубень 119
Круг 1320 - клубень 120
Круг 1441 - клубень 121
Круг 1563 - клубень 122
Круг 1686 - клубень 123
Круг 1810 - клубень 124
Круг 1935 - клубень 125
Круг 81 - клубень 126
Круг 208 - клубень 127
Круг 336 - клубень 128
Круг 726 - клубень 131
Круг 858 - клубень 132
Круг 991 - клубень 133
Круг 1125 - клубень 134
Круг 1533 - клубень 137
Круг 1671 - клубень 138
Круг 1950 - клубень 140
Круг 111 - клубень 141
Круг 396 - клубень 143
Круг 540 - клубень 144
Круг 685 - клубень 145
Круг 831 - клубень 146
Круг 978 - клубень 147
Круг 1126 - клубень 148
Круг 1425 - клубень 150
Круг 1576 - клубень 151
Круг 1728 - клубень 152
Круг 1881 - клубень 153
Круг 523 - клубень 157
Круг 681 - клубень 158
Круг 840 - клубень 159
Круг 1000 - клубень 160
Круг 1161 - клубень 161
Круг 1323 - клубень 162
Круг 1486 - клубень 163
Круг 1650 - клубень 164
Круг 1815 - клубень 165
Круг 168 - клубень 167
Круг 675 - клубень 170
Круг 1018 - клубень 172
Круг 1365 - клубень 174
Круг 1716 - клубень 176
Круг 1893 - клубень 177
Круг 270 - клубень 179
Круг 450 - клубень 180
Круг 631 - клубень 181
Круг 813 - клубень 182
Круг 996 - клубень 183
Круг 1551 - клубень 186
Круг 1738 - клубень 187
Круг 516 - клубень 191
Круг 708 - клубень 192
Круг 901 - клубень 193
Круг 1095 - клубень 194
Круг 1290 - клубень 195
Круг 1683 - клубень 197
Круг 906 - клубень 203
Круг 1110 - клубень 204
Круг 1315 - клубень 205
Круг 1521 - клубень 206
Круг 375 - клубень 210
Круг 586 - клубень 211
Круг 798 - клубень 212
Круг 1011 - клубень 213
Круг 1440 - клубень 215
Круг 1656 - клубень 216
Круг 1873 - клубень 217
Круг 330 - клубень 219
Круг 550 - клубень 220
Круг 771 - клубень 221
Круг 993 - клубень 222
Круг 1216 - клубень 223
Круг 1665 - клубень 225
Круг 138 - клубень 227
Круг 825 - клубень 230
Круг 1056 - клубень 231
Круг 1288 - клубень 232
Круг 1755 - клубень 234
Круг 246 - клубень 236
Круг 483 - клубень 237
Круг 960 - клубень 239
Круг 928 - клубень 247
Круг 198 - клубень 252
Круг 451 - клубень 253
Круг 705 - клубень 254
Круг 1473 - клубень 257
Круг 1731 - клубень 258
Круг 531 - клубень 261
Круг 1585 - клубень 265
Круг 1851 - клубень 266
Круг 945 - клубень 270
Круг 1488 - клубень 272
Круг 606 - клубень 276
Круг 883 - клубень 277
Круг 1720 - клубень 280
Круг 303 - клубень 282
Круг 1155 - клубень 285
Круг 1198 - клубень 292
Круг 1491 - клубень 293
Круг 1785 - клубень 294
Круг 693 - клубень 297
Круг 213 - клубень 302
Круг 1308 - клубень 312
Круг 1621 - клубень 313
Круг 1221 - клубень 318
Круг 1860 - клубень 320
Круг 201 - клубень 321
Круг 1170 - клубень 324
Круг 1495 - клубень 325
Круг 1821 - клубень 326
Круг 1513 - клубень 337
Круг 1233 - клубень 342
Круг 1920 - клубень 344
Круг 285 - клубень 345
Круг 748 - клубень 352
Круг 1455 - клубень 354
Круг 186 - клубень 356
Круг 543 - клубень 357
Круг 1620 - клубень 360
Круг 363 - клубень 362
Круг 660 - клубень 384
Круг 1045 - клубень 385
Круг 1005 - клубень 390
Круг 1788 - клубень 392
Круг 1386 - клубень 396
Круг 1783 - клубень 397
Круг 1401 - клубень 401
Круг 1803 - клубень 402
Круг 1918 - клубень 412
Круг 765 - клубень 414
Круг 33 - клубень 417
Круг 468 - клубень 432
Круг 1335 - клубень 434
Круг 663 - клубень 437
Круг 441 - клубень 441
Круг 235 - клубень 445
Круг 495 - клубень 450
Круг 1398 - клубень 452
Круг 1236 - клубень 456
Круг 1693 - клубень 457
Круг 1695 - клубень 474
Круг 1143 - клубень 477
Круг 498 - клубень 492
Круг 510 - клубень 500
Круг 1243 - клубень 517
Круг 1863 - клубень 522
Круг 930 - клубень 524
Круг 1356 - клубень 536
Круг 1530 - клубень 540
Круг 633 - клубень 542
Круг 1518 - клубень 572
Круг 1836 - клубень 576
Круг 433 - клубень 577
Круг 1353 - клубень 582
Круг 1458 - клубень 612
Круг 573 - клубень 617
Круг 1071 - клубень 621
Круг 48 - клубень 632
Круг 345 - клубень 654
Круг 333 - клубень 657
Круг 408 - клубень 672
Круг 1266 - клубень 716
Круг 180 - клубень 720
Круг 1623 - клубень 722
Круг 1968 - клубень 752
Круг 1026 - клубень 756
Круг 1188 - клубень 792
Круг 1203 - клубень 797
Круг 243 - клубень 837
Круг 1038 - клубень 852
Круг 1896 - клубень 896
Круг 1158 - клубень 932
Круг 936 - клубень 936
Круг 1638 - клубень 972
Круг 873 - клубень 1017
Круг 1068 - клубень 1112
Круг 1566 - клубень 1116
Круг 828 - клубень 1152
Круг 1698 - клубень 1292
Круг 738 - клубень 1332
Круг 1368 - клубень 1512

