Математическое и загадочное

[Рогожников Евгений]

На это сразу вышел. Думал, что опечатки нет и есть ещё какой то трюк

[E.K.]

Увы, ещё проще. Но - посыпая голову пеплом, - я тоже грубо облажался, не смог подступиться к решению - и униженно попросил подсказки, которая пришла, - и свалить свою полную некомпетентность я могу только на все эти предновогодние заморочки, в суете котороых я совершенно забыл, что подобные заковырки обычно придумываются криптографами, скучающими от бессилия перед более сложными и изощрёнными задачами разработки технологий дешёвой добычи очень больших простых чисел в промышленных массштабах - и оттого тихо ненавидящих возможность появления вполне себе квантовых технологий, которые тёмной тучей нависают над горизонтом событий, за которым все мы когда-то неизбежно найдём себе уют и покой... Ой - куда это меня занесло?

 

Короче, эта хрень 4^545 + 545^5 делится на 3. Поскольку:

 

4 ≡ 1 (mod 3), а 545 ≡ -1 (mod 3).

1^545=1, при этом (-1)^5=-1,

сумма этих величин = 0, то есть, 4^545 + 545^5 делится на 3.

 

Всё..

[Рогожников Евгений]

Наверно, на 3 я не вышел, так как была опечатка в условии. Сейчас вспомнил, что я сначала проверил 3, 7, 11. Далее уже  посмотрел на 545±4 , увидел, что 541 простое и обрадовался, что нашёл решение, так как по ошибке сначала подумал, что x^p =1. Когда же стал писать решение, то обнаружил ошибку и был разочарован. Зато имеем более общее решение. x^y+y^(x+1) будет составным если (x-y) простое

[E.K.]

В качестве компенсации за мой огрех в условии предыдущей задачки - вот вам совсем простенькая, но с виду очень сложная:

 

Доказать, что число 111…..[n eдиниц]…1112111…..[n eдиниц]…111 является составным при любом n.

[Fireman]

12 часов назад, Рогожников Евгений сказал:

На это сразу вышел. Думал, что опечатки нет и есть ещё какой то трюк

Попробую показать трюк

 

4⁵⁴⁵ + 545⁴ = (2⁵⁴⁵)² + (545²)²  = (2⁵⁴⁵)² + (545²)² + 2·2⁵⁴⁵·545² - 2·2⁵⁴⁵·545² = (2⁵⁴⁵ + 545²)² -  2·2⁵⁴⁵·545² = (2⁵⁴⁵ + 545²)² -  2⁵⁴⁶·545² = (2⁵⁴⁵ + 545²)² -  (2²⁷³)²·545² =  (2⁵⁴⁵ + 545²)² -  (545·2²⁷³)² = (2⁵⁴⁵ + 545² - 545·2²⁷³)·(2⁵⁴⁵ + 545² + 545·2²⁷³)

 

итого:

 

4⁵⁴⁵ + 545⁴ = (2⁵⁴⁵ + 545² - 545·2²⁷³)(2⁵⁴⁵ + 545² + 545·2²⁷³)

 

т.е. число составное

 

тут правда по хорошему надо еще показать что 2⁵⁴⁵ + 545² - 545·2²⁷³ не равно 1:

 

2⁵⁴⁵ + 545² - 545·2²⁷³ > 2⁵⁴⁵ - 1024·2²⁷³ = 2⁵⁴⁵ - 2¹⁰·2²⁷³ = 2⁵⁴⁵ - 2²⁸³ = 2²⁸³ (2²⁶² - 1) > 1

Изменено 19 декабря, 2023 пользователем Fireman

[E.K.]

On 19.12.2023 at 09:54, E.K. said:

Доказать, что число 111…..[n eдиниц]…1112111…..[n eдиниц]…111 является составным при любом n.

Что-то молчание. А задачка-то простенькая... Ладно, тогда вот ещё простого:

 

n * 874 = ***92, чему равно натуральное n?

[Рогожников Евгений]

19.12.2023 в 09:54, E.K. сказал:

Доказать, что число 111…..[n eдиниц]…1112111…..[n eдиниц]…111 является составным при любом n.

