Математическое и загадочное

[santax]

4 часа назад, Тим 2 сказал:

Оказывается существует регулятор давления газа

 

У всех ли он есть на балконе/подвале/гараже?

[Тим 2]

23 часа назад, santax сказал:

У всех ли он есть на балконе/подвале/гараже?

Если честно без понятия, но при помощи подобных устройств возможно поддерживать давление на выходе из баллона. Такие в продаже для применения в гараже может и бывают.

К данной задаче похоже это отношения не имеет, там нужно перекачивать из одного баллона в другой, и получается где-то до двух третей почти сразу перекачать, а дальше стравливать газ из 50-ти литрового баллона, как чтобы давление в нём было немного меньше чем в столитровом. Десять литров или 15 потеряется наверно.

Изменено 7 сентября, 2023 пользователем Тим 2

[E.K.]

On 28.08.2023 at 13:24, E.K. said:

А вот стоит дома баллон объёмом 100 литров со сжатым газом под давлением в 10 атмосфер. И есть два пустых баллона по 50 литров. Ну и какая-нибудь соединительная трубка. Как перекачать почти весь газ из большого баллона в маленькие в домашних условиях (типа без компрессора, например)? Незначительные потери могут быть, это ок.

 

А теперь пришло время пойти помыть руки, чтобы бить себя по лбу чистыми руками... Я только что это сделал. Поскольку узнал ответ на эту задачку. Сейчас сообщу - но даю вам 5 минут помыть руки.

[E.K.]

50 килограмм - это тяжело, но совершенно не непосильно. Можно соседа позвать в помощь.

 

Итого, у нас 10 атмосфер природного газа в 100-литровом баллоне, которые нужно переместить в два пустых 50-литровых баллона. С минимальными издержками.

 

Наливаем в два 50-литровых баллона воду (из крана на кухне), а потом добротным шлангом подсоединяем их к 100-литровому баллону с газом и переливаем туда воду. Всё...

 

// Чистыми руками бьём себя по лбу. Два раза.

[E.K.]

А вот ещё хорошая несложная задачка: поиграем в кости. В два обычных кубика, на которых точки от 1 до 6 - ну, сами знаете.

 

Но вот беда - настоящих кубиков у нас нет. Но ... - а теперь условие ->

 

Есть два пустых деревянных кубика, на которые можно нанести метки (точки). Кубики разного размера - очень маленький и большой. Первый такой маленький, что ни на одной его грани невозможно оставить четыре точки, максимум - три. Второй кубик большой, там хоть по двадцать точек рисуй. Вопрос: можно ли нанести точки так, чтобы распределение суммы, выпавшей на двух кубиках, было таким же, как и на обычных игровых кубиках? То есть сумма 2 выпадает с вероятностью 1/36, тройка — с 2/36, семёрка — 6/36 и так далее до 12, выпадающей 1/36.

 

Без подвохов: отрицательное количество точек нанести нельзя, налепить цифры или знаки, обозначающие цифры тоже нельзя, купить на Авито - не вариант.

 

Удачи.

[Рогожников Евгений]

12 часов назад, E.K. сказал:

 

Есть два пустых деревянных кубика, на которые можно нанести метки (точки). Кубики разного размера - очень маленький и большой. Первый такой маленький, что ни на одной его грани невозможно оставить четыре точки, максимум - три. Второй кубик большой, там хоть по двадцать точек рисуй. Вопрос: можно ли нанести точки так, чтобы распределение суммы, выпавшей на двух кубиках, было таким же, как и на обычных игровых кубиках? То есть сумма 2 выпадает с вероятностью 1/36, тройка — с 2/36, семёрка — 6/36 и так далее до 12, выпадающей 1/36.

Ну, с математикой мне проще. Ответ - нельзя. Не знаю есть лишь красивое решение, но тут сработало "в лоб". Хотя, когда стал писать с телефона, то надоело и нашёл решение попроще.