 

[santax]

Про 2й круг (если отсчет с 0):

У треугольных чисел m, а именно они у нас представлены под кругами есть свойство (спасибо Википедии), выражение 8*m+1 должно быть квадратным.

Представим 2й круг как 1980*x+2, где x≥0. И проверим это свойство: 8*(1980*x+2)+1 = 15840*x+17. А оно квадратом не является - вспомним задачу о факториалах. Значит 2 круг никогда закрашен не будет.

[E.K.]

Ну, наконец-то "лёд тронулся, господа прис.зас-ли" (с)

 

А оно квадратом не является - вспомним задачу о факториалах. Значит 2 круг никогда закрашен не будет.

Всё же пояснять надо, не все помнят ту давнюю задачку.

Число 10*x + 17 никогда не является квадратом другого (в целых числах).

 

Два замечания.

 

1) двойки (а также все кружки с номерами, заканчивающиеся на 4, 7 и 9) никогда не будут закрашены.

Поскольку по модулю 10:

 

n=(a+1)*a / 2 + 1980*k (mod 10)

 

(n - номер кружка, a - номер фанклубня, k - номер оборота вокруг круга).

 

n даёт только такие варианты: ?0, ?1, ?3, ?5, ?6, ?8. Всё.

вариантов ?2, ?4, ?7, ?9 быть не может.

 

2) мы все оставшиеся кружки (1188 штук) будем в ручную проверять?

 

3) кстати, попадём ли мы когда-то снова на нулевой кружок? - да.

 

8*(1980*k+0)+1 = x^2

8*1980*k = x^2-1 = (x-1)*(x+1) => x нечётный = 2y+1

8*1980*k = 2*y*(2*y+2) = 4*y*(y+1)

 

сокращение на 4, помним, что 1980 = 2*2*3*3*5*11

 

2*2*2 * 3*3 * 5 * 11 * k = y*(y+1)

 

Два последовательных числа не могут быть оба чётными и оба делиться на 3. То есть, 2*2*2 и 3*3 в разных множителях.

