Математическое и загадочное

[E.K.]

Но тогда со временем и при постоянном использовании (нагреве-охлаждению) камни должны колоться на более мелкие формы - а этого не происходит..

[E.K.]

Что-то про загадочный стук в сауне так и удалось получить убедительного объяснения... Ну, тогда задачка попроще. Даже очень простая ->

 

Однажды под Новый год админы фанклуба сошли с ума и накинули клубням новогодних баллов. Кому сколько - неизвестно. Кому-то одинаково, кому-то больше или меньше. Делиться информацией о своих баллах друг с другом фанклубни не желают, но им очень любопытно среднее значение - сколько в среднем получили клубни под Новый год. Как им это сделать?

 

Ещё раз. У нас есть N фанклубней, все получили новогодние баллы. Кому сколько досталось - неизвестно. Как не раскрывая никому размера своего бонуса узнать его среднее арифметическое?

[Fireman]

09.12.2023 в 21:27, E.K. сказал:

Но тогда со временем и при постоянном использовании (нагреве-охлаждению) камни должны колоться на более мелкие формы - а этого не происходит..

Зависит от типа камня, формы и т.д.

Разрушается любой камень, просто правильно подобранные камни смогут успеть пережить и сауну и банщика, а неправильные разрушатся буквально на глазах.

Поискал в интернете по фразу "за какое время разрушается камень в сауне от постоянных нагревов и охлаждений" (https://village-comfort.ru/vidyi-i-osobennosti-kamnej-dlya-bani/)

Как понимаю мелкие сколы и внутренние деформации могут происходить довольно долго

[Рогожников Евгений]

11.12.2023 в 14:13, E.K. сказал:

Однажды под Новый год админы фанклуба сошли с ума и накинули клубням новогодних баллов. Кому сколько - неизвестно. Кому-то одинаково, кому-то больше или меньше. Делиться информацией о своих баллах друг с другом фанклубни не желают, но им очень любопытно среднее значение - сколько в среднем получили клубни под Новый год. Как им это сделать?

 

 

Самое простое - попросить админа подсчитать. Он, ведь, и так знает, кому сколько быллов выдал.

 

Если же обходиться своими силами, то можно сделать нехитрую схемку:

- первый клубень генерирует случайное число R

- далее он прибаляет к R свои баллы и получает сумму S_1, которую тихо сообщает второму клубню

- второй клубень прибавляет к S_1 свои баллы и и получает сумму S_2, которую тихо сообщает третьему клубню

- и так далее, пока не дойдем до последнего клубня, который также прибавит к текущей сумме свои баллы и сообщит это число первому клубню

- первому клубню останется только вычесть из текущей суммы R и поделить итог на число клубней

 

 

Из тонких моментов  - на сколько вообще получится не делиться информацией о своих баллах. Сама по себе информация о среднем, это уже существенная информация. Зная ее в случае двух клубней мы вообще полностью узнаем их баллы. 

В более реалистичном случае придется уточнять кое какие детали. Например, резонно предположить, что число баллов (дензнаков) это положительное число, ограниченное неким N. И у нас N это миллион ( ну или миллиард в случае щедрого админа-олигарха  ).   Тогда будет тонкий момент с генерацией R. Если генерировать R тоже всегда положительным, то есть риск сгенерировать маленькое число. Например, 0. Тогда второй клубень узнает баллы первого с хорошим приближением. Так что надо позволить отрицательные значения. Зная N, также надо потребовать, чтобы по модулю R было более хотя бы 100N.  

 

Но еще лучше немного модифицировать алгоритм выше.  Можно генерировать R в диапазоне [0, N]

Первый клубень тогда делает XOR своих баллов с R. Таким образом, получая также случайное S_1.

прочие клубни складывают как и раньше.

Ну а на последнем шаге первый клубень из текущей суммы вычитает S_1, прибавляет свои баллы и делит на число клубней

Изменено 12 декабря, 2023 пользователем Рогожников Евгений

[E.K.]

Отлично! Тогда посложнее:

 

Всегда ли такие числа как ниже являются квадратами?

