Математическое и загадочное

[Рогожников Евгений]

02.10.2023 в 19:13, E.K. сказал:

Может ли иррациональное число в степени иррационального числа быть рациональным?

 

Прошло, наверно, достаточно времени.

 

Сначала, очевидный пример.  Берем число a = sqrt(2). Известно со времен Пифагора, что оно иррационально.  Рассмотрим a^a. Оно либо рационально и задача решена. Либо оно иррационально. Но тогда рассмотрим a^(a^a) = 2.

 

 

Ну а, если взять более общий случай, то интуитивно очевидно, что почти всегда у нас иррациональное число в степени иррационального числа тоже будет иррациональным.

 

Пусть у нас A трансцендентное число. Т.е такое число, которое не является корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Пусть B рациональное и не равно 0

Рассмотрим число C = log_A(B). 

Предположим, что C - рациональное число , т.е C = p/q,

 

Но тогда A^(p/q) = B, и тогда 

 A^p = B^q.   Т.е A будет корнем многочлена с целыми коэффицуиентами  - x^p - B^q

Значит, A - не будет трансцендентным. А это противоречие

 

Получается, что C - иррационально

 

А это дает нам легкий способ получить кучу примеров для нашей задачи.

В качестве A можно взять e. 

В качестве B - любое рациональное.  Тогда C = ln(B) - иррационально

 

 

[E.K.]

Всем привет, я не забыл про задачки - просто октябрь какой-то уж слишком замороченный получился... Тем более нет времени включать мозг на полу-подсказки. Посему - а можно подробней вот про это:

On 06.10.2023 at 15:09, Рогожников Евгений said:

Но тогда рассмотрим a^(a^a) = 2.

 

[Рогожников Евгений]

11 часов назад, E.K. сказал:

Посему - а можно подробней вот про это

Сложно в телефоне набрать. Вот картинка

[E.K.]

А! Чьёрт, не догадался скобки поправить: (a^a)^a <- вот так правильно.

[Тим 2]

24.09.2023 в 20:09, E.K. сказал:

Вот совсем простенькая задачка на 5 минут максимум:

 

Существует ли арифметическая прогрессия, состоящая только из простых чисел?

Нет вероятно, при n  равном первому числу прогрессии число будет составное.

А формула простого числа это похоже какая-то сложная функция, так как простое число задано реккурентно из множества простых меньших данного. Для чисел фиббоначи например эта функция - экспонента. 

Может у Эллера можно найти намёки на решение (в эллиптических кривых или где там) или прикладной характер задачи понять чтобы она не имела абстрактный характер.

[santax]

Ну примерно вот так у меня получилось. Хотя сначала хотел через делимость на 2 и 3 расписать. Этот вариант попроще)

 

[E.K.]

Только что вернулся домой после почти месяца в пути. Работой важной и нужной завалило по уши на неделю как минимум, плюс про Тайланды-Китаи надо рассказы рассказывать. Посему, на решение задачек у меня времени, скорее всего, почти не будет. А их мне тут накидали некоторое "рациональное" количество. Например,

 

Есть вот такой параллелограмм. Площади красного, желтого, зеленого треугольников являются последовательными натуральными числами (именно в таком порядке). Чему равна площадь красного треугольника, если площадь оранжевого равна 2584?

Удачи!

[Рогожников Евгений]

22 часа назад, E.K. сказал:

Чему равна площадь красного треугольника, если площадь оранжевого равна 2584

 

Формулировка задачи дает решающую подсказку, что ответ не зависит от формы параллелограмма. Т.е для прямоугольника будет тот же ответ.

 

Доказательство этого факта простое. Зафиксируем основание параллелограмма - оно нам будет задавать горизонтальное напраление. Все остальные точки плоскости будет двигать горизонтально, не меняя расстояния вдоль горизонтали. Площадь паралеллограмма при таких манипуляциях не изменится, ведь она равна произведению длины основания ( которое не меняется) на высоту, которая тоже не меняется.Аналогично не меняются площади желтого и красного треугольника. У них нижние стороны лежат на не меняющемя основании, а высота также не меняется. Для зеленого треугольника аналогично. Его верхняя сторона, хотя и движется, но длина не меняется. А нижняя вершина движется горизонтально - значит, расстояние до верхней стороны (т.е высота треугольника) тоже не меняется.

 

 

Так что решать надо для прямоугольника. Тут удалось решить. Довольно несложно если рассматривать действия. Однако, приходится оперировать с огромными цифрами. В результате получилось квадратное уравнение с очень большими коэффициентами. И дискриминант не квадрат. Подозреваю, что где то закралась ошибка. Ну, или, прсото ответ такой некрасивый.

 

Также есть подозрение, что можно найти более изящное решение. Буду над этим думать

Изменено 30 октября, 2023 пользователем Рогожников Евгений

[E.K.]

Точно! Квадрат же! Просто его положили на пол и смотрим мы на него под углом   А также помимо 3n+3+2584 = x² никак не учитывается порядок разноцветных треугольников... Наверное, жёлтый = x²/4 (так на картинке). То есть,

 

3*x²/4 -1 +1 + 2584 = x²

3*x² + 4*2584 = 4*x²

4*2584 = 4*8*17*19 = x²

 

Не, ерунда какая-то... Значит, красный и жёлтый сходятся не точно посередине.

 

UPD: Ааа! Посередине! Площадь красного равна:

 

x²/4 -1 = 2584 - 1 = 2583.

 

Вроде всё...

[Рогожников Евгений]

59 минут назад, E.K. сказал:

Точно! Квадрат же!