 

8*9*5*11*k = y*(y+1)

 

то есть, надо найти такое k, чтобы произведение раскладывалось на y*(y+1)

пробую:

 

8*9*11 = 792

 

то есть что-то, умноженное на 792 должно быть на 1 больше/меньше чего-то еще, умноженного на 5...

 

792*2 = 1584

317*5 = 1585

 

Ага, k=2*317=634

 

1980*634 = a*(a+1) / 2

 

а попробую на калькуляторе

 

1980*634*2 = 2510640 = a*(a+1)

1500*1501 = 2251500

1575*1576 = 2482200

1585*1586 = 2513810

1584*1585

 

Клубень 1584 снова покрасит нулевой кружок.

 

Вопросы:

 

1) он (1584-й) наверняка будет не первым, возможно ли найти более раннего клубня?

2) можно ли на этот вопрос ответить попроще? без этих выкладок и калькулятора?..

[thyrex]

1) он (1584-й) наверняка будет не первым, возможно ли найти более раннего клубня?

Их еще четверо ранее пробегут

440

495

935

1440

 

[E.K.]

1) он (1584-й) наверняка будет не первым, возможно ли найти более раннего клубня?

Их еще четверо ранее пробегут

440

495

935

1440

Почему? Как найдено?

[E.K.]

Что молчите? Начинаю подсказывать: треугольные числа и прочие формулы здесь не нужны. Задачка уровня 8-го класса средней школы...

[E.K.]

Ага, вижу, сдулись. Начинаю подсказывать.

 

Напоминаю картинку: трезвый по болезни админ фанклуба сделал дизайнерский ремонт, нарисовал "ромашку" на 1980 лепестков и принудил клубней бегать и закрашивать лепестки чёрной краской. Но тут он обратил внимание, что фанклубни с большими номерами прежде чем покрасить свой лепесток делают несколько лишних оборотов вокруг всей конструкции и тем излишне вытаптывают свежий дизайнерский ремонт. Например, фанклубень номер миллион прежде чем покрасить свой лепесток номер 100 - он сделал 505 холостых кругов вокруг ромашки.

 

Жалко стало бережливому трезвому админу свой ремонт вот так транжирить (клубней ему не жалко, это понятно). И решил он разрешать фанклубням пропускать ненужные круги. И так получилось, что фанклубень номер 1980 вообще никуда не побежал - он еще раз покрасил лепесток, который ему оставил клубень 1979.

 

1981-й отступил на 1 позицию // 1981 = 1980+1

1982-й отступил на 2 позиции от 1981-ого // 1982 = 1980+2

 

То есть, получается, что с позиции на которой стоял 1980-й клубень логика закрашивания полностью повторяется!

 

Намёк понятен??

[Dimya]

Бедные клубни!( И лучше бы,чтоб Админ нетрезвый был(болезнь свою настойкой какой-либо лечил)

Понятно-математика в строчках этих мимо пролетает.Прошу прощения у Главного Руководителя-конструктора...

[E.K.]

Ага, все ушли в глухую несознанку. Ну, буду сам с собой разговаривать.

 

Итак, фанклубень 1979 остановился на каком-то кружке и передал ведро с краской и кисточку клубню 1980. По новым админским правилам он отсчитал один круг - получился ноль. То есть, он никуда вообще не бегал и покрасил свой текущий кружок еще один раз. (хорошо админ этого не видел - а то бы вернул правила обратно и заставил бедного клубня бегать свой круг). Следующий клубень 1981 покрасил кружок +1 от клубня-везунчика, еще следующий +2 (т.е. +3 от не бегавшего) и так далее. То есть, начиная с цифры 1980 логика закрашивания кружков абсолютно четко повторяет предыдущий цикл закрашивания!

 

Однако, а где же остановился фанклубень 1979? Ну, это просто:

 

1979 -> 1979*1980/2 = 1959210 ; это будет 989*1980 = 1958220 => позиция 990.

 

Ага, а это же противоволожная сторона от стартовой (нулевой) точки! Как интересно... А справедливо ли это для всех кругов с чётным (N=2a) количеством кружочков? Подсчитаем...

