Математическое и загадочное

[Рогожников Евгений]

19 часов назад, E.K. сказал:

Например, если искать решения в натуральных числах, т.е. пусть {a,b,c,d} – натуральные.

Не. Не получится. Там в решении корни вылазят. Хотя сам ответ и натуральное число. 

Я погуглил решение. Думал, вдруг, есть что то красивое. В целом, идея похожа на мою. Но они решают в общем виде. Доводят до параллелограмма, а не квадрата. Берут не длины сторон, а отношения, в которых их делят вершины красного квадрата. Далее пишут уравнения аналогичные моим, но вместо конкретной площади оранжевого треугольника используют S. По честному решают громоздкое квадратное уравнение 😅 и получают не такой уж и простой ответ с корнями, выражающий S через площадь X красного треугольника. 

 

S = sqrt(5X^2  -4X) 

 

[E.K.]

Чьёрт.. Я же сторонник не слишком архи-сложных задач, которые при этом имеют красивое решение. Боюсь, что источник этой задачки попадает в категорию "недоверенных"...

[Рогожников Евгений]

Мне задача понравилась. И она не такая уж и сложная оказалась. Цифры, только не сократились. 

 

У меня тут дети в школе. Их стали олимпиадами грузить. И я удивился уровню задач для 5 класса. Думал, что сходу их решу. Но закопался. Разучился быстро решать. Мне теперь надо походить, обдумать 😂

[E.K.]

Эээ! Там такие сейчас задачки бывают, что даже со второго-третьего прочтения не сразу понимаешь условия.. У меня года два-три назад здесь такое пролетало. Увы, занят фотками Китая (октябрь), пока некогда..

[Fireman]

25.10.2023 в 17:51, Тим 2 сказал:

Нет вероятно, при n  равном первому числу прогрессии число будет составное.

это частный случай

вопрос стоит в том может ли вообще существовать такая прогрессия

 

например есть вот такая интересная арифметическая прогрессия:

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n

 

 

 

06.11.2023 в 19:37, Рогожников Евгений сказал:

По честному решают громоздкое квадратное уравнение

ну не такое уж и громоздкое квадратное уравнение

5x^2 - 4x - 2584^2 = 0

 

[Fireman]

06.11.2023 в 19:37, Рогожников Евгений сказал:

Я погуглил решение. Думал, вдруг, есть что то красивое. В целом, идея похожа на мою. Но они решают в общем виде. Доводят до параллелограмма, а не квадрата. Берут не длины сторон, а отношения, в которых их делят вершины красного квадрата. Далее пишут уравнения аналогичные моим, но вместо конкретной площади оранжевого треугольника используют S. По честному решают громоздкое квадратное уравнение 😅 и получают не такой уж и простой ответ с корнями, выражающий S через площадь X красного треугольника. 

 

при решении в лоб получается 3 уравнения с 4 неизвестными:

xz+yw+yz=5168

xw+xz-yz=2

yw-xz=2

 

если дальше мучаться, то из такой системы можно выразить скажем x, y, z через w и получить:

x = 884/w

y = 1430/w

z = 21w/13

 

для выражения с z вспоминаем основную теорему арифметики из которой следует, что w=13k откуда

x = 68/k

y = 110/k

z = 21k

из уравнений для x и y следует, что k = 1 или 2 (НОД(68, 100) = 2), откуда получаем x, y, z, w и площадь искомого треугольника в 1156.

 

Причем не имеет значение через что выражать 3 неизвестных, через x, y, z или w - будут получаться схожие уравнения.

 

Но на мой взгляд это попахивает математическим извратом, пусть и красивым

 

Если же подойти с другой стороны... 

 

у нас есть 3 уравнения и 4 неизвестные, чтобы избавиться от 1 неизвестной нужно какое-то преобразование и тут как раз переход к отношениям площадей треугольников является очень хорошим шагом:

в результате вместо того, чтобы работать с 4 расстояниями и 3 уравнениями мы работаем с 3 площадями и 3 уравнениями.

 

конечно в конце придётся решить одно квадратное уравнение приведённое в предыдущих постах, но калькулятор есть сейчас даже в холодильнике

 

P.S.

Несложно решать было бы схожую задачу, где вместо 2584 было бы... 8 (квадратное уравнение можно было бы решить даже в уме)

Причём и сама задача решалась бы тогда другим способом, а именно - решением в лоб и выводом свойства, что

 

2*S_оранж / H - натуральное число (H - высота прямоугольника)

 

откуда сразу же вытекает, что H или 2 или 4 с последующей проверкой на целочисленность площадей треугольников и получения ответа S = 4.

 

Аналогично решением частного случая "в уме" можно было бы для случая когда вместо 2584 было бы 55.

 

Для 2584 можно было бы также поиграться с перебором, но для этого потребовалось бы попробовать 18 вариантов (на 9ом уже всё получилось бы)

Изменено 11 ноября, 2023 пользователем Fireman

[Рогожников Евгений]

Очень рад возвращению Fireman

Всегда восхищаюсь вашим умением сложные вещи объяснить просто

[Fireman]

Встретил тут задачку, которую можно решить методами 6 класса (хотя в общем решении используются более серьезные подходы):

 

Цитата

 

Дано натуральное число N > 100. 

