Математическое и загадочное

[E.K.]

5 hours ago, Рогожников Евгений said:

А сама запись вот такая

-log(((....sin( arctg(1))²)²)²...)²)

Не подходит! У нас есть только одна единица '1'. Двоек '^222...2' для возведения в степень не выдано!

[Рогожников Евгений]

2 часа назад, E.K. сказал:

Не подходит! У нас есть только одна единица '1'. Двоек '^222...2' для возведения в степень не выдано!

Можно тогда вместо возведения в квадрат использовать квадратный корень. Раз синусы и логарифмы разрешены, то знак √ тоже, наверно , сойдет.

И тогда делаем так

1) sin (arctg(1)) = 1/√2  = 2 ^ (-1/2)
2) извлекаем N раз квадратный корень. Получаем 2^(-1/(2^N)) 
3) берем двоичный логарифм. получаем: -1/(2^N) = -2^(-N)
4) дописываем знак -. получаем: -( -2^(-N)) = 2^(-N)
5) берем еще раз двоичный логарифм. получаем: -N
6) дописываем еще раз знак - 

Ну или итогово вот так:

-(log(-log(√(√(...√(sin (arctg(1)))...))))  = N   ( если корней взято N штук)

 

Заметим, что если стартануть с полседовательности из двух цифр (2, 1), то таким способом также можно получить любое целое число но уже не используя sin и arctg

Изменено 11 февраля, 2021 пользователем Рогожников Евгений

[E.K.]

числа Ферма: Fm(1)=5,

5!!!=5*2=10,

числа Рекамана: Rc(10)=11,

числа Фибоначчи: F(11)=89,

89!!!...84-кратный факториал...! = 89*5 = 445 = 2021 в 6-ричной системе счисления

 

(F(Rc(Fm(1)!!!)))!!!...84-кратный факториал...! = 2021₆

 

Проверяйте...

[E.K.]

Сегодня был в "подшефной" школе 1409, где дети накидали мне ещё решений:

 

10 * (( 9 * 8 - 7 * 6 ) * 5 * 4 / 3 + 2 ) + 1 = 2021

10 * (( 9 + 8 ) * 7  - 6 - 5 - 4 - 3 ) * 2 + 1 = 2021

10 * ((( 9 + 8 + 7 ) * 6 ) + ( 5 * 4 * 3 - 2 )) + 1 = 2021

( 10 * ( 9 + 8 - 7 ) + 6 - 5 ) * ( 4 * ( 3 + 2 )) + 1 =

 

( 9 * 8 * 7 * 6 + 5 + 4 ) / 3 * 2 - 1 = 2021

( 8 * 7 * 6 + 5 - 4 ) * 3 * 2 - 1 = 2021

[E.K.]

На ЖЖ накинули ещё разных решений. Там используются:

 

Праймориалы n#: 1, 2, 6, 30, 210, 2310...

Суперфакториалы sf(n): 1, 1, 2, 24...

Числа Мерсенна Me(n) -> 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047...

Числа Ферма Fm(n) -> 3, 5, 17, 257...

Числа Фибоначчи Fi(n) -> 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

(все последовательности начинаются с нулевого 'n')

 

(7!*6/5+4!)/3-2-1 = 2021

(7*6!/5-4+3!)*2+1 = 2021

((7! / 6!)! / 5 - 4 + 3!) * 2 + 1 = 2021
 

(6!!-5+4)*((3!)!!-2#+1) = 2021

(6!/5)*(4!!+3!)+2#-1 = 2021

6 + 5# - sf(4) - 3! - 2 + 1 = 2021
 

5# - sf(4) - 3 + 2 * 1 = 2021

 

Далее "вызываем демонов":

 

Me(5+(√4)#) - 3# + Fm(Fi(2)) -1 = 2021

Fm(Fi(4)) * Fi(3!) - (Me(2))# - Fm(1) = 2021

Fi(sf(3)) * (Me(Me(2)))!!!!! + Fm(1) = 2021

(Fi(sf(Me(2))))!...130-кратный...! + Fm(1) = 2021

 

И самое-самое - получаем номер года из единицы!