 

(N+1)*N/2 = (N+1)*a = N*a + a  // то есть, он сделает 'a' полных оборотов и остановится в точке 'a' - в противоположной стороне.

 

Теперь давайте по команде "старт" запустим двух клубней, которые побегут от нулевой и противоположной точки. Ого! Так они же бегут симметрично! А теперь давайте рядом с главным кругом нарисуем две полуокружности длиной 'a' каждая (разрежем круг пополам) и на ней тоже пустим двух клубней с разных сторон. Ага, все бегают и всё закрашивается. Это понятно выглядит?

 

Теперь место перепрыгивания на вторую часть окружности пусть клубни остаются только на своей половине, перепрыгивая на другой её хвост. Что поменялось? Ничего!

 

То есть, закрашивание двух кругов длины N/2=a является однозначным соответствием закрашивания круга N двумя клубнями с разных сторон. Что это значит?... Однако, это значит, что количество закрашенных кружков на круге N будет в два раза больше, чем на круге N/2 - о как!

 

Для краткости введём функцию КЧК(N) - Количество Чёрных Кружков на круге N... Ну, ладно. Пусть будет просто F(N) 

 

F(2a) = 2*F(a)

 

Ура!

Так поднимем бокалы за первую доказанную в этой задачке формулу!

 

// мне продолжать или вы уже сами?

[E.K.]

Далее, с чётными N всё понятно. А как ведут себя нечётные?

 

N=2a+1

 

Через N оборотов это будет...

 

(N+1)*N/2 = (2a+2)*N / 2 =  (a+1)*N  // то есть, он сделает (a+1) полных оборотов и вернётся в исходную позицию.

 

А что будет посередине? Вдруг получится разделить круг на два - как это было с чётными N?

 

Серединка =>

 

a-2:       AA  // некое число, куда пришли на этом шаге.

a-1:       AA + a-1

a:          AA + 2a-1

a+1:      AA + 3a = AA + 2a+1 + a-1 = AA + N + a-1  // N это полный оборот, то есть попадаем в AA + a-1

 

На шаге (a-1) и (a+1) клубень находится в той же самой позиции! Что-то вроде до середины он шёл-шёл, а потом пошёл обратно по тем же точкам:

 

Туда:                  Обратно:

0                         0+ N = 0 (mod N)  // номер N остался на месте, (mod N) - стандартная запись "по модулю".

0+1 = 1               1+ (N-1) = 0 (mod N)

1+2 = 3               3+ (N-2) = 1 (mod N)

3+3 = 6               ...

...

 

То есть, на чётных он как-бы прыгает в одну сторону и за два оборота возвращается в нулевую исходную, а на нечётных разворачивается обратно и за один оборот попадает на место.

 

Если бы еще совпадений на точках не было... То есть, если бы в каждой точке (кроме средней) он побывал бы только два раза - один туда и другой обратно, - то задачка была бы решена! Поскольку без совпадений количество закрасов получается (N+1)/2. Разлагаем 1980 = 2*2*495 и всё!

 

Пробуем нечётные.. Просто нарисовать кружки на листке бумаги и протыкать.

7 = точно! 4 штуки = (7+1)/2

9 = ... облом... в первый кружок попали 1,4,7.

 

Что же делать??

[E.K.]

Так, давайте посмотрим внимательно. Чем 7 отличается от 9? Ага, 7 - простое. И за половину N (т.е. за 'a' шагов) мы проходим все "чёрные" кружки "туда" (а потом по ним же движемся "обратно" - см. предыдущий текст). На круге 7 закрашено 4 штуки. То есть, пока шли "туда" закрасили 4 неповторяющихся кружка: 0, 1, 3, 6 (а когда шли "обратно", то перекрасили еще раз в следующем порядке: 3, 1, 0).

 

1. Гипотеза: если N - простое, то закрашивается (N+1)/2 кружков. Как бы её доказать?... Поехали ->

 

Что значит "закрасили кружок повторно"? А это означает, что на некотором шаге 'y' мы оказались ровно в той же точке, что и на каком-то предыдущем шаге 'x' по дороге "туда". То есть, на шагах {0,1, ..., a} возвращаемся в уже закрашенное место 'n'.