Пусть x = 1...[n+1 единица]... 1

Тогда наше число будет x + x*10^n. Т е будет делиться на x

[Рогожников Евгений]

19 часов назад, E.K. сказал:

n * 874 = ***92, чему равно натуральное n?

Ответ 108. То что число подходит легко проверить. Покажет, что других решений нет. 

 

Последней цифрой может быть 3 или 8, так как при умножении на 4 в конце идёт 2.

Но 3 тоже не может быть, так как

3*74=222

 

И мы не сможем подобрать вторую цифру x в нашем n, что вторая цифра в произведении была 9, так как вторая цифра это последняя цифра числа 4*х +2. А оно чётно. 

 

Итак, последняя цифра 8.

8*574=4592

То есть уже заканчивается на 92. Значит вторая цифра нашего числа может быть  только 0. И оно трехзначное. Но тогда первая цифра может быть только 1. Если будет 2 и выше, то произведение будет 6 - значным. А оно у нас 5-значное

[Fireman]

2 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

Ответ 108. То что число подходит легко проверить. Покажет, что других решений нет. 

 

Займусь в очередной раз небольшим извратом.

Я человек простой - вижу формулу, начинаю решать :)))

 

 

Задачу можно переписать в виде

n * 874 = x * 100 + 92

 

где x - трёхзначное число, первые слева 3 цифры числа ***92

 

Сократим запись и разобьём числа на простые множители для удобства последующей работы:

n * 19 * 23 = x * 50 + 2 * 23

 

Левая часть на 23 делится и второй компонент правой части на 23 делится, а значит по основной теореме арифметике и x * 50 должно делиться на 23, а поскольку 50 на 23 не делится, то должно делиться x.

 

Выразим x как

x = 23 * y

 

Откуда

 

n * 19 * 23 = y * 23 * 50 + 2 * 23

n * 19 = y * 50 + 2

 

Учитывая, что наше число ***92 может быть от 10092 до 99992 сразу получим ограничения для y:

y = [5, 43]

 

Вернемся теперь к предыдущему уравнению - по основной теореме арифметики y * 50 + 2 должно делиться на 19, т.е.

(y * 50 + 2) mod 19 = 0

2 * (y * 25 + 1) mod 19 = 0

 

а значит y можно выразить как

y = 19z + 3

 

Зная ограничения y получаем z  = [1, 2]

 

Т.е.:

y1 = 1 * 19 + 3 = 22

y2 = 2 * 19 + 3 = 41

 

Откуда

 

x1 = 23 * y1 = 23 * 22 = 506

x2 = 23 * y2 = 23 * 41 = 943

 

И итоговое правое число будет

50692

94392

 

А значит искомое n будет:

 

n1 = 50692 / 874 = 58

n2 = 94392 / 874 = 108

 

Ответ: 58, 108

 

P.S.

 

вроде как перебор удалось свести к 0, зато немного с извращениями

Изменено 21 декабря, 2023 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

Вжух. Вот как легко ошибиться. 

3 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

То есть уже заканчивается на 92. Значит вторая цифра нашего числа может быть  только 0.

5   тоже может быть

[E.K.]

"Чьёрт побьери!" (с) - я второго решения тоже не заметил...

[E.K.]

Ну, ладно... В качестве "бонуса" давайте решим вот это тоже несложное:

 

Упростить выражение 1/2! + 2/3! + 3/4! + … + 99/100!

[Рогожников Евгений]

21.12.2023 в 13:55, E.K. сказал:

Упростить выражение 1/2! + 2/3! + 3/4! + … + 99/100!

Если сумма до (n-1) /n!, то она равна (n! -1) /n! 

 

Легко показать по индукции

[Fireman]

 

1 час назад, Рогожников Евгений сказал:

Легко показать по индукции

 

n/(n+1)! = [(n + 1) - 1]/(n + 1)! = (n + 1) / (n + 1)! - 1 / (n + 1)! = 1 / n! - 1 / (n + 1)!

1/2! + 2/3! + 3/4! + … + 99/100! = (1/1! - 1/2!) + (1/2! - 1/3!) + ... + (1/99! - 1/100!) = 1/1! - 1/100! = 1 - 1/100!

Изменено 23 декабря, 2023 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

Ну, или так 😅