Математическое и загадочное

[Рогожников Евгений]

Про карточки напишу только основные тезисы. Если брать две карточки из наших, то  суммы будут составлять множество всех чисел из диапазона( 2N+1) и (4N-1) .  Так как N больше 100, то разность квадратных корней этих чисел больше 5. Значит, в этом диапазоне 5 квадратов. 

 

Для решения достаточно найти 3 карточки таких что сумма чисел любых двух есть квадрат. В самом деле, если мы разделим всё карточки на две группы, то в одной из них будут наши две. 

 

Самое муторное  показать, что такие 3 карточки существует. У меня короткого доказательства нет

[Fireman]

Шарик с гелием

 

 есть 2 объяснения, но по сути крутятся они около одного и того же

 

Объяснение 1:

 

Задача решается через Общую Теорию Относительности 😱 и принцип эквивалентности [...сил гравитации и инерции], который гласит, что "гравитационная и инертная массы любого тела равны". Это тот самый лифт от Альберта Эйнштейна или ракета (в современной школе), внутри которой непонятно и не существует никакого способа определить двигается ли тело ускоренно или находится на планете с определённой гравитацией.

 

В данном случае сила гравитации действует вниз (9,8м/с²), а машина ускоряется вперёд (100км за 5 секунд - это 5,6м/с²), таким образом ситуация эквивалентна нахождению на планете с ускорением свободного падения 11,3м/с², но направленной не вниз, а вниз и назад под углом ~30^o. 

 

В результате задача сводится к обычной задаче, в которой картина примерно такая:

 

Т.е. машина стоит под наклоном, а шарик с гелием, поскольку он легче воздуха просто всплывает вверх как ему и положено.

Просто в новой системе этот "верх" направлен под углом 30^o

 

Объяснение 2:

 

Инерция работает на все объекты в машине и когда машина газует вперед, то всё, что не прибито (да и то, что прибито) начинает оттягиваться назад, в том числе и гелий (в шарике) и воздух (в салоне автомобиля), но воздух (кислород и азот) более тяжёлые, чем гелий и они просто гелий ВЫДАВЛИВАЮТ от задней стороны автомобиля, так что шарик перемещается вперед к лобовому стеклу (если не закреплён).

 

Тут опять же аналогия с ванночкой с легким шариком и наливая воды, шарик просто всплывает вверх. А тут наливают воздух к стенке и шарик всплывает в противоположную сторону.

[Fireman]

Задача с 2 шариками (легким от настольного тенниса) и тяжёлым (от челябинского пинг-понга)

 

Тут главное понимать, что правая и левая часть не эквивалентны, поскольку в левой части легкий шарик прикреплен к сосуду и является частью системы, а в правой части тяжелый шарик не прикреплен к сосуду и не является частью системы.

Можно расписать все силы и решить по науке, но можно сделать попроще, переведя данную систему в эквивалентную, но более простую:

 

Левый сосуд с закреплённым шариком:

По сути можно говорить, что шарика там нет, а есть пузырь с воздухом.

Поскольку шарик закреплён намертво и из воды никогда не выплывет, то можно упростить еще сильнее левую часть системы и говорить, что это сосуд, наполненный некоторой жидкостью с плотностью, меньше чем у воды (для удобства можно считать, что ρ < 1 (если шарик большой и заполненный гелием, то средняя плотность сосуда с водой и шариком может стать меньше плотности воздуха и сосуд улетит :)) .

 

Правый сосуд с подвешенным шариком на внешнем креплении:

По сути можно говорить, что шарик плавает в сосуде в равновесии (т.е. не тонет и не всплывает). Так можно говорить именно потому, что крепление ВНЕ СИСТЕМЫ. А значит правый сосуд можно упростить до сосуда в котором у шарика плотность жидкости в которой шарик плавает, т.е. плотности воды и ρ = 1.

