Математическое и загадочное

[santax]

Может есть новые задачки? Голова стала активировать не задействованные 94% нейронных сетей мозга...

 

З.Ы. Переключился параллельно на написание утилиты для редактировния прошивки Xiaomi Mi Band 2.

[E.K.]

Да всё тоже пока - произведение, сумма, два клубня и два числа.

Никто пока не приблизился даже к правильному ответу.

 

Хотя, что интересно, там произведение = эээ этакому для меня знаковому числителю траектории моей жизни. Вот.

[E.K.]

Итак, раскрываю карты.

 

Повторяю условие задачи:

 

Однажды осенней ночью очень злой админ фанклуба загадал два различных натуральных числа, оба больше 1 и меньше 100. Потом он запер фанклуб тремя замками, но с парой фанклубнев внутри. При чём здесь числа? - Всё просто. Нужно отгадать их. Злой админ сказал фанклубням сумму и произведение своих магических чисел.

 

Одному фанклубню он сказал их Произведение (фанклубень-П), другому - их Сумму (фанклубень-С) -- а сам пошёл пить пиво (чем админы обычно и занимаются после бана фанклубней). Клубни посмотрели каждый на свой результат: клубень-П на произведение, а клубень-С на сумму, друг к другу не подглядывая (через стены не посмотришь, вайфая и прочего сетевого нет вообще, мы в подземельях фанклуб-админия). Через некоторое время клубень-П крикнул своему коллеге по несчастью:

 

 -- Я не могу определить что загадал злой админ, мне не хватает данных.

 -- А я сразу знал, что тебе не хватит данных! - порадовал его знаток суммы чисел клубень-С.

 -- Ага, ну тогда я знаю что за числа загадал админ! - сказал клубень-П.

 -- Ну, раз так... то и я знаю! - сказал второй, двери открылись, прилетел вертолёт и они вместе пошли пить пиво.

 

Вопрос, прежде чем мы к ним присоединимся, - как и какой магией они это сделали? А можно ли однозначно определить такие числа? Обоснуйте.

 

Итак, какие следствия мы видим из этих фраз? Как можно эти слова сформулировать математическими условиями?

 

Условие0: числа разные, от 2 до 99. Пусть эти числа A и B.

 

Условие1: произведение A*B не является произведением двух простых чисел больше единицы, иначе всё сразу раскладывается и однозначно определяется, что противоречит "мне не хватает данных". Т.е., у прозведения мимум три множителя: A*B = a*b*c (необязательно простые).

 

Сразу следствие1: 2*2*2 не подходит, поскольку сразу вычисляется пара {2,4} что тоже противоречит утверждению "мне не хватает данных". А вот 2*2*3 уже не даёт однозначного решения, это {3,4} или {2,6}. Плюс Условие0 (числа разные, до 99) =>

 

 минимальная сумма чисел = 7, а максимальная 98+99 = 197

 минимальное произведение чисел = 12, максимальное = 98*99 = 9702

 

Также Следствие2: В разложении A*B=a*b*c на простые множители максимальное простое число P не может быть больше 50. Если же это так, то клубень-П сразу вычисляет числа. Если есть неоднозначность разложения, то A=n*P > 100 (поскольку P>50, а натуральные значения n больше 1 и одновременно меньше 1 мне неизвестны). Противоречие Условию0.

 

Следствие3: Сумма A+B может быть представлена как a+bc, там же три числа в произведении: одно из них A=a, а второе B=bc.

 

Условие2: клубень-С знает, что сумма чисел A+B = a+bc никак не может быть суммой простых чисел. Он же "сразу знал, что не хватает данных". Если бы сумма могла была быть представлена как сумма простых, то он не был бы так уверен. Назовём такие числа "не-плюсо-простые", или НПП (NPP). Их много, например:

 

11, 17, 23, 27, 35, 37, ...

