Математическое и загадочное

[santax]

Раз у нас число даёт остаток 1 от деления на 3, то ни а, ни б, ни а+б не деляться на 3. При этом у а и б одинаковый остаток от деленияна 3 (1 или 2). Если был бы разный, то а+б делилось бы на 3.

Если оба дают остаток 2 то (3k+2)(3l+2)(3m+1) даёт остаток 1, а у нас искомое произведение даёт остаток 2. Не подходит. Аналогично проверим гипотезу с остатками 1. Остаток будет 2. Как нам и нужно. То есть а=3k+1, b=3l+1 Но дальше с ходу пока не придумал.

Перепутал! A=3k+2, B=3l+2

 

 

Нужно было так записать! (3k+2)(3l+2)(3*(k+l)+4) если перемножить и сократить то будет такое выражение, 27*kl*(k+l)+18*(k+l)^2+36*kl+36*(k+l)+16. То есть остаток этого выражения от деления на 9 должен быть 7, но у нас то число 2007000002008 дает от деления на 9 остаток 1. То есть таких чисел а и б не существует... Мда, а в школе бы я эту задачу решил(

[E.K.]

Ну?

Давайте уже быстрее, господа и дамы студентки!

[santax]

А сообщение выше чем не доказательство?

 

Попробую расписать по полочкам и математически:

1. A * B * ( A + B ) = 2007000002008 <==> A * B * ( A + B ) = 2007000002007 + 1 <==> A * B * ( A + B ) = 2007 * ( 10^8 + 1 ) + 1 <==> A * B * ( A + B ) = 9 * 223 * ( 10^8 + 1 ) + 1.

 

2. Отсюда следует, что выражение A * B * ( A + B ) :

а. Не делиться на 3

б. Остаток от деления на 3 равен 1

в. Остаток от деления на 9 равен 1

 

3. из п. 2а следует, что ни A + B, ни A, ни B не делятся на 3 без остатка! Значит из A и B мы можем составить 3 комбинации:

а. A = 3k+1 , B = 3l + 2 (A = 3k+2 , B = 3l + 1 - аналогична, поэтому не рассматриваем)

б. A = 3k+1 , B = 3l + 1

в. A = 3k+2 , B = 3l + 2

 

4. Проверяем подпункты выше:

а. 3а быть не может потому что выражение A + B = 3k+1 + 3l + 2 = 3k + 3l + 3 = 3 * (k+l+1) делиться на 3, а это противоречит пункту 3.

б. подставим значения в исходное выражение A * B * ( A + B ) и раскроем скобки: (3k+1) * (3l + 1) * (3k+1+3l+1) = (9kl+3k+3l+1) * (3k+3l+2) = (9kl+3*(k+l)+1) * (3*(k+l)+2) = 27kl*(k+l)+9*(k+l)^2+3*(k+l)+18kl+6*(k+l)+2 = 3*(9kl*(k+l)+3*(k+l)^2+3*(k+l)+6kl)+2, то есть эта комбинация дает остаток 2 при делении на 3, что противоречит пункту 2б.

в. также подставим значения в исходное выражение и сократим:

(3k+2) * (3l + 2) * (3*(k+l)+4) = (9kl+6*(k+l)+4) * (3*(k+l)+4) = 27*kl*(k+l) + 18*(k+l)^2 + 12*(k+l) + 36*kl + 24*(k+l) + 16 =

27*kl*(k+l) + 18*(k+l)^2 + 36*(k+l) + 36*kl + 16 = 9*(3*kl*(k+l) + 2*(k+l)^2 + 4*(k+l) + 4*kl) + 16. То есть это выражение при делении на 3 дает остаток 1 (удовлетворяет условию 2б), НО не удовлетворяет условию 2в - остаток от деления этого выражения на 9 равен 7, а у нас по условию должно быть 1.

 

5. Отсюда следует вывод: раз ни одна из комбинаций не подходит, то и целочисленных значений A и B для равенства A * B * ( A + B ) = 2007000002008 не существует!

Изменено 13 июля, 2017 пользователем santax

[E.K.]

