Математическое и загадочное

[Тим 2]

12.02.2023 в 12:58, E.K. сказал:

олимпиаде по математике, оказалось

Мой приятель в школе как то выиграл олимпиаду по физике по городу Москва там несложные задачки с намеком на решение в условиях.

Помню тоже решил задачки ответ правильный а решение нет, не несколько туров там было вроде.

Сейчас а Яндексе выиграл футболку и чутли не через прокуратуру под паспорт тянул ее оттуда.

[E.K.]

Злые админы форума загадали трёхсотзначное число, да такое, что оно увеличивается в пять раз, если его последнюю цифру перенести вперёд (12345 -> 51234). И сказали, что если фанклубни не отгадают его, то всех отправят в пожизненный бан. Что это за число?

 

// Я помучался и одно такое нашел. Но как доказать его единственность? - не знаю...

[Рогожников Евгений]

Вроде как из построения решения единственность автоматически вытекает. Я рассуждал так. Пусть последняя цифра y а начало числа х. Тогда имеем

50х +5у=10^299у +х

 

Отсюда получаем соотношение 1

49х = 9...95у  в начале 299 цифр 9  

 

Далее замечаем что 

142857*7=999999

14285*7=99995

 

 И тогда число 9...95 можно разложить как 142857*7*10^5(1+10^6+...10^(6*48))*у +14285*7*у

Видно что оно делится на 7. Т. е равно

7*у*z

Где z = 142857*10^5(1+10^6+...10^(6*48))+14285

Подставляет в соотношение 1 и делим на 7 получаем

 

7х=у*z

 

у у нас цифра. Если оно равно 7, то получаем некоторое решение. 

z*10 + 7

 

 Для доказательства единственности достаточно показать что z не делится на 7

 

Заметим, что 10^6 даёт остаток 1 по модулю 7. Но тогда (1+10^6+...10^(6*48)) делится на 7, ведь в нём 49 слагаемых каждое из которых даёт 1 по модулю 7.

 

Т. е  z сравнимо с 14285 по модулю 7. Т. е имеет остаток 2 , а, значит не делится на 7

[E.K.]

4 hours ago, Рогожников Евгений said:

Пусть последняя цифра y а начало числа х. Тогда имеем

50х +5у=10^299у +х

Имхо, это верно, если все остальные цифры в числе - нули...

 

4 hours ago, Рогожников Евгений said:

49х = 9...95у  в начале 299 цифр 9 

Получается, что 'x' - это очень-очень большая цифра.

[Рогожников Евгений]

1 час назад, E.K. сказал:

Получается, что 'x' - это очень-очень большая цифра.

нет. 'y' это цифра, а 'x' это 299-значное число

[E.K.]

Пардон, неправильно прочитал... Теперь всё верно. Забавная задачка.

[zell]

02.04.2023 в 19:16, E.K. сказал:

Злые админы форума загадали трёхсотзначное число, да такое, что оно увеличивается в пять раз, если его последнюю цифру перенести вперёд (12345 -> 51234). И сказали, что если фанклубни не отгадают его, то всех отправят в пожизненный бан. Что это за число?

 

// Я помучался и одно такое нашел. Но как доказать его единственность? - не знаю...

12345 * 5 = 61725

[E.K.]

Всем привет!

 

И после немного заковыристой задачки давайте сделаем простое арифметическое упражнение. Типа, семечки полузгать на завалинке. Тем более, что подобное упражнение мы уже делали в 2019 году. Но тогда (по причине цифры '9') оно было несколько легче. А теперь (в году 2023) как минимум без факториала не обойтись.

 

Итак, условия следующие:

 

Задачка №1. Есть номер текущего года 2023, из которого мы выдираем цифры 2,0,2,3 - из этих необходимо арифметически получить все числа от 0 до 20. Цифры используются только один раз, но их можно переставлять местами. Разрешено использовать стандартные арифметические операции (плюс, минус, умножить, разделить), факториал и скобки.

 

0  = 0*2*2*3

1  = 3-2+2*0

2  = 2+0*2*3

3  = 3+0*2*2

4  = 2+2+3*0

5  = 2+3+2*0

6  = 2*3+2*0

7  = 2*2+3+0

8  = 2*3+2+0

9  = (2+3)*2-0!   <= вот здесь без факториала не получилось

10= (2+3)*2+0

11=...

 

Задачка совсем простая, переходим к более сложной.

 

Задачка №2. Используя предыдущие условия, плюс корень, возведение в степень (например, "3²") и конкатенацию цифр (например, "2 и 0" можно слепить в "20", а "3 и 2" в "32" или "23", можно и три слепить - но зачем?) - так вот, используя семь арифметических действий, конкатенацию и скобки получить все возможные результаты от 20 до... А до какого значения получится?

 

Например,

 

32= 2⁽³⁺²⁾+0

33= 2⁽³⁺²⁾+0!

 

Задачка №3. Используя перечисленные выше арифметические действия, конкатенацию, скобки - нам удалось добраться до числа "??" (какое именно это число - ответит "Задачка-номер-два"). Так вот, какие нужны еще математические действия, чтобы продолжить уже освоенную арифметику до 100?

 

Удачи! Но большая просьба кратные факториалы употреблять только в самых крайних случаях. Поскольку "кратными факториалами можно чёрта лысого слепить" (с) я.

[Рогожников Евгений]

Первым способом получилось до 31. 32 , 33 и 35 не получается. 34 и 36 можно

[santax]

о, ещё одна интересная задачка на пару недель, если не использовать спец помощников в виде скриптов-программ 😃

[_Иван]

К задачке-3: если добавить всего лишь логарифм, то можно получить любое целое число!

[E.K.]

Не-не-не, давайте без "волшебных палочек", а по-честному

 

11= (2+3)*2+0!

12= 2*2*3+0

13= 2*2*3+0!

14= 2*(2*3+0!)

15= (2+3)*(2+0!)

16= 2*2*(3+0!)

17= 2*2^3+0!

18= 2*3^2+0

19= 2*3^2+0!

20= 20*(3-2)     // без конкатенации у меня не получилось..

UPD: 20= (2+2)!-3-0!

[E.K.]

21= 23-2+0  UPD: = (2+2)!-3+0

22= 22+3*0           = (2+2)!-3+0!

23= 3!*2*2-0!

24= 3!*2*2+0

25= (2+3)^2+0

26= (2+3)^2+0! = 30-2*2

27= 3^2*(2+0!)

28= 22+3!+0

29= 30-2/2            = (2+2)! +3!-0!

 

7 hours ago, Рогожников Евгений said:

Первым способом получилось до 31. 32 , 33 и 35 не получается.

 

30= 30*2/2          = (2+2)! +3!+0

31= 30+2/2         = (2+2)! +3!+0!

32= 2^(3+2)+0

33= 2^(3+2)+0!

34= 32+2+0

35= 32+2+0!

36= 3!*(2+2-0!)!

37= 20*2-3

38= 32+(2+0)!

39= ?????   20*2 - !(!3) // субфакториал.

[_Иван]

20 можно без конкатенации и степеней: (2+2)! - 3! - 0!

 

Всё до 31 включительно можно первым образом провернуть.

[E.K.]

И было бы неплохо решения до 31 показать..