 

Лемма1

На маленьком кубике возможны 4 цифры : от 0 до 3.

Это очевидно

 

 

так как по условию 2 и 12 выпадают только один раз, то

Лемма 2. наибольшее и наименьшее число любого кубика будет только на одной грани. 

 

Заметим ещё, что если у нас сумма чисел на гранях кубиков А и В соответственно, то сумма чисел по всем возможным выбросам двух кубиков равна А*В. В случае обычных кубиков это будет 21*21. А так как в нашем случае распределение выбросов совпадает, то и у нас будет такое число. Для маленького кубика  число А должно делителем. Но А меньше 21, так как на грани не более 3. Оно не равно и 3, так как из Леммы 1 и 2 сразу видно, что кубик не даст решения. 

 

Остаётся 7. По леммам 1 и 2 сразу видно, что в кубике будут грани с числами 0 и 3. Значит, на оставшихся четырёх  будет только 1.

 

Но тогда противоречие получаем сразу. У большого кубика должна быть грань с цифрой 2, иначе выброс 0 от малого кубика даст плохой результат. А раз у большого есть 2, а у маленького целых четыре 1, то выброс тройки будет в 4 случаях, а не в двух

[E.K.]

6 hours ago, Рогожников Евгений said:

Заметим ещё, что если у нас сумма чисел на гранях кубиков А и В соответственно, то сумма чисел по всем возможным выбросам двух кубиков равна А*В. В случае обычных кубиков это будет 21*21.

Вообще-то сумма всех возможных выбросов на обычных кубиках - это число чётное...

 

UPD: Сумма чисел по всем выбросам = 6*(A+B) имхо..

[Рогожников Евгений]

6 часов назад, E.K. сказал:

Вообще-то сумма всех возможных выбросов на обычных кубиках - это число чётное...

 

мда. поторопился. 

 

Чтож. Приведу тогда лобовое решение, которое изначально было. 

 

Итак

 

 

Лемма1

На маленьком кубике возможны 4 цифры : от 0 до 3.

Это очевидно

 

 

Лемма 2. наибольшее и наименьшее число любого кубика будет только на одной грани. 

Доказательство -  по условию 2 и 12 выпадают только один раз. а они есть сумма минимумов и сумма максимумов.

 

Лемма 3. промежуточное число (т.е не минимум и не максимум) на маленьком кубике не может встречаться 3 и более раз

Доказательство начало. 

Из леммы 1 следует, что промежуточным числом может быть 1 или 2. Разберем их отдельно.

 

Если у нас 1 встречается 3 раза, то это значит, что

- на маленьком кубике есть и 0. Иначе 1 был бы минимумом. Тогда на большом кубике есть ровно одна 2 и она минимальное число на большом кубике. И выброс 0 и 2 дает единственный выброс суммы 2.  Но тогда выброс в сумме числа 3 будет более 2-х раз. Противоречие

 

Если у нас 2 встречается 3 раза, то это значит, что

на маленьком кубике есть и 3. Иначе 2 был бы максимумом. Тогда на большом кубике есть ровно одна 9 и она максимальное число на большом кубике. И выброс 3 и 9 дает единственный выброс суммы 12.  Но тогда выброс в сумме числа 11 будет более 2-х раз. Противоречие

Доказательство конец. 

 

 

Значит, у нас для маленького кубика остается один вариант. у него будет число 0 - 1 раз, число 3 - 1 раз, число 1 - 2 раза, число 2 - 2 раза.

Покажем, что тут не удастся получить нужное распределение ни для какого большого кубика.

 

Так как на маленьком кубике есть 0, то на большом кубике есть ровно одна 2 и она минимальное число на большом кубике. И выброс 0 и 2 дает единственный выброс суммы 2. 

Так как на маленьком кубике есть 3, то на большом кубике есть ровно одна 9 и она максимальное число на большом кубике. И выброс 3 и 9 дает единственный выброс суммы 12. 