 

Условие3: клубень-П, глядя на разложение A*B на простые множители, однозначно может определить НПП. Например, {a,b,c = 2,2,7} однозначно даёт НПП 11 (2*2 + 7). Второй вариант суммы не является НПП (2 + 2*7 = 16). А вот набор {2,3,5} не даёт однозначного НПП, поскольку 2*3+5=11 и 2+3*5=17, оба варианта НПП. То есть, если у клубня набор не однозначен, то он не может сказать "Ага, ну тогда я знаю". Отсюда определение "однозначности": простые числа, на которые раскладывается произведение A*B однозначно указывают на какое-то единственное НПП. То есть, у всех вариантов 'a+bc' из этих чисел (a,b,c сами могут быть произведением простых) - только в одном случае получается НПП.

 

Условие4: клубень-С, глядя на сумму A+B и на заявление клубня-П о решении задачи, делает вывод, что набор множителей у клубня-П однозначно указывает на единственное НПП. Чтобы сделать такой вывод, он должен быть уверен, что на сумму A+B однозначно указывает только один набор множителей. Например, на 11 указывают два набора: (2*2+7) и (2*2*2+3). Пример кривоват, поскольку наборы не выполняют условие3 и до условия4 они просто не дойдут.

 

Еще раз на примере. Админ задумал числа {5,6}. Произведение = 2*3*5, сумма даёт НПП 11. Но клубень-П не может сказать "знаю НПП-решение", поскольку их может быть два: 2*3+5=11 и 2+3*5=17. Но даже если он обманул своего коллегу, тот тоже не может сказать "и я знаю", поскольку на 11 указывают два набора.

 

Вот так, наверное, понятнее стало..

[E.K.]

А дальше, сорри, тупой перебор. Ищем все НПП. При этом используем ВСЕ простые числа от 2 до 100.

(кстати, если можно придумать как это сделать не перебором, а логически-математически - это будет очень круто).

 

Давайте сначала первую сотню:

(в таблице p = prime number, а звёздочки я потом объясню).

 

-      10=3+7   20=7+13  30=7+23  40=3+37  50=3+47   60=7+53  70=3+67   80=7+73   90=7+83

-      11p **   21=2+19  31p=2+29 41p *    51 ***    61p=2+59 71p **    81=2+79   91=2+89

2p     12=5+7   22=3+19  32=3+29  42=5+37  52=5+47   62=3+59  72=31+41  82=3+79   92=3+89

3p     13p=2+11 23p ***  33=2+31  43p=2+41 53p*      63=2+61  73p=2+71  83p ***   93 ***

4=2+2  14=3+11  24=11+1  34=3+31  44=3+41  54=7+47   64=3+61  74=7+67   84=5+79   94=5+89

5p=2+3 15=2+13  25=2+23  35 **    45=2+43  55=2+53   65*      75=2+73   85=2+83   95 ***

6=2+4  16=3+13  26=3+23  36=5+31  46=3+43  56=3+53   66=5+61  76=5+71   86=3+83   96=7+89

7p=2+5 17p *    27 **    37p **   47p **   57 **     67p **   77 ***    87 ****   97p *

8=3+5  18=7+11  28=5+23  38=7+31  48=5+43  58=5+53   68=7+61  78=5+73   88=5+83   98=19+79

9=2+7  19p=2+17 29p *    39=2+37  49=2+47  59p *     69=2+67  79p **    89p *     99=2+97

 

Итак, вот такая красивая таблица, в которой видны НПП-числа. Что там видно??

 

Нечетность!!! Нам крупно повезло! (или это закон такой??) Все НПП - нечётные, то есть A+B = 2+bc , либо = 2a+b, где 'b,c' нечётные. То есть, в произведении A*B есть двойка 2.

 

Но их всё равно много.. Попробуем отфильтровать заведомо неправильные, у которых нет однозначного набора простых множителей в A*B. Попробуем вот так:

 

Набор {2,...,2,p}, где p=простое, он может указывать только на единственное НПП, поскольку нечётный результат суммы только один: (2*...*2 + p) , а все интересующие нас НПП нечётны. То есть, если на конкретный НПП указывают два однозначных набора - то не выполняется условие4. ОК, идём по таблице и метим звёздочкой (вот почему там звёздочка) все НПП вида (2*...*2 + p) - сразу попадаем в 11. Там 2*2+7 и 2*2*2+3 - его можно выкинуть. Тоже самое 23 = 4+19 и 16+7, т.е. ему соответствуют два однозначных набора: {2,2,19} и {2,2,2,2,7}. И так далее...