 

      49

    4489

  444889

44448889

… ... ... ...

4…48…89 = n чётверок, n-1 восьмёрок и девятка.

[E.K.]

Всем привет,

У меня новых задачек (спасибо друзьям-товарищам) - как раз до Нового года по одной штуке. Если за сутки никто не отвечает, то публикую решение. Согласны?

[Денис SimpleDen Лысенко]

12.12.2023 в 16:15, E.K. сказал:

Отлично! Тогда посложнее:

 

Всегда ли такие числа как ниже являются квадратами?

 

      49

    4489

  444889

44448889

… ... ... ...

4…48…89 = n чётверок, n-1 восьмёрок и девятка.

Добрый вечер!
 

Утверждение справедливо.

Разберём на примере числа 4444488889.
При умножении в столбик числа 66667 на число 66667 получаем, что для умножения необходимо вычислить сумму чисел 466669 + 4000020 + 40000200 + 400002000 + 4000020000, получим 4444488889.
Исходя из этого, можно сделать вывод, что при возведении в квадрат числа (n шестёрок)7 мы будем получать сумму чисел 4(n шестёрок)9 + сумма чисел: 4(n нулей)2*10(в степени от 1 до n).
Как там это правильно по формуле считать не помню , но  в итоге получаем (n+1четвёрок)(n восьмёрок)9.
 

[E.K.]

Верно, но можно и построже доказать.

 

49  = 7²
4489 = 67²                      
444889 = 667²
 
Предположение:

4…48…89  /* что есть {n чётверок, n-1 восьмёрок, 9}  */  = 

{n-1 шестёрок, 7}^2      (*1)
 
Мат-индукция. Требуется доказать, что это равенство справедливо и для "n+1":

{n шестёрок, 7}^2  =  44…488…89  /* {n+1 чётверок, n восьмёрок, 9} */
 
Поехали... Разворачиваем {n шестёрок, 7} в сумму 66...67 = 60...00 + 6...67 и возводим эту сумму в квадрат.
 

{n шестёрок, 7}^2 = ( {6, n нулей} + {n-1 шестёрок, 7}) ^2   =   // разворачиваем квадрат суммы двух чисел
 
36[2n нулей] +               // 600...0 * 600...0 = 3600...000...0
2 * {6, n нулей} * {n-1 шестёрок, 7} +    // это чуть муторно, будет ниже
{n-1 шестёрок, 7}^2      // а это по условию матиндукции (*1) есть {n чётверок, n-1 восьмёрок, 9}
 
Про "муторно":
 
{6, n нулей} * {n-1 шестёрок, 7}  =  600...0 * 6...67 =

     42 +
    360 +
   3600 +
36...00
------------
{4, n-1 нулей, 2}
 
Ещё не забыть про "2*" в начале и "n нулей" у первого множителя - получаем:
 
2 * {4, n нулей} * {n-1 шестёрок, 7}  = {8, n-1 нулей, 4, n нулей}
 
Теперь эти три каракатицы нужно сложить вместе столбиком:
 
    {36, 2n нулей}
+ {8, n-1 нулей, 4, n нулей}
    {n четверок, n-1 восьмёрок, 9}
 
Не, надо покрасивей нарисовать:
 
   {36,     n нулей,             n нулей}
+ {8,      n-1 нулей, 4,      n нулей}
   {         n четверок,        n-1 восьмёрок, 9}
-----------------------
= {44, n-1 четвёрок, 8, n-1 восьмёрок, 9}   = что есть {n+1 четвёрок, n восьмёрок, 9}
 
Всё. Немного длинней, зато "строже"

[Fireman]

2 часа назад, E.K. сказал:

Всё. Немного длинней, зато "строже"

 

Зайдем с другой стороны - немного боевого математического изврата:

 

 

4[4...4][8...8]9

[4...4] - n четвёрок

[8...8] - n восьмёрок

 

если воспользоваться тем, что

99...99 = 10ⁿ - 1

11...11 = (10ⁿ - 1)/9

 