 

То есть,

 

(x+1)*x / 2 = n + N*??   // сколько ?? кругов N открутили до попадания в 'n' - неважно.

(y+1)*y / 2 = n + N*??

 

x^2 + x - y^2 - y = 2*N*k   // k - количество кругов между попаданиями в 'n'.

 

Т.е. разлагаем в множители, а поскольку N - простое, то только так:

 

(x-y)*(x+y+1) = 1*2*N*k    // '1' выделил специально, она тоже множитель, а вдруг есть решение, где "x-y=1" ?

 

Задача теперь формулируется так. Количество повторно закрашенных кружков равно количеству решений данного уравнения.

 

/* Попробуем разные варианты (x-y) ->

 

(x-y) = 1, но тогда (x+y+1) = N*k , но {x,y} меньше или равны 'a' и не равны друг другу, следовательно максимальное значение (x+y+1) = 2a, то есть меньше N. Противоречие, такого решения быть не может.

 

(x-y) = N, быть такого не может, они же оба меньше 'a+1'.

 

(x-y) = k ... см. "(x-y) = 1" выше. */

 

Даказывается проще. Слева - два множителя, справа - разложение на множители. Кто-то слева делится на N. (x-y) меньше N, поскольку они оба меньше (a+1). Но (x+y+1) тоже меньше N, по той же причине и они разные, то есть максимальная сумма (x+y+1) = a + a-1 + 1 = 2a

 

То есть, решений уравнения нет, все кружки красятся только один раз! То есть - доказано! Для простых 'p' справедливо утверждение:

 

F(p) = (p+1) / 2

 

Очень полезное свойство! Оно нам еще пригодится... очень надеюсь на это!

 

 

2. Кстати, а в каких пределах изменяется 'k' ?

Сразу: 'x' не равен 'y', посему решения 'k=0' не бывает.

 

k = количество "холостых" оборотов между 'x' и 'y'. Ага, максимальное значение (дальше всего мы "убежим" на максимальном шаге 'a') ->  (a+1)*a / 2  , а сколько это будет в 'N' ?

 

((a+1)*a / 2 ) / (2a+1) => (увеличиваем наверх) => (a+1)*a / 4a = (a+1) / 4

 

При этом результат деления округляем до ближайшего верхнего (ведь на очередной виток залезаем - значит, надо и его учитывать).

 

k = { 1, ... ,  [(a+1)/4] + 1 }

 

Это правило, наверное, тоже должно пригодиться.

 

Так, а что за проблема у нас была с 9-ой? F(9) не равнялось 5, а было перекрашивание одного кружка, то есть F(9)=4 .. Таааак, а вот что:

 

9=3*3

F(3) = 2

F(9) = F(3)*F(3) = F(3*3)

 

Ого-го какая зависимость вырисовывается! Кажется, на нашей улице скоро действительно будет большой праздник!

 

А давайте проверим на других малых нечётных N. Просто тупо нарисовать 15 и 21 и попробовать - не поленитесь, делается за 30 секунд. Ага! Действительно,

F(15) = 6 = 2*3 = F(3)*F(5) = F(3*5)

F(21) = 8 = 2*4 = F(3)*F(7) = F(3*7)

 

Урррра! Срочно надо как-то доказывать! ... А пока в голову не лезут красивые доказательства... а проверить 25 ->

F(25) = что?? Нет, еще раз ... Бабамс... F(25) = 11. Сами можете проверить.

 

Мордой об стол, жалобно звякнула посуда, листки с картинками и формулами улетели на пол... Вот так какая-то не самая важная цифра "25" разрушила вот такую красивую гипотезу! Вот, напридумывают разных таких цифер - а ты тут мучайся.

 

Ну, что делать-то будем??

 

 

P.S. в выкладках чуть выше - ошибка. Забыл про двойку в делителе. Исправлено. Но это не меняет логики доказательства.

[E.K.]

Ура!

Я решил задачку

[Наталья Волкова]

Ура!

Я решил задачку

Браво! Колоссальный труд. А я бросила, я слабак. Я условие неправильно поняла, начала решать, потом пошли нестыковки... и бросила.