 

С квадратом не понял. Можно пояснить? Просто было найдено какое то решение? Или получено полное решение?

 

Для прямоугольника я привел доказательство , что площади не поменяются. Но для квадрата это не работает.

 

С другой стороны, когда я получал квадратное уравнение, то у меня было изначально 4 неизвестных: стороны прямоугольника a и b. а также катеты красного теругольника x и y.

Далее было 3 соотношения:

1) площади красного + 1 = площадь желтого

2) площади желтого+ 1 = площадь зеленого

3) площадь оранжевого = площадь пярмоугольника - площади красного, жедтого и зеленого

 

Хотя для 4-х неизвестных при 3-х уравнениях может быть много решений. Однако, тот факт, что нам нужно найти x*y  позволил на это произведение получить квадратное уравнение.  

 

Так что, если для квадрата удалось найти раскладку, то решение найдено. Но это, похоже, удача.

Ну и, у квадратного уравнения таки 2 корня. Так что может быть еще одно решение (теоретически, если второй корень будет положительным числом)

 

Так что, есть еще над чем подумать

 

[E.K.]

Так всё равно вроде разницы никакой - будь это x^2 или а*b. Вот, если посмотреть на прямоугольник:

Середина нижней грани - вроде как бы очевидная середина. Тогда площадь жёлтого = ab/4. Сумма красный-жёлтый-зелёный, да плюс известная площадь среднего =

 

3ab/4 + 2584 = ab

 

Искомая площадь красного = по условию "площадь жёлтого" - 1 = ab/4 - 1 = 2584 - 1 = 2583.

 

Вроде всё верно.. Но глаза всё равно не верят. Где же там собака порылась?...

[santax]

Ничего не понял, но очень интересно) в данном случае я понял, что рассмотрели очевидный вариант, когда параллелограмм - квадрат?

[E.K.]

Не, не может жёлтый треугольник упираться в середину нижней грани...

Если это так, то размер красного = b/2 * (a/2 - некое x)/2

Размер оранжевого = 2584 = ab - сумма трёх последовательных натуральных чисел, то есть минус три жёлтых = ab - 3*ab/4 = ab/4

 

Но получили, что размер красного на 1 меньше оранжевого. Т.е.

 b/2 * (a/2 - x)/2 = ab/4 - 1

 ab/8 - bx/4 = ab/4 - 1

 ab + 2bx = 8

- что есть очевидная неправда.

 

То есть, нижняя точка схождения цветов - точно не посередине..

[Рогожников Евгений]

удалось свести задачку к квадрату.

 

Как от параллелограмма перейти к прямоугольнику я расписал в предыдущем сообщении. Там фиксировалось нижнее основание, а все отсальные точки двигались по горизонтали.

 

Пусть теперь у нас есть прямоугольник. Тогда если по горизонтали растянуть в X раз, а по вертикали сжать в X раз, то площади всех фигур не изменятся. Так что от прямоугольника мы и прийдем к квадрату.

 

К сожалению, ситуация с квадратным уравнением не улучшилась. Там все уравнения простые, но числа большие и некрасивые.

приведу все же эти соображения

 

Итак. У нас есть квадрат со стороной X.  Пусть стороны красного треугольника A и B.

 

Тогда имеем уравнения.

так как площадь желтого треугольника равна площади красного + 1, то ( сразу домножаю на 2, так как площадь треугольника это половина. т.е площадь красного AB/2)

 

X(X-A) = AB + 2

отсюда  уравнение 1:   AX = X^2 - AB - 2

 

аналогично, так как площадь зеленого треугольника равна площади красного + 2

уравнение 2:   BX = X^2 - AB - 4

 

Перемножим уравнения 1 и 2 и получим

уравнение 3: X^2 * AB  = (X^2 - AB - 2)(X^2 - AB - 4)

 

 

Ну и, наконец, у нас задана площадь оранжевого . Она получается если из площади квадрата вычесть площади трех треугольников. ( Домножим на 2 сразу)

уравнение 4:  2X^2 - 3AB - 6 = 2*2584 = 5168

 

Видим, что в уравнениях 3 и 4 два неизвестных:   X и AB.  Отсюда переходим к одному квадратному уравнению на AB ( а это и есть удвоенная площадь красного треугольника, которую мы ищем)

 

Итого - задача будет решена. Решение технически тут уже несложно. Но коэффициенты большие. И, если честно, возиться не хочется. Видно только, что ответ будет "некрасивым"

 

 

[E.K.]

Как-то через многотрудные уравнения и многознаковые коэффициенты - не слишком красиво получается. А мож быть, немного с другой стороны зайти?

 

Например, если искать решения в натуральных числах, т.е. пусть {a,b,c,d} – натуральные.

 

Если предположить, что площади крайних треугольников чёт-нечёт-чёт, то общая площадь нечётная => (a+b) и (c+d) оба нечётные. Но:

 

S зелёного чётная => один из (c+d)?a – чётный => a – чётный, b – нечётный.

S красного чётная => один из b?d – чётный => d – чётный => c – нечётный.

То есть, S жёлтого =  (a+b)*с/2 не может быть натуральным числом.

 

То есть, общая S – чётная, площадь треугольников Sк и Sз – чётные, Sж – нечётная. Если присмотреться ещё внимательней, то:

 

b?d    - только один нечётный, второй = 2*?, где ? - нечётное.

(a+b)?c = 4*?,  оба чётные или один кратен 4.

(c+d)?a - только один нечётный, второй = 2*?, где ? - нечётное.

 

Мож быть в эту сторону покопать надо?