можно записать в виде

 

4[4...4][8...8]9 =

4x10²ⁿ⁺¹+4x10ⁿ⁺¹x(10ⁿ-1)/9+8x10x(10ⁿ-1)/9+9 = 

40x10²ⁿ+40x10ⁿx(10ⁿ-1)/9+80x(10ⁿ-1)/9+9 = 

1/9 x (360x10²ⁿ+40x10ⁿx(10ⁿ-1)+80x(10ⁿ-1)+81) = 

1/9 x (360x10²ⁿ+40x10²ⁿ-40x10ⁿ+80x10ⁿ-80+81) = 

1/9 x (400x10²ⁿ+40x10ⁿ+1) = 

1/9 x (20²x10²ⁿ+2x20x10ⁿ+1) = 

1/9 x ((20x10ⁿ)²+2x(20x10ⁿ)+1) = 

1/3² x (20x10ⁿ+1)² = 

((20x10ⁿ+1)/3)² 

Изменено 13 декабря, 2023 пользователем Fireman

[E.K.]

9 minutes ago, Fireman said:

немного боевого математического изврата:

Ооо.... Охренеть можно... Такого в моей практике ещё ни разу не было...

[E.K.]

Ну, ладно. Есть ещё несколько задачек - достаточно простых, где-то на уровне 6А+ (в смысле школьного класса обучения), - задачек простых, но весьма забавных. Вам сначала покажется, что в условии задачки чего-то не хватает. Но внимательно приглядевшись своими мозгами к условиям этих задачек, всё становится практически очевидно.

 

В купленном лотерейном билете сумма цифр его шестизначного номера (цифры от 0 до 9) оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, ведь мой сосед без труда решил эту задачу.

[Рогожников Евгений]

3 часа назад, E.K. сказал:

В купленном лотерейном билете сумма цифр его шестизначного номера (цифры от 0 до 9) оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, ведь мой сосед без труда решил эту задачу

 Ответ 999999

В самом деле. Сосед, конечно, знает свой возраст. Так что он знает сумму цифр номера. Но раз из этой информации он получил сам номер, то с такой суммой есть только один номер. Но тогда в это  номере все цифры равны, иначе их можно переставить , что даст другой номер и не изменит суммы. Если эта цифра 0, то сосед не смог бы решить задачу. Если цифра 9, то это даёт максимально возможную сумму. Такой билет один. Т. Е это решение. Если цифра другая, то это не 0 и не 9. Но тогда возьмём другой номер, у которого в  первой позиции цифра на 1 больше, а в последней на 1 меньше. Сумма та же, а номер другой

 

 

[E.K.]

OK, вот ещё простая для утренней разминки умов:

 

В ряд стояло 10 детей. Каждый ребёнок отдал по ореху каждому из стоящих правее его. После этого у девочек стало на 25 орехов больше, чем было. Сколько в ряду девочек?

[Fireman]

12 часов назад, Рогожников Евгений сказал:

Ответ 999999

 

Что-то меня тянет на извраты сегодня 

 

То, что сосед без труда решил эту задачу означает, что для его возраста полученный вариант был единственным. Попробуем найти такой вариант.

Задача схожа с задачей об определении вероятности выпадения некоторого числа при бросании N кубиков с M гранями. В нашем случае у нас 6 кубиков с 10 гранями.

Миром правит нормальное распределение и здесь оно тоже немножко присутствует.

 

 

Вообще такая задача сводится к нахождению коэффициентов у выражения

 

(1+x+ x² + x³ +...+ x⁹)⁶

 

И получаем, что единственные числа перед которыми стоит коэффициент 1 - это x⁰ и x⁵⁴

Поскольку билета 000000 нет, остаётся единственный ответ - 999999, т.е. 54 года.

 

Изменено 14 декабря, 2023 пользователем Fireman

[E.K.]

51 minutes ago, Fireman said:

Вообще такая задача сводится к нахождению коэффициентов у выражения  (1+x+ x² + x³ +...+ x⁹)⁶

Это как?...