 

ceil(exp(exp(exp(sin(cos(arctan(arctan(1)))))))) = 2021

 

// где "ceil" - округление к большему, альтернативная запись:

= 2021 

 

Ура! Вроде всё.

[E.K.]

Чтобы вы не скучали - вот вам еще одна задачка 2021:

 

Получить 2021, используя комбинации из одной и той же цифры, причём не более 10 цифр в комбинации. Разрешены все базовые арифметические действия плюс степени и корни, также разрешена склейка типа '11'.

 

Например,

 

2/2 + (2*2*2+2) *  (((2*2*2+2)^2) * 2 + 2) = 2021

 

- но здесь 13 двоек, а должно быть не более 10.

 

Нужно решить задачку для всех цифр от 1 до 9.

// Если покажется мало, то для всех цифр от 1 до F в хексах

 

Что интересно, такие задачки ежегодно публикуются в The Guardian. Там по ссылке есть ещё задачки.

[Skarbovoy]

9 часов назад, E.K. сказал:

 но здесь 13 двоек, а должно быть не более 10.

(2 * 2 / 2 / 2 + 22 * 2) ^ 2 - 2 * 2 = 2021

[Skarbovoy]

"внешне" похоже на слегка модифицированное предыдущее

((3 + 3) / 3 / 3 * 3) ^ (33 / 3) - 3 ^ 3 = 2021

((2 + 2) / 2 / 2 + 22 * 2) ^ 2 - 2 * 2 = 2021

[Рогожников Евгений]

Пользуясь только самыми простейшими сооображениями, а именно, что
43*47 = 2021
43*47 = 45² - 2² = 45² - 4

сразу получаем следующие решения

(22*2 + 2/2)² - 2*2
(44 + 4/4)*(44 + 4/4) - 4
(7*7-7 + 7/7)(77 - (7+7)/7)
(55 - 5 - 5)^( (5+5)/5 ) - 5 + 5/5

далее сходу получить не удалось

[Рогожников Евгений]

Для 6 опять же сработал этот способ

43 = 6*6 + 6 + 6/6

47 = 6*6 + 66/6

2021 = 43*47 = (6*6 + 6 + 6/6)(6*6 + 66/6)

[Рогожников Евгений]

Для 9-ки уже другая идея.
Заметил, что 999*2 = 1998 - довольно близко к 2021

Соответственно, перебирал около этих значений
((999 + 99/9)(9+9) + 9)/9 = 2021

[Рогожников Евгений]

Для 8-ки та же идея, что и для 9-ки.
Сначала пытаемся получить  небольшим числом  8-к число близкое к 2021.
88*8*3  = 88*(8+8+8)= 2112 больше на 91 чем искомое.

Ну а далее перебираем около этих значений.
Получаем

(88 - 8/64)*(8+8+8) - 88

[Рогожников Евгений]

Для 1 также попробовал сначала подобрать с помощью небольшого числа 1 число близкое к 2021.
111*11 = 1221. Оно ровно на 100 больше чем нужно.

Фактически, повезло. Отсюда решенеи приходит сразу

111*11 - 111 + 11 = 2021

 

 

Таким образом, с учетом еще кейса для 3-ки, которое дал Scarbovoy, получены решения для всех числе от 1 до 9

 

Для аналогичной задачи в хексах я пока беру паузу

[Skarbovoy]

2 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

Фактически, повезло. Отсюда решенеи приходит сразу

111*11 - 111 + 11 = 2021

Как все просто оказалось

(1 << 11) - (111 >> (1 << 1)) = 2021

я решил что единицы проще всего на битовых сдвигах побороть

Изменено 18 февраля, 2021 пользователем Skarbovoy

[Борис Прокофьев]

3 часа назад, Рогожников Евгений сказал:

111*11 - 111 + 11 = 2021

Красивое решение! Но есть один неприятный нюанс...