Математическое и загадочное

[E.K.]

Топ-менеджеры ЛК безуспешно бьются о задачку про колпаки и числа

[_Иван]

А вот собрались фанклубни и выстроились на плоскости в вершинах квадратной решётки (во всех). Среди клубней нашлось пять админов. Может ли быть такое, что все админы видят друг друга? Все фанклубни одного роста и бесконечно тонкие, но не могут смотреть сквозь другого клубня. То есть, например, если три админа находятся на одной прямой, то внешние не видят друг друга.

[E.K.]

Похоже, что нет. Два админа видят друг друга, если растояние между ними по осям (x,y) = два взаимопростых числа. Если НОД этих чисел не равен единице, то где-то по горизонтали или вертикали на расстоянии НОД стоит клубень, который непрозрачен.

 

Теперь надо показать, что не существует набора из пяти пар целых ненулевых чисел, для которых выполняются требования:

1. Каждая пара = взаимопростые числа.

2. Сумма всех первых/вторых чисел = нулю/нулю.

 

 

Опять какая-то криптография получается с вкраплениями гипотезы Гольдбаха...

 

UPD: Формулировка неправильная.. 1. Могут быть и нулевые - они же могут стоять рядом на соседних вершинах решётки. Тогда по одной из осей расстояние будет ноль. 2. Не "каждая пара = взаимопростые", а сложнее.. Все комбинации расстояний должны быть взаимопростыми.

[E.K.]

Нет никакой криптографии! Всё неожиданно просто. Отличная задачка! Как раз для не слишком заумных умов

[E.K.]

Решение простое. "Админы видят друг друга", если прямая, их соединяющая не проходит ни через одну вершину решётки. Т.е. расстояние между ними по осям X-Y есть два взаимопростых числа - иначе есть общий делитель, вот там и происходит пересечение с вершиной.

 

Подобрать пять пар точек так, чтобы все расстояния между ними по осям X-Y были взаимопростыми - невозможно, поскольку в пяти парах хоть в одном случае разность координат даёт два чётных числа:

 

(чёт,чёт), (чёт,нечёт), (нечёт,чёт), (нечёт,нечёт) - четыре пары точек с взаимопростыми расстояниями ещё можно соорудить. Но прилепить к ним пятую не получится: если координаты пятого админа (чёт,чёт) - конфликт с первой парой; (чёт,нечёт) - со второй; и так далее. А других вариантов комбинций чёт-нечёт больше нет...

 

Всё.

[E.K.]

Вот ещё несложная:

 

Однажды злые админы поймали четырёх фанклубней и решили их забанить. Но прежде решили дать им шанс спастись. На столе по кругу, как патроны в нагане, разложены 7 флешек: 5 чистых и 2 заражённые вирусом-трояном. Первому клубню сообщают какие флешки заражены, но после этого клубням общаться запрещено. Каждый из них по очереди берёт по флешке и вставляет в свой компьютер. Если попадается хоть одна заражённая флешка, то всех в бан. Но у клубней есть возможность заранее договориться... Как им гарантированно ускользнуть от бана?

[santax]

Заражённые флешки делят круг на 2 дуги: длинная (3-5 флешек) и короткая (2-0 флешек).

Они договорились, что в первый раз админ берет первую чистку из длинной дуги, справа от заражённой. Таким образом, 2й и 3й участник могут безопасно взять 2 флешки от пустого места 1го админа. 

В итоге для 4 админа 3 варианта, какой из них он не знает:

x - - - x 0 0 или x - - - 0 x 0 или x - - - 0 0 x 

И тут предугадать он уже не сможет, значит вариант начинать с длинной дуги неверен. Пробуем с дальше...

 

 

[santax]

Придумал!

1й ход фанклубня просвещенного:

• если заражённые флешки стоят рядом, то факлубень берет флешку справа от заражённых;
• если между заражёнными 1 чистая флешка, то фанклубень берет её;
• если между заражёнными 2 чистых флешек, то факлубень берет правую из них.

То есть мы сокращаем короткую дугу ещё на 1 флешку. 

После этого 2й факлубень пропускает флешку справа от взятой 1м фанклубнем и берет следующую флешку (через одну получается)

3й и 4й фанклубнем берут соседние флешки справа от своего предыдущего коллеги. То есть это будет выглядеть так для выше описанных случаев:

• x x - 0 - - -
• x - x - - - 0
• x 0 - x - - -

И последним шагом знающий фанклубень забирает чистую флешку.

