Математическое и загадочное

[E.K.]

На ДР задачку подарили:

Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый спортсмен сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий. Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является – спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?

[santax]

Начну хотя бы пожалуй: 
Какие факты нам очевидны:
- 20*19/2 = 190 игр, 190 фотографий.

- на каждом фото 3 человека: 2 спортсмена, 1 арбитр.

- всего 570 человек на фото, среди которых 

Про арбитров не ясно: если все судили поровну, то на каждого арбитра 19 встреч. Или же 9 арбитров судили по 1й игре, а все остальные например судил оставшийся 10й арбитр.

И похоже в зависимости от всех вариантов нужно вычислить вероятность сколько человек (из 30) мы можем точно определить: спортсмен это или арбитри.

 

[santax]

----------------

Каждый спортсмен должен встретиться на 19 офтографиях. Чтобы усложнить нам задачу, и каждый арбитр должен был судить 19 игр. в этом случае частота встреч каждого человека на фотографиях равна. 

Два спортсмена не могут повстречаться на двух и более фото. Спортсмен и арбитр могут встретиться на нескольких фотографиях.

-----------------

Как мне кажется, эту задачу можно решить графически: 20 узлов - это спортсмены, ребра - это арбитры.

И начинать попробовать как обычно с этой же задачки, но с меньшим числом спортсменов и арбитров:
2 спортсмена и 1 арбитр. Возможно только одно фото (2*1/2) и определить кто есть кто - невозможно. Итого - из 3 (2+1) определить точно кто есть кто невозможно (0%).

3 спортсмена: 3*2/2 = 3 игры.
- Если арбитр 1, то четко определяем всех, так как арбитр будет на всех 3 фото. Итого - из 4 (3+1) определим всех (100%)

- Если же арбитров 2: то число игр у них распределяется как 1 и 2. В этом случае легко определяем первого арбитра: он на всех фото будет один раз. Соответственно, определим точно 2х спортсменов на фото с 1м арбитром. а оставшихся двух фото будут второй арбитр и третий спортсмен, кто из них кто определить мы не сможем. Итого - из 5 (3+2) определим 3х (60%)

[santax]

-------------------------------

4 спортсмена: 4*3/2 = 6 игры, чтобы было запутанней: каждый спортсмен провел по 3 игры, арбитр тоже должен провести игр столько же. Значит их было двое. Имеем 4 спортсмена и 2 игрока... Очень схожая схема, которая была с 2 спортсмена и 1 арбитр, когда мы не смогли никого точно идентифицировать. 

попробую проверить, поэтому нечетное число спортсменов опускаю.

6 спортсменов: 6*5/2 = 15 игр. значит 3 арбитра.

8 спортсменов: 8*7/2 = 28 игр, 4 арбитра.

...

Как будто бы пока вырисовывается гипотеза, что при 2X спортсменах и X арбитрах точно определить кто есть кто на фото невозможно. Соответственно, нужно эту гипотезу доказать, либо опровергнуть.

Изменено 8 октября пользователем santax

[santax]

Наскальная живопись 😃

[Борис Прокофьев]

Как можно не отличить игрока от арбитра? Для этого они должны быть взаимозаменяемы с точки зрения наблюдателя т.е. на всех фотографиях встречаться парой. Такое возможно если какой-то один арбитр судил все матчи с участием одного и того же игрока.

 

Возьмём какого-нибудь человека. Есть 19 фотографий на которых он изображён. Помимо него на них суммарно ещё 38 человек. Сколько среди них разных? 

Для игрока - 19 соперников плюс от 1 до 10 арбитров (смотря сколько разных судило его матчи), итого минимум 20.

Для арбитра - максимум 20, больше игроков нет.

То есть если на 19 фотографиях с человеком суммарно >20 разных других людей, то это игрок, если меньше - то арбитр.

А вот если =20 то это наш случай - на всех фотографиях присутствует ещё один человек и непонятно кто из них кто.

 

Очевидно, в одной стопке может быть только один такой человек. Ну, в смысле - два (одна пара).  

[E.K.]

Я сдаюсь. Нет ни постоянно текучего времени, ни умственных возможностей для решения этой задачки даже в условиях "4-на-4 спортсмена". Спасайте-помогайте!

[Xandr_5890_]

09.10.2024 в 01:09, Борис Прокофьев сказал:

А вот если =20 то это наш случай - на всех фотографиях присутствует ещё один человек и непонятно кто из них кто.

 

Очевидно, в одной стопке может быть только один такой человек. Ну, в смысле - два (одна пара).  

Собственно, вот это и есть решение.

Неопределенность по поводу "специальности" человека может возникнуть только в том случае, если он появляется на фото ровно с 20 разными людьми. 
Пусть насчет некоторого человека (пускай, Ивана) возникли такие сомнения и рассмотрим все фото с ним ("кучку"). 
Можно заметить, что у всей "кучки" один и тот же арбитр: если Иван сам игрок, то 20 человек на фото с ним - это 19 соперников и арбитр. Если же Иван арбитр, то, очевидно, других арбитров с ним на фото быть не может и он судил все 19 матчей какого-то игрока.
Из этого можно сделать вывод, что такая "кучка" среди всех фотографий может быть только одна.
Таким образом, с Иваном на фото постоянно есть некий человек и не ясно, кто из них кто. Третий же на этих фото - однозначно спортсмен.
Получается, что заблуждение может возникнуть только по поводу двух персон.