 

на большом кубике нет 1 , иначе с 0 с малого получили бы сумму равную 1

 

так как на большом есть одна 2, а на малом две 1, то есть уже два выброса суммы 3. Значит, на большом кубике нет цифры 3

аналогично на большом кубике нет цифры 8 , ведь два выброса 11 уже есть

 

выброс суммы 4 должен быть тремя способами. уже есть двумя способами: 2 с большого кубика с двумя двойками с малого.  нужен еще один способ. так что на большом кубике есть цифра 4 и ровно одна.

 

выброс суммы 5 должен быть четырьмя способами. уже есть тремя способами:  3 с малого и 2 с большого, две 1 с малого и  4 с большого. нужен еще один способ. так что на большом кубике есть цифра 5 и ровно одна.

 

выброс суммы 6 должен быть пятью способами. уже есть четырьмя способами:  две 1 с малого и  5 с большого. две 2 с малого и 4 с большого. нужен еще один способ. так что на большом кубике есть цифра 6 и ровно одна.

 

к этому моменту у нас на большом кубике незаполненной осталась только одна грань!!!

 

выброс суммы 7 должен быть шестью способами. уже есть ровно шестью способами:  две 1 с малого и  6 с большого. две 2 с малого и 5 с большого. 0 с малого и 6 с большого, 3 с малого и 4 с большого

 

выброс суммы 8 должен быть пятью способами. уже есть тремя способами:  две 2 с малого и  6 с большого. 3 с малого и 5 с большого. нужно еще два способа.

И вот тут уже ничего не удастся. на большом кубике должно быть две цифры 8, чтобы в сумме с 0 с малого дать два способа. Но у нас осталась тольно одна грань.

Противоречие.

 

Итого - невозможно

 

 

[E.K.]

Все рассуждения вроде бы верные, а вывод - неправильный... Как так? А, вот где собака порылась:

 

23 minutes ago, Рогожников Евгений said:

выброс суммы 7 должен быть шестью способами. уже есть ровно шестью способами:  две 1 с малого и  6 с большого. две 2 с малого и 5 с большого. 0 с малого и 6 с большого, 3 с малого и 4 с большого

 

[Рогожников Евгений]

4 часа назад, E.K. сказал:

Все рассуждения вроде бы верные, а вывод - неправильный... Как так? А, вот где собака порылась:

Да уж. Я, конечно, рассеянный. Но чтобы два раза 😆наверно, потому что сегодня релиз, который нам не подписали. 

 

Но теперь видно, что я почти докрутил до решения. Малый кубик указан точно. Про большой писать не буду. Вдруг, кто захочет голову поломать

[E.K.]

22 hours ago, Рогожников Евгений said:

потому что сегодня релиз, который нам не подписали.

Релиз в пятницу - зло! Хуже него бывает только релиз перед самым Новым Годом...

 

Но поскольку у меня есть ещё пяток задачек в очереди, то даю всем остальным ещё полчаса на окончательное решение и доказательство его единственности.

[E.K.]

Итак, у нас есть два кубика - малый и большой. На гранях малого можно натыкать точек не более 3х. На большом - сколько угодно. Можно ли покрасить их так, чтобы вероятность выпадания суммы количества точек равнялась обычным кубикам, где на каждой грани от 1 до 6 точек?

 

Поскольку на обычных кубиках из всех 6x6=36 вариантов "1:1" (сумма=2) выпадает с вероятностью 1/36, то и в нашем случае неравных кубиков должно быть тоже самое. Т.е. {малый,большой} кубики минимальные значения точек могут быть: {0,2}, {1,1} или {2,0}.

 

Пусть на малом кубике минимальное 2, а на большом 0.

 

2,?,?,?,?,?

0,?,?,?,?,?