На колоде из N + 1 карточек записываются последовательные числа от N до 2N включительно.

Затем колода тасуется и делиться на 2 равные колоды по N карточек.

Доказать, что хотя бы в одной из двух колод найдутся две карточки сумма чисел на которых даст полный квадрат.

 

 

Подсказка: думайте о кроликах и клетках 😉

 

 

И в тему красивых решений - есть 2 задачки (возможно они были раньше, так что извиняюсь, если повторю):

 

Цитата

Возможно ли построить такой многоугольник, перпендикуляр из центра масс на любую сторону которого лежит вне этой стороны.

 

Пример:

 

 

 

Подсказка:

 

 

Цитата

 

На кольцевом автодроме вдоль кольца случайным образом расставлены канистры со случайным объёмом бензином общего объёма которого во всех канистрах хватит, чтобы машина проехала ровно круг.

Всегда ли найдётся такое место старта, что изначально незаправленной машине хватит бензина с канистр, чтобы завершить круг (т.е. надо проехать до канистры, заправиться, доехать до следующей, заправиться и т.д.)?

 

 

Подсказка:

 

 

[Fireman]

25.09.2023 в 18:24, E.K. сказал:

Если бы существовали арифметические прогрессии простых чисел, то никто бы не мучился с поиском очередных очень больших простых чисел.

тем не менее в 2004 году была доказана Теорема Грина — Тао, которая утверждает, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии любой конечной длины!!!

В 2019 году была найдена последовательность, содержащая целых  27 простых чисел (https://oeis.org/A327760)

Наверное поиск таких последовательностей еще сложнее поиска просто больших простых чисел.

 

[Рогожников Евгений]

23 часа назад, Fireman сказал:

На колоде из N + 1 карточек записываются последовательные числа от N до 2N включительно.

Затем колода тасуется и делиться на 2 равные колоды по N карточек.

Нет ли опечатки? Карточек N+1, разбили на 2 колоды по N

23 часа назад, Fireman сказал:

На кольцевом автодроме вдоль кольца случайным образом расставлены

Эту знаю. 

[Fireman]

4 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

Нет ли опечатки? Карточек N+1, разбили на 2 колоды по N

Да, опечатался, но в другом месте - разделили на 2 колоды, т.е. числа c N до 2N включительно, т.е.  N +1 чисел, а вот колода разделена на 2 колоды случайно (из условия надо убрать слово "равные")

[E.K.]

А вот ещё очень красивая задачка, которую подцепил на просторах интерентов:

 

// Сам в решениях предыдущих принимать участия не могу, поскольку график плотный...

[Fireman]

12 часов назад, E.K. сказал:

А вот ещё очень красивая задачка, которую подцепил на просторах интерентов:

 

тут в дело включается сила Архимеда

осталось только разобраться в каком из сосудов - где крепление шарика (и соответственно сам шарик) является частью системы или где крепление шарика и сам шарик не являются частью системы.

 

К этой же задаче можно вспомнить задачу с шариком с гелием - почему при старте машины он прижимается вправо, что за антигравитация на него действует

 

 

 

Изменено 20 ноября, 2023 пользователем Fireman

[E.K.]

Да, шарик с гелием ещё то чудо, но вполне физически объяснимое.

 

Поскольку народ что-то от сложности задач совсем ушки прижал, а у меня график неожиданно жёсткий, то предлагаю опубликовать решения про 1) треугольник с центрами тяжестей; 2) канистры по гоночной трассе; 3) колоды карточек с цифрами; и объяснить 4) про воду и шарики и 5) про шарик с гелием - там на удивление простые ответы! Давайте посоревнуемся какой ответ будет самым простым

 

А далее ответить на вопрос, который мне в сауне задали мои дети:

 

Почему металлический ящик с камнями, который греет сауну, постоянно трещит и постукивает?

[Рогожников Евгений]

График тоже тяжёлый. Пока не дошёл до центра тяжести. Кажется, что несложная. Про карточки решил. Несложная, но решение долго писать. Лень

 

Канистры легко по индукции. Для одной заправки очевидно. Далее, чтобы сделать шаг индукции для N+1 заметим, что найдётся заправка в которой хватит бензина чтобы доехать до соседней. Тогда обьеденим эти заправки в одну и сведем к N заправкам. Там можно найти путь в силу индукции. Он подойдёт и для нашего случая с N+1

 

Про воду и шарики. Будет равновесие. Очевидно если вспомнить что такое Сила Архимеда. Высота воды в обоих чашах одинакова. Значит, давление на дно одинаково. Но площадь дна тоже одинакова. А вес есть давление умножить на площадь

 

Шарик с гелием. Тут тоже на понимание силы Архимеда. Но контринтуитивно. Помню мы как то на пьянке эту задачу обсуждали. Всплыло это решение. Но нашлись люди, которые так и не поверили в него. Было заключено пари на бутылку коньяка. Пари было решено личным проведением эксперимента 

Прошу пока не публиковать решение про центр тяжести