 

Учитывая, что уровень воды в двух сосудах одинаковый значит правый сосуд тяжелее левого сосуда и весы должны левую часть поднять, правую опустить.

 

P.S.

 

если расписать силы в правом сосуде, то там с одной стороны сила Архимеда, с другой - давление на дно сосуда, все компенсируется и получаем что получаем.

 

Вроде так.

Dixi

 

Но не ругайте сильно - у меня физика была последний раз лет 20 назад

[Fireman]

Задача про канистры

 

Представим, что у нас уникальный автомобиль - он умеет ездить в кредит и даже когда на бензобаке 0, то автомобиль едет дальше (стрелка уровня топлива просто опускается ниже нуля😞

 

 

Дальше выбираем любое место на треке где стоит канистра, заправляемся и стартуем.

График расхода бензина будет выглядеть примерно так:

 

 

 

В начале движения (начало графика) уровень бензина 0.

При заправке уровень бензина вертикально возрастает.

При движении уровень бензина линейно падает.

Поскольку бензина в канистрах ровно на прохождение одного круга, то к концу круга бензина у нас не будет (конец графика)

 

А теперь найдём на графике самую нижнюю отметку уровня бензина. Она естественно будет рядом с некоторой канистрой.

И вот именно с этого места и будем стартовать. В результате график уровня бензина никогда не пересечёт 0 отметку.

 

 

Таким способом можно показать, что место старта с которого незаправленная машина может доехать до финиша существует всегда.

[Fireman]

Задача про выпуклый многогранник:

 

Задачу можно решать расписывая разные математические формулы, делая разные рисунки и прийти в конце концов к некоторому противоречию, взаимоисключающим выкладкам.

Но можно зайти с другой стороны  
 

Изменено 26 ноября, 2023 пользователем Fireman
просьба не публиковать :)

[Fireman]

задача про суммы и полные квадраты

 

Задача в общем (как мне кажется) не сложная, но предполагает проведение некоторого исследования.

Я постараюсь написать поподробнее, но думаю все таки не очень сложно будет

 

Часть 1:

 

Тут поможет принцип Дирихле (как писалось выше) - "Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика."

 

У нас две колоды карточек и необходимо доказать, что хотя бы в одной из них найдется два числа сумма которых является полным квадратом.

Если найдется три числа попарно дающие полные квадраты, то это гарантирует, что хотя бы в одной колоде окажется 2 их 3 таких чисел (принцип Дирихле), которые в сумме и дадут квадрат.

 

Это лишь частный случай (об общем в конце)

 

Часть 2:

 

Чтобы понять, что представляют собой такие числа можно попробовать найти такие числа a, b, c среди карточек от 100 до 200 включительно.

1) поскольку все числа разные, и a < b < c, то три суммы также будут разными и a + b < a + c < b + c

2) числа от 100 до 200 дадут суммы в диапазоне от 100 + 101 = 201 до 199 + 200 = 399 - [201, 399]

3) в указанном диапазоне лежат полные квадраты 15², 16², 17², 18², 19²

4) составим простую систему уравнения:

 

a + b = x²

a + c = y²

b + c = z²

 

Если сложить все 3 уравнения, то получим:

2(a + b + c) = x² + y² + z²

 

5) таким образом сумма трёх квадратов должна быть чётным числом, а значит возможны только следующие варианты:

 

15, 16, 17

15, 16, 19

15, 17, 18

15, 18, 19

16, 17, 19

17, 18, 19

 

может можно больше сократить кол-во случаев, но я поленился думать

 

6) решим теперь систему из 3х уравнений и найдем a, b, c:

 

a = (x² + y² - z²) / 2

b = (x² - y² + z²) / 2

c = (- x² + y² + z²) / 2

 

и проверим 6 выявленных случаев, отбросим решения в которых a < 100 и c > 200,

 

7) в результате останется только 1 вариант:

 

a = 126

b = 163

c = 198

 

которые дают квадраты 17, 18, 19

 