Изменено 20 октября, 2017 пользователем Наталья Волкова

[E.K.]

Я потом отвечу на задачку, но сначала помучаю...

 

А чтобы сразу перейти к нормальным мучениям, а не склерозом просто, то сразу ткну на тот самый древний запрос на очевидность фанклубнего ума: https://forum.kasperskyclub.ru/index.php?showtopic=54210&p=844098

 

Поскольку фанклубни задачку за две недели не решили, то...

То будем считать задачку сложной! О как!

 

О как только что было придумано, но на самом деле задачка действительно закавыкистая. Я себе голову сломал, над ней размышляя. Параллельно задачке придумано было несколько интересных идей развития наших технологий и продуктов - пасибо неведомым математикам за массаж ума.

 

Сначала я (как "честный вася") рисовал круги и искал математические зависимости вдоль и поперёк.

 

Вдруг бы случилась простая зависимость и очевидное решение!! -- не случилось.

 

Там же я вышел на формулы (типа обозначенной выше) - вопрос в задачке не "какие кружки будут покрашены", а сколько их будет! То есть, надо считать как-то иначе...

 

Ага! - подумал я. Надо считать повторения совпадений, а именно - все повторения закрашиваний будут являться решениями уравнения ->

 

(x-y)*(x+y+1) = 1*2*N*k

 

(это уравнение уже было выше).

 

Ну, этакая алгебраичность режется на раз-два.. на малых числах. Например, ну.. допустим, 35=7x5.

 

(x-y)*(x+y+1) = 1*2*5*7*{k=1,2,3,4,5}

 

На что может делиться (x-y) ? На 1 (ага..), на 2,5,7, и так далее до максимума 'k' и всех комбинаций множителей (то есть, еще и 3,4,6,8, ага, девятки нет - в множителях только одна тройка, 10, 11 нет, 12 тоже нет, 13 нет, 14, 15, на 16 двоек не хватает, 17 простое и его нет.. всё! Дошли до 'a+1', а 'x-y' не может быть больше 'a'.

 

Решаемо? Решаемо! Это же просто -

 

(x-y) = {перебор вариантов от 1 и по всем делителям}  =>

 

1. x=y+1 => 2y+2 = 2*3*7*{k=}1 =35  --> слева чётное, справа нечётное, да и всё равно мимо, поскольку 'y' получается больше 17 и это вылет за границы {x,y}. Остальные 'k' пробовать смысла нет, 'y' будет больше 17.

 

2. x=y+2 => 2y+3 = [то же произведение, но без '2', поскольку множитель '2' ушёл в левую часть] --> 'y'=16, то есть 'x'>16, противоречие. Справедливо для всех остальных 'k'.

 

3. и так далее...

4. лень повторяться...

 

5. x=y+5 => 2y+6 = {14, 28, остальные 'k' вылет за границы} --> есть решение!

{4,9} и {11,16} - эти пары попадают в кружки 10 и 31 соответственно.

 

6,7,... 14,15 - далее следуют примерно такие же формулы и там будут еще 4 решения.

 

То есть, на 35 есть 6 повторных "закраса" и общее число покрашенных будет (35+1)/2 - 6 = 18-6 = 12.

Понятно?

 

А что делать дальше??

 

Я чуть голову не сломал, изрисовал кучу листочков - вот они:

 

Умом не двинулся, но он (ум) мне периодически намекал, что надо бы как-то попроще обходиться с ребусами..

 

... поскольку решать систему уравнений для 495 (1980=2*2*495) это вот такая задачка получается:

 

(x-y)*(x+y+1) = 1*2*3*3*5*11*{k=1,2,3, ..., 124}

 

Что-то глядя на "124" энтузиазм как-то моментально умножается на ноль...

 

 

Всё, теперь буду краток.

Условие задачи про "круг" - это разводка!

Задачку надо решать в прочих геометриях.

 

Вот.

Давайте попробуем, вдруг получится?

[E.K.]

Значит, так. Еще раз формулирую. Нас интересует сколько будет закрашено кружков на круге 495 = 3*3*5*11.

