Математическое и загадочное

[Рогожников Евгений]

6 часов назад, Fireman сказал:

 

v = ✓(2 * 10000 * 9.8 / 20 / 1.2) = 90 м/сек или 320 км/ч

И снова блестяще. Формула верна. Правда, при расчете, я брал высоту автобуса метра 4, тогда ответ будет в полтора раза меньше, т.е примерно 60 м/с. Меня, помню, поразило, что это не такая  уж и заоблачная величина

[Fireman]

2 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

Меня, помню, поразило, что это не такая  уж и заоблачная величина

потому что модель очень упрощённая

1) автобус бесконечно малой толщины

2) масса распределена равномерно

3) коэффициент трения шин об асфальт бесконечно большой

 

а вот если перерассчитать для автобуса толщиной метра 2, центра масс в метре-полтора над землей и коэффициенте трения скольжения резины об асфальт, то получится все гораздо печальнее, как мне кажется 

[Рогожников Евгений]

55 минут назад, Fireman сказал:

 

а вот если перерассчитать для автобуса толщиной метра 2, центра масс в метре-полтора над землёй

Это неважно. Я уж не стал придираться к вашим предыдущим рассуждениям. Там надо было учесть как раз толщину и рассмотреть момент силы, который будет вращать автобус. Но формула та же будет

[Fireman]

12 часов назад, Рогожников Евгений сказал:

Там надо было учесть как раз толщину

ну если уж совсем придираться, то вы не заметили, что использовать нулевую толщину вообще нельзя ?

потому что в этом случае автобус будет находиться в неустойчивом равновесии у перевернется (упадёт) при любой скорости ветра 

 

т.е. прямая задача не имеет смысла, а вот обратная даёт результат

[E.K.]

Привет всем,

я только что свалился обратно вниз после трех+ недель на Алтае, посему мозг чист, извилины выпрямлены, пальцы вспоминают что такое клавиатура, а тут "добрые дети" подкинули вопрос для разминки ума, а я пока не могу.. Вопрос такой:

 

Ане и Борису в сумме 65 лет. Борис сейчас втрое старше, чем Аня была, когда Борис был в половину возраста Ани, когда ей будет втрое больше чем Борису было тогда, когда Борис был втрое старше Ани. Сколько им лет?

 

Помогайте..

[kmscom]

1 час назад, E.K. сказал:

Борис сейчас втрое старше, чем Аня была, когда Борис был в половину возраста Ани, когда ей будет втрое больше чем Борису было тогда, когда Борис был втрое старше Ани.

несколько раз перечитал, ни ничего не понял. какая-то игра слов

[Рогожников Евгений]

27.5 и 37.5

 

В таких задачах удобно рассуждать с конца. Рассмотрим момент М1, когда Борис был втрое старше. Пусть Анне было в тот момент х лет. Борису, значит, было 3х. Потом рассматривают момент М2, когда Ане было втрое больше чем Борису в момент М1, т.е 9х. Потом идёт момент М3, когда Борису вполовину меньше чем Ане в момент М2, т.е 4.5х. Ане в этот момент 2.5х. Ну и, наконец, настоящее время М4. Тут Борису втрое больше, чем Ане в момент М3. Т.е 7.5х. Ане, значит , 5.5х. Но в сумме им 65. Значит, х равно 5.

[Vladislav Nikolaev]

 Я так решал:

Пусть сейчас время t=0, возраст Анны = a, возраст Бориса = b.
Моменты времени, о которых говорится в задаче - x, y, z.
Система уравнений:
a+b=65
b=3(a+x)
b+x=(a+y)/2
a+y=3(b+z)
b+z=3(a+z)
----------------------
a=27.5 b=37.5

[E.K.]

Отлично! Получилось быстро и сразу. Я же пока выхожу из Алтайского астрала и постепенно возвращаясь в разум вспомнил, что однажды ровно два года назад осталась никак не решённая вот такая задачка - цитирую в изначальном состоянии, без учёта пандемий, изоляций и прочего разного 2020-го =>

 

Однажды, разомлев от отпускной жары и летней лености Вселенной, фанклубни решили устроить турнир в какую-нибудь немозгоутруждающую игру. Например, в камень-ножницы-бумага. Или в чапаевцы. Или во что-то еще, где нет ничьих. Турнир по круговой системе, каждый с каждым. За победу фанклубень получает 1 балл, за поражение - ничего, то есть 0 баллов. После подсчета своих результатов (сумм баллов) клубни решили посчитать еще и свои "коэффициенты крутизны" - суммы результатов тех соперников, которых победил каждый клубень. Коэффициенты крутизны у них оказались одинаковыми. Возможно ли, что их результаты турнира не были одинаковыми?