 

 

[_Иван]

// "Админы не видят друг друга" --- всё верно  кстати, это же решение показывает, что всегда найдётся кто-то ровно посередине между двумя админами. Это прикольно.

 

А вот новая задачка.

 

— Скажи-ка, дедушка, какого возраста твой сын?
— Ему столько же недель, сколько внуку дней.
— А внук в каком возрасте?
— Ему столько месяцев, сколько мне лет.
— Сколько же тебе-то?
— Троим вместе ровно сто лет!
 

(Из очевидного: в неделе ровно семь дней, в году нецелое количество недель, календарь григорианский)

Задачка-бонус: когда такой диалог мог произойти в последний раз?

[santax]

5, 35 и 60.. но что-то слишком просто, где я что-то упустил?

[E.K.]

Что-то некогда погружаться, но мне кажется, что в задачке должен быть прикол про нечёткое количество недель в году, нечёткое количество дней в формулировке "ему столько же недель, сколько внуку дней" и нечёткое количество дней и недель в формулировке "ему столько месяцев, сколько мне лет".

 

И там ещё вопрос про "когда такой диалог мог произойти в последний раз?"

[santax]

8 часов назад, E.K. сказал:

И там ещё вопрос про "когда такой диалог мог произойти в последний раз?"

вот этот вопрос как раз прям таки намекает, на переход с юлианского календаря на григорианский. Если особенно учитывать как раз про нечетное количество дней, и в решении якобы есть из-за этого тонкости особые.

В целом считал так, наверно и как все:

Из условий задачи ясно, что  сын старше внука в 7 раз; а дед старше внука в 12 раз. Тогда в сумме получаем 1x+7x+20x=100. X=5. Но тут нужно уточнить, раз тут ровно 100 лет (без месяцев и дней), то и внуку в момент диалога ровно 5 лет (без месяцев и дней), а также сыну и деду. То есть у них сегодня у всех день рождения. тройной праздник! В этом случае да, ответ должен быть 5, 35, и 60 лет. 

Если у них отличаются даты рождения, то тогда нужно весь расчет переделывать в дни. И да, тут тогда будет сложнее, чем решение выше.

[_Иван]

5, 35 и 60 лет --- это недостаточный ответ  надо ещё доказать, что может существовать такой день. Если взять, например, текущую дату (2021-11-02), то несложно показать, что условия задачи невыполнимы.

 

> вот этот вопрос как раз прям таки намекает, на переход с юлианского календаря на григорианский

Не-не, календарь не меняется. Вот и дополнительный вопрос нарисовался: почему не будет решений, если переход с юлианского на григорианский календарь произошёл во время жизни деда?  

[santax]

@_Иван аха, посчитал с онлайн калькуляторм недели 😃  Да, из-за того, что последняя неделя в году состоит из 1-2 дней, ломается расчет с неделями..

[E.K.]

А не пора ли порешать нашу традиционную Новогоднюю забаву:

 

Есть числа "10 9 8 7 6 5 4 3 2 1". При помощи базовых арифметических функций плюс-минус-умножить-разделить и скобок получить номер наступающего года 2022. Переставлять и склеивать цифры нельзя.

 

Например, 10 * 9 * 8 * (7 + 6) / (5 + 4) * (3 - 2 + 1) = 2080, а надо получить 2022.

 

Затем ту же работу проделать в более сложных условиях:

 

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 2022

8 7 6 5 4 3 2 1 = 2022

7 6 5 4 3 2 1 = 2022

 

Начиная с какого-то момента без математической алхимии в виде факториалов, субфакториалов, праймориалов и тому подобного обойтись уже не получится.

 

6 5 4 3 2 1 = 2022

5 4 3 2 1 = 2022

 

Когда цифр становится ещё меньше, нужно вызывать демонов в виде рядов Ферма, Фибоначчи, Мерсена и прочими.

 

4 3 2 1 = 2022

3 2 1 = 2022

2 1 = 2022

 

Подробнее условия "с демонами" были описаны вон там, но просьба решать честно и не подглядывать в решения прошлых лет! (некоторые из них можно адаптировать и к этому году).

 

Ну и самое интересное - получить номер нашего следующего года из одной единицы! Это упражнение уже было проделано неоднократно разными способами, теперь же требуется найти ещё одно новое решение этой задачки.

 

P.S.1 - на решение варианта "10 ... 1" у меня ушло примерно 10 минут

 

P.S.2 - между цифрой 8 и скобкой ) надо ставить пробел "8 )", иначе новый движок форума тут же конвертит их в 😎

 

Вроде всё. Дерзайте!

 

P.S.3 - ах да, призы традиционно будут!!