 

27 = 4+23 = 8+19 = 16+11 (три набора!)

87 = 4+83 = 8+79 = 16+71 = 64+23 (аж четыре!)

 

Остаётся...

17 29 41 53 59 65 89 97

 

Ну, а дальше снова перебор по оставшимся НПП. Тупо, но красиво.

[E.K.]

Пробуем все НПП.. Базовый (пробуемый) НПП для красоты ставим в двойные скобки - например, ((17)), остальные полученные НПП в ординарные ().

 

Произведения и суммы перебираем в таком порядке:

(a,b,c) = a+bc,ab+c,ac+b, где a=степень двойки и b,c = остальные нечётные множители.

(a,b,c,d) = a+bcd // ab+cd // ac+bd // ad+bc // abc+d // abd+c // acd+b

 

Записываем:

НПП = простые множители => варианты сумм.

Поехали...

 

17 = (из каких наборов получаем 17 и удовлетворяют ли они обоюдной однозначности).

 

2+15 = 2,3,5 => ((17)), (11), 13 неоднозначное, поскольку два НПП, выкидывается по условию3.

4+13p = однозначное ((17)).

8+9 = 8,3,3 = ((17)), (27)  второй вариант НПП, выкидывается по условию3.

10+7 = 2,5,7 => (37), ((17)), 19 - дубль НПП.

12+5 = 4,3,5 => 19, ((17)), (23) - дубль НПП.

14+3 = 2,3,7 => (23), 13, ((17)) - дубль НПП.

Всё! ====> {4,13} удовлетворяет задаче: клубень-П получил число 52, клубень-С получил 17.

Из 2*2*13 клубень-П делает однозначный вывод, клубень-С по его однозначности делает такой же вывод.

 

// кстати, 52 - число моего дня рождения

 

А теперь надо доказать, что это решение единственное... Перебор, поехали.

 

29 =

2+27 = 2,3,3,3 => ((29)), 15, 21  НПП единственная.

4+25 = 4,5,5 => ((29)), 25 = дубль, нарушение условия4. По 29 нельзя определить какой набор делителей.

 

41 =

2+39 = 2,3,13 => ((41)), 19, (29).

4+37 = 4,37 => однозначность.

6+35 = 2,3,5,7 => 2+3*5*7= 107 // 2*3+5*7=((41)) // 2*5+3*7 = 31 // 2*7+3*5 = (29) // 2*3*5+7=(37) // 2*3*7+5 = (47) // 2*5*7+3=73.

8+33 = 8,3,11 => ((41)), (35), 91.

10+31 = 2,5,31 => 157(?), ((41)), (67).

12+29 = 4,3,29 => 91, ((41)), 119 ???

14+27 = 2,3,3,3,7 => ?????.

16+25 = 16,5,5 => ((41)), 85 => еще одна однозначность. X.

Двойная однозначность = выкидываем 41.

 

53 = (тут есть данные из второй таблицы НПП 100-197, она есть ниже).

2+51 = 2,3,17 => ((53)), (23), (37). NPP.

4+49 = 4,7,7 => ((53)), (35). NPP.

6+47 = 2,3,47 => (143p), ((53)), (97p). NPP.

8+45 = 8,3,3,5 => ((45)), 8*3+3*5=39 // 8*5+3*3=49 // 8*3*3+5=(79) // 8*3*5+3=(123).

10+43 = 2,5,43 => (217), ((53)) , 91.... но A+B=217 больше границы "197" => однозначность.

Можно выкидывать. Но продолжим..

12+41 = 4,3,41 =>  (127), ((53)), (167).

14+39 = 2,3,7,13 => 275=273p+2, 2*3+7*13=(97) ... НПП

16+37p = однозначность.   2,2,2,2,37 однозначность.