 

Если посмотреть на задачку не в виде круга, а в виде таблицы (например, 15*33 или 9*55), то можно заметить некоторые особенности. Числа в табличке лежат не просто так, а сообразно некоторым правилам. Например, если в таблице 'n' столбцов (таблицу заполняем по горизонтали:

 

0 1 2 3 ....... n-1 

---------------------

0 1 -  2 - - 3 ...   

?? ?? ?? ??

 

то видно, что в каждом столбце лежат строго определённые последовательности чисел. Например, в нулевом столбце лежит 0 и все числа, кратные 'n'. Оно и понятно, поскольку кратность 'n' означает, что результат будет кратен 'n' и все такие числа там и окажутся.

 

Подробнее:

 

n*x+a попадает только в свой столбец, где 'n' - количество столбцов, 'x' - номер шага, 'a' - номер этого столбца.

 

На шаге 'n*x+a' попадаем в:

 

(n*x+a+1)(n*x+a) / 2 = n^2 * x^2 + 2*a*n*x + a^2 + n*x + a

 

По модулю 'n' получаем 'a^2+a' - то есть, не зависит от 'x'.

 

Конкретнее к нашей задаче. Разложим 495 в таблицу 9*55. В нулевой столбец попадают {0,8} и все числа вида 9x и 9x+8. В первый 9x+1, 9x+3 и 9x+7. Ага, то есть, туда попадают все числа вида 3x+1 - удобненько! Во второй, четвёртый, пятый, седьмой и восьмой столбец ничего не попадает.

 

0 1 - 2 - - 3 - -

- 4 - - - - 5 - -

- - - 6 - - - - -

- 7 - - - - - - -

 

что-то долго получается, лучше давайте таблицу на бок и посмотрим по горизонтали. Что попадает в столбцы:

 

0: 0,8,9,17,18,

1: 1,4,7,10,13,16,19,

2:

3: 2,6,11,15,20,

4:

5:

6: 3,5,12,14,

7:

8:

 

Кстати, сразу факультативная задачка.

Почему (a+1)*a / 2 (mod 9) никогда не даёт 2,4,5,7 и 8?

 

Ага, давайте теперь посмотрим на первый столбец - в него попало больше всего чисел. Это и понятно, там треть от всего набора чисел! Вообще, если посмотреть, то в столбцы попали следующие наборы:

 

0: 9x, 9x+8.

1: 9x+1, 9x+4, 9x+7

3: 9x+2, 9x+6.

6: 9x+3, 9x+5.

 

Первый столбец вообще 3x+1. Что интересно, разница между соседними значениями в этом столбце...

 

(3(x+1)+2)(3(x+1)+1) / 2  - (3x+2)(3x+1) / 2

(3x+5)(3x+4) -> 9x^2 + 27x + 20 - 9x^2 - 9x - 2 -> 18x+ 18 -> пополам = 9x+9.

 

Разница между соседними значениями в первом столбце равна 9(x+1). То есть, если просто выкинуть и забыть все остальные столбцы, то мы сводим задачу к закраске круга с 55 кружками! О как!

 

Задача про первую колонку идентична исходной задаче: надо закрасить круг с шагом 1,2,3 и тп!

 

Так, а что нужно сделать, чтобы подсчитать количество закрашенных кружков на длине 55? Можно решить уравнения:

 

(x-y)(x+y+1) = 1*2*5*11*{1,2,3,...14}

 

Мне что-то было лень и я просто "протыкал" всю таблицу вручную, задачка это несложная, совершенно линейная:

          

     0     1     2     3     4     5      6     7    8     9 

00: 0,10  1,23   -     2     -     -     3,18   -    -     -

10: 4,15  11,21  -     -     -     5      -     -    -     -

20:  -    6,26   -     12    -     19,24 16     -    7     -

30:  -     -     -     22    -     -     8,13   -    -     -

40:  -     -     -     17    -     9,20   -     -    27    -

50: 14,25  -     -     -     -

 

(27 крайняя точка, после неё алгоритм пойдёт в обратную сторону - можете проверить).

 

Итого, в первой колонке будет покрашено всего 18 кружков.

 

Осталось разобраться с оставшимися тремя колонками.