[Рогожников Евгений]

07.11.2024 в 22:55, E.K. сказал:

Я сдаюсь. Нет ни постоянно текучего времени, ни умственных возможностей для решения этой задачки даже в условиях "4-на-4 спортсмена". Спасайте-помогайте!

так постом выше приведено решение. оно почти сразу после появления задачи было дано

[E.K.]

19 часов назад, Рогожников Евгений сказал:

так постом выше приведено решение. оно почти сразу после появления задачи было дано

Да, точно. Что-то я закрутился... Ну, тогда вот ещё одна красивая задачка. Увы, я её решение случайно подсмотрел, посему давайте сами:

 

Хитрая кошка прячется в одной из пяти коробок. Они пронумерованы от 1 до 5 и установлены по порядку. Каждую ночь кошка меняет коробку и прячется в соседней, обязательно граничащей с той, в которой она находилась в течение дня. Каждое утро вы можете открыть лишь одну коробку, чтобы увидеть, есть ли там кошка.

 

Можете ли вы гарантированно найти кошку за конечное число проверок? Сколько максимально дней для этого потребуется?

 

 

// Взвешивать коробки, сверлить в них дырки, гавкать и мяукать нельзя.

[santax]

Ну начну я хотя бы:
Чтобы гарантированно поймать кошку, мы должны зажать её в угол! Как это сделать? С какой коробки начать пробовать её поймать?
Если начать с 3й, то кошка может быть как слева, так и справа, при этом она может перескакивать между коробками 1-2 или 4-5. И при переходе от 3й к 4й коробке (или ко 2й) мы не можем гарантировать, что кошка не была в этих коробкам и сможет перепрыгнуть в 3ю коробку, когда мы будем открывтаь соседнюю. У нас не будет увереннности где она. 
Если начать с 1й или 5й коробки, то мы 100% может сказать, что она слева или справа. Но при этом 100% не можем точно сказать в какой. Поэтому при перемещении между коробками, мы можем попасть в ситуацию, когда мы и кошка поменяемся коробками, не найдя кошку.

Поэтому я предлагаю начать со второй коробки:

1й день: _ X _ _ _. 
При этом у нас 3 ситуации, где размещена кошка:
    - она во 2й коробке и мы выиграли за 1 день! Но нам нужно определить максимальное число дней.
    - она во 1й коробке и тогда нам нужно обязательно выбрать 2ю коробку во второй день, чтобы её поймать. 
    - она где-то из коробок 3-5.

2й день: _ X _ _ _.
Опять выбираем вторую коробку. Если кошка была в 1й коробке, то мы её поймаем. Также мы её поймаем, если она была в 3й коробке и перескочила во 2ю коробку. А если не поймали, то она где-то из коробок 3-5. Давайте порассуждаем, где может быть кошка, если она в первый день сидела:
    - в 3й коробке: Во второй день она перескочила на 4ю коробку.
    - в 4й коробке: Во второй день она перескочила на 3ю или 5ю коробку.
    - в 5й коробке: Во второй день она перескочила на 4ю коробку.
    Шансы, что она в 4й коробке 50%. Поэтому предлагаю открыть 3ю коробку в 3й день:
    
3й день: _ _ X _ _.
    Если мы не поймали кошку, значит она сейчас во 2й коробке (из 3й), в 4й коробке (из 3й или из 5й), в 5й коробке (из 4й) 

Дальше пока логика не вяжется...

[E.K.]

Увы, я подсмотрел решение вместе с условием задачки. Посему - без меня..

[E.K.]

Поскольку день за днём близится Новый год, а нужно будет ещё и традиционное 10-9-8-...-1=2025 посчитать, то публикую решение задачки.

 

Кошка сидит в одной из коробок 1-2-3-4-5. Предположим, что кошка сидит в коробке с чётным номером - 2 или 4. Открываем коробку номер 2. Если кошка там - задачка решена. Если нет, то она в коробке номер 4, откуда могла перебраться в коробку 3 или 5. Открываем коробку-3. Если кошка там, то на этом всё. Если нет - то она в коробке-5, из которой ей кроме как в коробку-4 деваться некуда. Открываем номер 4 - и всё на этом.

 

Однако, если кошки там всё же не обнаружено, то это означает, что предположение о том, что кошка изначально была в чётной коробке, - неверно. То есть, кошка сразу сидела в нечётной коробке. Но за три хода она теперь просто обязана оказаться в чётной коробке! Тогда просто повторяем процедуру - и ловим кошку.

 

Итого, алгоритм гарантированного отлова кошки такой: 2-3-4-2-3-4 (ну, или 4-3-2).

 

Красивая задачка, однако! И мне рассказывают, что у неё есть усиленный вариант, когда коробок семь и расположены они звёздочкой:

 

        [1]
        [2]
[3] [4] [5] [6] [7]

[santax]

Блин.. Очень красиво!

Изменено 6 декабря пользователем santax

[santax]

Для усиленного варианта получается 4-5-6-5-2 и потом повтор.