 

Ну, сейчас-то должно найтись решение?

[Рогожников Евгений]

Наверно, я неправильно понял условие задачи. Иначе решение слишком уж простое. Я понял условие следующим образом. N игроков играют по круговой системе. Каждый с каждым по одному разу. S_i это сумма очков i-го игрока. M_i - коэффициент крутизны i-го игрока, который по определению равен сумме S_j, где сумма берется по всем j, которые проиграли i-му игроку. И требуется узнать, возможна ли ситуация, когда M_i = M_j, но S_i != S_j.

 

Если это так, то ответ будет - да, возможно. Пример: есть 4 игрока. 1-й выиграл у всех, кроме 4-го. 4-й проиграл всем, кроме первого. 2-й выиграл у третьего. Тогда S_1=2, S_2=2, S_3=1, S_4=1.

M_1=3, M_2=2, M_3=1, M_4=2. Как видно, М_2=М_4, но S_2!=S_4

[E.K.]

Коэффициэнты крутизны у всех одинаковы, а не только у пары. Так действительно тривиально.

[Рогожников Евгений]

19.08.2020 в 00:09, E.K. сказал:

Возможно ли, что их результаты турнира не были одинаковыми?

 

Очевидно, возможно, когда игроков двое. В этом случае коэффициент крутизны у обоих равен 0, но т.к ничьих нет, то результат не одинаков.

 

Иначе - невозможно. Пусть это не так. Тогда среди игроков будут победители и побежденные. Пусть победители взяли A очков, а проигравшие B очков. Рассмотрим коэфффициент крутизны победителя X. Ясно, что X >= A*B, т.к победитель выиграл A игр, при этом те, у кого он выиграл  в свою очередь выиграли не менее B игр.

Аналогично, коэффициент крутизны проигравшего Y <= A*B. По условию X = Y. Это может быть когда оба коэффициента равны A*B, при этом победитель мог выигрывать только у проигравших, а проигравшие только у победителей. Но тогда не может быть двух победителей, т.к иначе они сыграли бы между собой. Значит, победитель один. Ананалогично и проигравший только один. Т.к игроков более двух, то будет и средний игрок. Т.к проигравшие у нас выигрывают только у победителей, значит, они проиграют среднему игроку. Значит, средний игрок выиграет у всех проигравших. Но победитель выигрывает только у проигравших. Значит, средний игрок наберет не меньше очков чем победитель!!! Противоречие

[Vladislav Nikolaev]

Запишем турнирную таблицу в виде квадратной матрицы A, элементами которой будут 0 и 1. Если i-й игрок выиграл у j-го, то A_ij=1, A_ji=0. Все диагональные элементы также 0. Пусть E - вектор, все компоненты которого равны 1. Если умножим A на E, получим вектор F, компоненты которого это баллы игроков. Если теперь умножим A на F, получим вектор G, компоненты которого - коэффициенты крутизны. G=AF=A(AE)=(AA)E=A²E.
Пусть теперь все компоненты G равны, но ведь у E они тоже равны - все 1. Это значит что G = kE, т.е. E - собственный вектор матрицы A². Но тогда E также и собственный вектор A и F=mE - компоненты F также равны.

[Рогожников Евгений]

29 минут назад, Vladislav Nikolaev сказал:

Это значит что G = kE, т.е. E - собственный вектор матрицы A². Но тогда E также и собственный вектор A

А можно вот этот момент поподробнее

[_Иван]

Да, выглядит верно, зачёт. Все хорошие решения простые и красивые, я до такого не догадался

 

Я в своё время пробовал играться с матрицами, так же дошёл до того, что единичный вектор должен быть собственным вектором AA, но не собственным вектором A, и на этом завис (если бы собственные вектора A составляли базис, то всё доказано, но с базисом всё выглядит ещё сложнее). Я пробовал смотреть в сторону того, что единственный вариант, чтобы единичный вектор был собственным у АА --- это если оператор А является оператором поворота на 90 градусов, а у всех операторов поворота должны быть отрицательные элементы. Но это не выглядит хорошим доказательством. Пробовал смотреть на разложение А на симметрический и кососимметрический операторы, но там тоже закопался. Пробовал сортировать матрицу по результатам игроков, и, кажется, тоже дошёл до того, что абсолютный победитель и абсолютный проигравший могут быть только единственными, но дальше не придумал. В общем, круто:)

 

Поддержу эстафету. Есть гексагональное шестиугольное поле со стороной 5, типа такого (цвета не имеют значения):

Ставим несколько "начальных" фишек на поле. Если рядом с какой-то клеткой оказывается три или больше занятых клетки, то и на неё кладём фишку бесплатно. Вопрос: какое минимальное количество начальных фишек нужно, чтобы закрыть всё поле?