18+35 = 2,3,3,5,7 => ?????

20+33 = 4,5,3,11 => .... (59) NPP

22+31 = 2,11,31 => 73, 343 NPP.

24+29 = 4,7,29 => ... (123) NPP.

26+27 = 2,3,3,3,13 =>  ... (35) NPP.

28+25 = 4,5,5,7 => 55,((53)) NPP.

30+23 = 2,3,5,23 => 121 NPP, 69

32+21 = 32,3,7 => 103,227 НПП...

34+19 = 2,17,19 => ((53)), 55, 325 NPP.

36+17 = 4,3,3,17 => 63, 77 NPP.

38+15 = 2,3,5,19 => 101 NPP.

40+13 = 8,5,13 => 73, ((53)), 109. вторая однозначность.

Всё, выкидывается.

 

59 =

2+57 = 2,3,19 => ((59)), 25, (41) , два НПП, мимо условия3.

4+55 = 4,5,11 => ((59)), 31, 49. Первое попадание, условие3 выполняется.

8+51 = 8,3,17 => ((59)), (41), 139. Два НПП.

16+43p = однозначно. Дубль. Несовпадение условия 4. X.

 

65 =

 

Сами попробуете?

[E.K.]

Для чисел больше 50 потребуется вторая (100-197) таблица НПП.

(по условию задачи исходные числа могли быть простыми и больше 50 - это я поясняю специально, чтобы не было недоразумений).

 

100=97+3   110=3+107 120=7+113  130=3+127  140=3+137  150=11+139  160=3+157 170=7+163  180=7+173  190=11+179
101p **    111=2+109 121 **     131p ***   141=2+139  151p=2+149  161 **    171 ****   181p=2+179 191p *
102=13+89  112=3+109 122=13+109 132=5+127  142=5+137  152=3+149   162=5+157 172=23+149 182=3+179  192=11+181
103p=2+101 113p **   123 **     133=2+131  143 ***    153=2+151   163p *    173p ***   183=2+181  193p=2+191
104=3+101  114=5+109 124=11+113 134=3+131  144=7+137  154=3+151   164=7+157 174=11+163 184=3+181  194=3+191
105=2+103  115=2+113 125 **     135 ****   145 ***    155 **      165=2+163 175=2+173  185 *      195=2+193
106=3+103  116=3+113 126=13+113 136=5+131  146=7+139  156=5+151   166=3+163 176=3+173  186=5+181  196=3+193
107p **    117 ****  127p       137p *     147 ****   157p *      167p **   177 **     187 **     197p **
108=5+103  118=5+113 128=19+109 138=7+131  148=11+137 158=7+151   168=5+163 178=5+173  188=7+181  (больше 197
109p=2+107 119 *     129=2+127  139p=2+137 149p       159=2+157   169=167+2 179p *     189 ****    нет).
 

[santax]

Слишком тяжело для меня, чтобы разобраться с первого раза. Решал построением графов: узлы - сумма и произведение, ребра - пары чисел. Но не особо помогло. Для решения 4;13 у меня были равнозначные (как мне казалось) варианты - 4;29 4;19 49;3

[E.K.]

Ааааа... Вот - сформулировал всем вам и сам себе понял, что вторая таблица не нужна!

 

Сумма A+B не может быть больше или равна 53+2=55. Поскольку второе заявление "а я сразу знал" говорит о том, что ни при каких условиях клубень-П не может сразу угадать числа по их сумме. Но если одно слагаемое простое и больше 50, то может (см. следствия). Но любое A+B>=55 можно представить как 53+n. Если клубень-П видит в множителях 53*n, то он сразу говорит ответ. То есть, при суммах больше 55 клубень-С не может заявлять "а я сразу знал". Всё.

[E.K.]

Итого, решение звучит так.

1. A+B не может быть больше 54.

2. A+B является не-плюсо-простым числом (НПП).

3. НПП-числа до 100 все нечётные и могут быть представлены как 2+a*b или 2*a+b*c.