 

Но тогда на маленьком кубике следующее значение может быть либо 2, либо 3. Двойки быть не может, поскольку тогда сумма=2 может выпасть 2+ раза (нарушение условия задачи).

 

2,?,...

0,...

 

Тройки тоже быть не может, поскольку если там все остальные "тройки", то ->

 

2,3,3,3,3,3

0,...

 

То сумма "3" выпадает 5+ раз. А на обычных кубиках - только 2 раза: {1+2, 2+1}.

 

Итак, вариант "на малом минимально точек 2, а на большом 0" - отпадает.

[E.K.]

Ну, пусть на малом и большом кубике минимальное количество точек = 1.

 

1,?,?,?,?,?

1,?,?,?,?,?

 

В малом и большом кубике минимальное значение следующей грани не может быть "1", поскольку тогда сумма=2 выпадает минимум 2 раза, что противоречит условию задачи.

 

Если на малом кубе все оставшиеся - тройки, то получаем сумму=3 целых 5+ раз, хотя на обычных кубиках она выпадает только 2 раза. Аналогично рассуждая, получаем, что на малом кубе троек не больше двух. То есть, остальные три значения - двойки. Что даёт нам "1+2" целых три раза. Противоречие.

 

Итого, остаётся только вариант "ноль на малом кубике, двойка на большом".

[E.K.]

Ну, поехали... 

 

// Сразу даю очевидное решение. Поскольку это суммы одинаковых цифр, то они на кубиках должны располагаться симметрично. То есть, если на малом кубике только один ноль, то и тройка должна быть тоже одна. Остальное поделить пополам.

 

Ладно, поехали без подсказок. Имеем ->

 

0,?,?,?,?,?

2,?,?,?,?,?

 

Сразу: в большом кубике (нижняя строчка) после двойки больше не может быть двоек, поскольку тогда 0+2 получаем дважды. Противоречие. Т.е. там 3+ только. // И единиц там внизу тоже быть не может просто никак 🙂

0,1,?,?,?,?

2,?,?,?,?,?

 

Сверху на малом можно двойку или тройку? Давайте попробуем.

 

Двойка:

 

0,1,2,?,?,?

2,?,?,?,?,?

 

Снизу только 3+, поскольку 2+0 только один раз. 3?

 

0,1,2,?,?,?

2,3,?,?,?,?  => (чтобы сумма=4 была три раза)

 

0,1,2,?,?,?

2,3,3,?,?,? => но тогда сумма=3 три раза. Противоречие.

 

0,1,2,?,?,?

2,3,5+,?,?,? => но тогда сумма=4 меньше 3х раз.

 

То есть,

0,1,2,?,?,?

2,3,4,?,?,?

 

Верхний (маленький) кубик следующим значением не может иметь "2", поскольку тогда сумма=4 выпадает... 0+4, 1+3, 2+2, 2+2 = четыре раза, а должно быть три. То есть, вот такое противоречие:

 

0,1,2,3,3,3

2,3,4,?,?,?

 

В результате чего мы получаем аж 5 вариантов сумма=5, а должно быть 4.

 

//------//

 

Пробуем второй вариант: тройка!

 

Тройка:

 

0,1,3,?,?,?

2,?,?,?,?,?

 

Но тогда все остальные тоже тройки, то есть ->

 

0,1,3,3,3,3

 

2,?,?,?,?,?

 

Если внизу следующая двойка, то получаем 8 пятёрок.

Если тройка - ... короче, там всё очевидно раскладывается, что нет и никак.

 

Итого.

 

У нас только один вариант, который можно раскручивать:

 

0,1,1,?,?,?

2,?,?,?,?,?

 

И так далее - ... - ... получаем единственное решение:

 

0,1,1,2,2,3

2,4,5,6,7,9

 

<- вот так надо покрасить кубики. Всё на этом

[E.K.]

Предположим, что есть треуголка...

 

Если у треугольника длины всех сторон простые числа, то может ли его площадь быть простым числом?