8 ) отсюда можно выдвинуть одну гипотезу - попробовать рассмотреть такие числа, которые дают квадраты вида x² ,  (x + 1)² , (x + 2)²

 

 

Часть 3:

 

1) рассмотрим числа a и c (промежуточное число b нам не нужно), чтобы выявить некоторые граничные условия

 

a = (x² + y² - z²) / 2

c = (- x² + y² + z²) / 2

 

y²=(x + 1)²

z²=(x + 2)²

 

откуда

 

a(x) = (x² - 2x - 3) / 2

c(x) = (x² + 6x +5) / 2

 

2) рассмотрим условие a(x) >= N,  c(x) <= 2N, которое по условию задачи обязано выполняться всегда, тогда

 

2 * (x² - 2x - 3) >= (x² + 6x +5)

x² - 10x - 11 >= 0

 

Данное неравенство выполняется при x >= 11 (и x <= -1, но отрицательные числа нам не нужны)

 

3) откуда получаем, что первый раз когда найдется 3 удовлетворяющих нас числа a, b, c - при x = 11, y = 12, z = 13

 

а значит 

a = 48, b = 73, c =  96

 

Видно, что это условие предельное, поскольку c = 2 * a и для диапазона [49, 98] нужной тройки чисел может не быть

 

4) чтобы ГАРАНТИРОВАННО получить тройку a, b, c, которая будет давать квадраты всегда необходимо более жёсткое условие, а именно:

 

2 * a(x) >= c(x + 2)

 

это гарантирует отсутствие полученного выше предела, когда a и c поджимают с боков диапазон значений

 

откуда

 

a(x) = (x² - 2x - 3) / 2

c(x + 2) = (x² + 10x + 21) / 2

 

2 * (x² - 2x - 3) >= (x² + 10x + 21)

x² - 14x - 27 >= 0

 

Данное неравенство выполняется при x >= 16,

но поскольку мы ищем три последовательных квадрата и два из них обязаны быть нечётными (сумма трех квадратов - чётное число как было показано в самом начале), то нам нужно x >= 17

 

5) откуда получаем, что начиная с N = 99 (c / 2) всегда найдутся 3 числа в диапазоне от N до 2 * N, попарно дающие полные квадраты

 

ДОКАЗАНО.

 

P.S.

 

На самом деле достаточно не трех чисел попарно дающих, а цепочку из чисел a-b-c-....-z-a которые только в паре дают полный квадрат (т.е. a-b, b-c, c-d, d-e и т.д.), причём чисел должно быть нечётное кол-во (тогда тоже срабатывает принцип Дирихле и гарантированно в одной из колод оказываются 2 карточки с числами из хотя бы одной указанной пары) 

 

например для N = 101 такая цепочка будет содержать числа 159 - 130 - 126 - 198 - 202 - 159

 

P.P.S.

 

Вообще до N=100 существуют лишь следующие N в которых есть 3 искомых числа:

 

48, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 99, 100, 

 

P.P.P.S.

 

Предложенный способ не единственный и можно найти такие a(x), b(x), c(x), которые в сумме будут давать квадраты в общем виде и плясать от этого. Сразу можно сказать, что в зависимости будут квадратные, например:

 

a = 2*x²–2
b = 2*(x+1)²+1
c = 2*(x+2)²–2

 

P.P.P.P.S.

 

Решения вида  x² ,  (x + 1)² , (x + 2)² не единственные, есть и другие вида x² ,  (x + m)² , (x + n)², но для x² ,  (x + 1)² , (x + 2)²  получается самое простое решение и оно работает как и требовалось с N >= 100

 

Изменено 26 ноября, 2023 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

Да. С шариком для пинг- понга лопухнулся я. 

[Рогожников Евгений]

26.11.2023 в 01:54, Fireman сказал:

Задача про выпуклый многогранник:

 

Задачу можно решать расписывая разные математические формулы, делая разные рисунки и прийти в конце концов к некоторому противоречию, взаимоисключающим выкладкам.