Отлично!

Теперь давайте попробуем подготовится к предстоящему ДнюРождения Компании:

 

1997000002017

 

и неизбежному Новому Году

 

2017000002018 :)

[santax]

 

 

Теперь давайте попробуем подготовится к предстоящему ДнюРождения Компании: 1997000002017

отпадает сразу - произведение A * B * ( A + B ) должно быть четным числом.

разъяснение:

 

1) A - Четное число B - четное число:  Ч * Ч * (Ч + Ч) = Ч

2) A - Нечетное число B - четное число:  Н * Ч * (Н + Ч) = Ч

3) A - Нечетное число B - Нечетное число:  Н * Н * (Н + Н) = Ч

 

 

[Kapral]

 

 

1997000002017 - произведение A * B * ( A + B ) должно быть четным числом.

+1

[E.K.]

отпадает сразу - произведение A * B * ( A + B ) должно быть четным числом.

Естественно

Тогда - техническая замена:

1997000201700020

[thyrex]

Ну тут тоже все просто.

 

Исходное число точно делится на 10. Новое число потом делится еще на 2, а следующее число уже нечетное. Стало быть A и В оба нечетные, но они точно в сумме не дадут 20.

[santax]

А что за три нуля были в истории компании между 1997 и 2017 годами в течение 20 лет?

А зачем сумма должна быть 20? Не понял...

 

Евгений Валентинович, а если доказательство не существования этих чисел не будет найдено,то можно ли будет воспользоваться средствами разложения чисел на простые множители? Числа большие, очень трудозатрадно будет искать их делители.

[Kapral]

 

 

очень трудозатрадно будет искать их делители.

А это нарушение условие о подборе )))

[santax]

А это нарушение условие о подборе )))

тогда валим эти числа!

 

 

Тогда - техническая замена: 1997000201700020

Тоже не подходит по той  же причине:

1) A - Четное число B - четное число:  Ч * Ч * (Ч + Ч) = Ч ==> делится как минимум на 8!

2) A - Нечетное число B - четное число:  Н * Ч * (Н + Ч) = Ч ==> делится только на 2!

3) A - Нечетное число B - Нечетное число:  Н * Н * (Н + Н) = Ч==> делится только на 2!

 

А наше число делиться на 4 лишь, а на 8 уже нет.

 

Был не прав - исправлюсь..

Изменено 13 июля, 2017 пользователем santax

[E.K.]

Что притихли?

Две задачки для размышления:

2017000002018 и 1997000201700020.

 

 

Исходное число точно делится на 10. Новое число потом делится еще на 2, а следующее число уже нечетное. Стало быть A и В оба нечетные, но они точно в сумме не дадут 20.

Это почему такие выводы?

13+7=20.

[thyrex]

Это почему такие выводы? 13+7=20.

Ну как бы 13*7*20 <> 1997000201700020

[E.K.]

Задача стоит разложить данное число на множители А*Б*(А+Б) или доказать невозможность этого, а не сравнить перемножение 7 и 13. Дерзайте.

[santax]

Ну в целом я вижу следующую картину:

Найдем среднее число между A и B: ( A + B ) / 2 = C, тогда A = C-n, B = C+n. При этом C и n либо целые числа, либо кратны 0,5 (для случая когда A и B четное и нечетное числа). Тогда A * B * ( A + B ). можно представить как ( C - n ) * ( C + n ) * 2 * C = X  <==> C³ - C*n² = X / 2.

И задача сводится к построению графика функции, где n (0, 0.5, 1, 1.5 и т.д.) ось абцисса, а C - ось ордината, X - константы (наши числа 2017000002018 и 1997000201700020). И ищутся точки, в которых n и C кратны 0,5. Или банальному перебору с разными n и вычислением C.

 

Ну или же найти все делители чисел 2017000002018 и 1997000201700020 с использованием специальных калькуляторов и проверить их под условия задачи.

Да, это противоречит условию задачи от E.K., но доказательства, что такие числа A и B не существуют, я не нашел.

Изменено 21 июля, 2017 пользователем santax