Математическое и загадочное

[vitech07]

Задачка 5. Делится ли 10²⁰¹⁹ + 1 на 10¹⁹ - 1 нацело, то есть без остатка?

10¹⁹ - 1 = 999...99 = 111..11 * 3 * 3

10²⁰¹⁹ + 1 = 100....01 не делится на 3 по признаку делимости, сумма цифр не кратна трем

поэтому на цело не делится, слева число не кратное трем, справа - кратное

[E.K.]

не делится на 3 по признаку делимости, сумма цифр не кратна трем

поэтому на цело не делится, слева число не кратное трем, справа - кратное

Точно! Давайте зачётку

Кстати, предыдущая (номер 4) тоже очень похоже решается..

 

На всякий случай, признаки делимости чисел здесь лежат: https://umath.ru/theory/priznaki-delimosti-chisel/

[iv65]

То есть из этого :

признаки делимости чисел здесь лежат: h

следует, что:

10^2019 - 2 / 10^29 - 1 имеет целый делитель 3?

Изменено 26 января, 2019 пользователем iv65

[E.K.]

10^2019 - 2 / 10^29 - 1 имеет целый делитель 3?

Порвое-1. 10^2019 - 2 это вроде получается число из 2018-ти девяток и заканчивается одной восьмёркой.

Второе-2. 10^29 - 1 это число, состоящее из 28-ми девяток. Что есть "9*111...111".

 

Первое на тройку никак не делится, поскольку не соответствует признаку делимости - это понятно?

Второе делится аж на девятку.

 

Первое на второе делиться нацело никак не может.

[iv65]

Первое на второе делиться нацело никак не может.

Эх, сначала хотел вместо -2 (-1) в делимом, тогда бы точно первое число делилось на второе нацело 

Изменено 26 января, 2019 пользователем iv65

[vitech07]

Задачка 4. Может ли число, сумма всех цифр которого равна 2019 (две тысячи девятнадцать ровно), быть квадратом целого числа. 

не может. Если сумма цифр 2019, то число делится на 3 без остатка (2+1+9 = 12)

Квадрат целого числа кратен 3 только в том случае, если само число кратно трем, т.е. получается, что квадрат числа должен быть кратен девяти (3^2=9).

Сумма цифр 2019 не делится на 9 без остатка, следовательно число не делится на 9.

Получаем, что наше число с суммой цифр 2019 кратно 3, и не кратно 9, что невозможно для квадрата целого числа

[E.K.]

Получаем, что наше число с суммой цифр 2019 кратно 3, и не кратно 9, что невозможно для квадрата целого числа

Всё верно! Более того, тоже самое верно для любой степени больше единицы. Никакой квадрат, куб и все далее не могут дать сумму всех своих цифр = 2019.

 

Ну, едем дальше.

 

Задачка 6. На доске написано число, равное 8²⁰¹⁹. У этого числа вычисляется сумма цифр, у полученного числа вычисляется опять сумма цифр и т.д. до тех пор пока не получится одна цифра. Что это за цифра?

[Skarbovoy]

Предположительно 8.

Для степени двойки наблюдается повторение 2 4 8 7 5 1.

8^2019 = 2^6057

6057%6 = 3

[iv65]

Сегодня прочитал удивительные вещи:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2,_%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%B9_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D0%BE_%D0%9B%D1%83%D0%B7%D0%B8%D0%BD%D0%B0

http://www.vokrugsveta.ru/vs/article/7400/

особенно поразил этот момент:

"Колмогоров мечтал о мире без нечестности и подлости, без женщин и других недостойных отвлекающих факторов — о мире, где есть только математика, прекрасная музыка и справедливое воздаяние за труды."

[E.K.]

Для степени двойки наблюдается повторение 2 4 8 7 5 1.

Далее, тройка уходит в "пустой цикл" {9}. Это и понятно, число делится на 9 если его сумма цифр делится на 9 (критерий делимости).

 

Пятёрка даёт цикл {5,7,8,4,2,1}, семёрка цикл {7,4,1}.

 

Более того, свёртка произведения чисел равна произведению свёрток, для суммы справедливо тоже самое. Почему - мне пока неведомо... Например, беру два "от балды" выдуманных числа: 389 и 715. Их свёртки = 2 и 4. Перемножаем, суммируем и удивляемся:

 

389+715 = 1104 , свёртка = 6 = 2+4.

389*715 = 278135, свёртка = 8 = 2*4.

 

Как так?? Почему?

[Skarbovoy]

 

 

Как так?? Почему?

Остаток от деления на 9

[E.K.]

Остаток от деления на 9

Точно! Кто бы мог подумать...

 

Ну, тогда в завершение темы 2019 ещё две очень простые:

 

Задачка 7. Найти все целые решения уравнения: х² + 2019 = y²

 

Задачка 8. Делится ли нацело на 9 вот такое число: 12345678910111213...201720182019.

[iv65]

Делится ли нацело на 9 вот такое число: 12345678910111213...201720182019.

Если там нигде не было запятых, то на единицу делится точно

А вон на девятку - нужно подумать.

Перейдём к признакам делимости.

 

 Если то a делится на

 Сумма двузначных граней делится на 11, то делится на 11

 Сумма трёхзначных граней делится на 37, то делится на 37

 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13  ,то делится на 7, 11, 13 соответственно

Про девятку, к сожалению в этом правиле ничего не написано и это , наверно, не просто так.

Изменено 27 января, 2019 пользователем iv65

[Sandynist]

 

 

А вон на девятку - нужно подумать.

 

Это можно проверить через Excel свежей версии, ограничение на количество знаков в ячейке — 32767 знаков. В приведённой задачке в данном числе цифр намного меньше.

P.S. Хотя наверное нет, в тысяче чисел по четыре знака уже больше

 

Наверное не так считаю, 4000=это количество знаков от 1000 до 2000, так что вполне по силам проверить машинным путём.

Изменено 27 января, 2019 пользователем Sandynist

[Skarbovoy]

 

 

Задачка 8. Делится ли нацело на 9 вот такое число: 12345678910111213...201720182019.

Не делится, идея решения такая же.

1 3 6 1 6 3 1 9 9