Но можно зайти с другой стороны  

Кажется, я нашёл эту другую сторону. Если бы такой многоугольник был, то мы бы получили Вечный двигатель. Положили бы его на стол и он катился бы до бесконечности

[Fireman]

1 час назад, Рогожников Евгений сказал:

Кажется, я нашёл эту другую сторону

 

Доказательство теоремы Нётер требовать не буду

 

Другая сторона найдена верно 👍 - если проекция от центра масс на грань/сторону (3D/2D случай) лежит не на этой грани/стороне, то такое положение неустойчивое и объект должен "перекатиться", а поскольку ни одного устойчивого положения по условию задачи нет, то будет он перекатываться вечно.

 

 

Изменено 7 декабря, 2023 пользователем Fireman

[E.K.]

3 hours ago, Рогожников Евгений said:

Если бы такой многоугольник был, то мы бы получили Вечный двигатель.

Осталось доказать противоречие Вечного двигателя...

[Рогожников Евгений]

20 часов назад, E.K. сказал:

Осталось доказать противоречие Вечного двигателя

Справедливо. В данном частном случае заметим, что с каждым перекатом расстояние от центра масс до стола строго убывает. А раз граней(сторон) конечно, то за конечное число перекатов получим повтор и придём к противоречию. 

[E.K.]

Ну, просто супер! Вроде все задачки порешали. "Властью, данной мне мной" объявляю самыми элегантными решениями 1) "центр тяжести смещается вниз" и 2) шарик с гелием в наклонённой машине.

 

И помогите уже мне ответить на вопрос моих детей:

 

Почему металлический ящик с камнями, который греет сауну, постоянно трещит и постукивает?

[Fireman]

 

4 часа назад, E.K. сказал:

Почему металлический ящик с камнями, который греет сауну, постоянно трещит и постукивает?

 

Знать бы как еще этот ящик с камнями выглядит

 

Но что-то мне подсказывает, что механизм тот же, что и у звука шара, который катают соседи по вечерам в многоэтажках. Идёт постоянный процесс нагрева камней и их охлаждения (когда на камни выливают воду), что в свою очередь ведет к их расширению и сжатию. Камням это не нравится, поэтому они скрепят. Из-за изменения размера и формы камней из-за тепловых деформаций камни немного смещаются и задевают стенки ящика, отсюда и постукивание.

 

Поскольку камни - структуры неоднородные, то при изменении размера разные слои (и вкрапления) трутся друг о друга, откуда и возникает треск.

 

 

 

Изменено 8 декабря, 2023 пользователем Fireman

[E.K.]

11 hours ago, Fireman said:

Знать бы как еще этот ящик с камнями выглядит

Как это?? В баню/сауну надо регулярно!

Вот так примерно выглядит:

 

11 hours ago, Fireman said:

Поскольку камни - структуры неоднородные, то при изменении размера разные слои (и вкрапления) трутся друг о друга, откуда и возникает треск.

Но звук какой-то металлический.. А камни вроде не такого значительного размера, чтобы так громко стучать и трещать.

[Swift]

23 часа назад, E.K. сказал:

Почему металлический ящик с камнями, который греет сауну, постоянно трещит и постукивает?

Как подсказывают интернеты, камень щелкает — это звук разрыва внутри камня. Значит, в нем накопилось внутреннее напряжение, которое закончилось разрывом.

Взрываются и щелкают камни, которые уже имеют сильную трещиноватость. Такой камень независимо от породы каменщики называют «старым». Он легко рассыпается от несильных ударов. Проверить лучше заранее.

Второй вариант, при котором камни взрываются и щелкают — это когда они сложены минералами с разным тепловым расширением. То есть один расширился больше, другой меньше, возникло внутреннее напряжение и оно спадет, если образуется трещина, разрыв.