4. Таблица НПП до 100.

5. Выбрасываются сразу однозначности вида 2^n + p, если они дублируют результат (две+ звёздочки в таблице НПП).

 

Остаются 17 29 41 53.

 

17 ->

2+15 = 2,3,5 => ((17)), (11), 13 = неоднозначное, поскольку два набора указывают на НПП, выкидывается по условию3.

4+13p = однозначное ((17)).

8+9 = 8,3,3 = ((17)), (27)  второй вариант НПП, выкидывается по условию3.

10+7 = 2,5,7 => (37), ((17)), 19 - дубль НПП.

12+5 = 4,3,5 => 19, ((17)), (23) - дубль НПП.

14+3 = 2,3,7 => (23), 13, ((17)) - дубль НПП.

Всё! ====> {4,13} удовлетворяет условию задачи.

 

29 ->

2+27 = 2,3,3,3 => ((29)), 15, 21 однозначное НПП.

4+25 = 4,5,5 => ((29)), 25 = дубль однозначности, нарушение условия4.

 

41 ->

4+37 = 4,37 => ((41)) однозначность.

16+25 = 16,5,5 => ((41)), 85 => еще одна однозначность.

 

53 ->

16+37p => однозначность.

40+13 = 8,5,13 => 73, ((53)), 109. вторая однозначность...  поскольку 109=104+5, число больше 100 и противоречит условию задачи.

 

ВСЁ !!!

 

Кому как - а мне ОЧЕНЬ понравилось !!!

[E.K.]

Но любое A+B>=55 можно представить как 53+n.

Нет. 'n' по условиям задачки меньше 100. То есть, как "53+n" можно представить любые числа от 55 до 152. Остальные можно представить как "97+n" (97 тоже простое). Вернее, как "97+n" можно представить числа от 99 до 196. Остаётся 197 (как сумма 98+99). Но как только клубни видят произведение (клубень-П) или сумму (клубень-С) этих чисел, то они хором кричат "я знаю ответ!" - что противоречит условию задачи.

[E.K.]

Так, а давайте еще раз все вместе проверим правильность выкладок. А то всё равно у меня есть сомнения

[E.K.]

Ну, ладно...

 

Лежат две верёвки. Разной длины. Если поджечь с одного края - они обе горят ровно один час. Скорость горения неравномерна. Может половина гореть почти час, а остальное потом вжик и всё. У фанклубня есть эти две верёвки и зажигалка. Больше у фанклубня ничего нет. Нужно отмерить 45 минут.

 

Время пошло.

[santax]

Поджечь верёвки с 3х концов. Когда сгорит Одна верёвка, поджечь второй конец оставшейся веревки.

[Наталья Волкова]

Так, а давайте еще раз все вместе проверим правильность выкладок. А то всё равно у меня есть сомнения

Когда просматриваешь готовые выкладки, вроде все верно и всё понятно. Да уж ... труд проделан титанический!  Кстати, о том, что не надо рассматривать простые числа больше  53 говорилось во время обсуждения решения.

Но у меня всё равно какие то сомнения по поводу этой задачи ( что то  я недопонимаю, потому, что я не математик, а любитель) Например, мне не понятно, почему при нахождении чисел (m  n) мы рассматриваем одно из них как степень двойки?   P=m*n   S=m +n, где  n- это простое число (это понятно и бесспорно) а вот m правильнее представить как m=2a  (a>1),  так как m- четное число. Тогда S=2a+n  P=2a*n

Ладно... что то от этой задачи уже голова кружится.

Изменено 5 октября, 2017 пользователем Наталья Волкова

[E.K.]

мне не понятно, почему при нахождении чисел (m  n) мы рассматриваем одно из них как степень двойки?   P=m*n   S=m +n, где  n- это простое число (это понятно и бесспорно) а вот m правильнее представить как m=2a  (a>1),  так как m- четное число. Тогда S=2a+n  P=2a*n

Это не так. Степени двойки использовались только для отсева заведомо неоднозначных вариантов. Потом рассматривались именно "2a+b"