Математическое и загадочное

[Vladislav Nikolaev]

У меня было такое предположение, что на доске 3N x 3N (N>1) можно расставить 4N ферзей. Для N=2,3,4,6 решения нашлись, для N=5 - пока неизвестно. Я предполагаю, что решения нет.

Вот 24 ферзя на доске 18 х 18:

 

[Рогожников Евгений]

9 минут назад, Vladislav Nikolaev сказал:

Вот 24 ферзя на доске 18 х 18:

Круто. И получается, что это максимальное число в данном случае, т.к мое предыдущее рассуждение верно и здесь. Надо только 36 разделить на 3/2, что и равняется 24. Ну и понятно, что такое решение будет удовлетворять условию, что в каждой группе будет 2 ферзя, закрывающих 3 строкостолбца. И на картинке это видно.

Судя по этой картинке, и для 20х20 есть решение в 26 ферзей. Но мне, если честно, неохота его искать вручную. А искать программно неинтересно. 

[Vladislav Nikolaev]

Я когда-то долго ждал, а не получится ли ещё и 27-го ферзя поставить?.

[Vladislav Nikolaev]

Есть стрелочные часы с некоторым числом стрелок. Каждая стрелка движется с постоянной угловой скоростью, разные стрелки - с разными скоростями. Для каждой пары стрелок есть только одно направление, куда показывают эти стрелки в момент, когда более быстрая обгоняет более медленную (если вначале все стрелки установлены на 0, этим направлением для всех пар стрелок будет 0). Какое максимальное число стрелок может быть на таких часах?

[E.K.]

При скорости 0...

[Рогожников Евгений]

16 часов назад, Vladislav Nikolaev сказал:

Какое максимальное число стрелок может быть на таких часах?

 

Лемма 1 угловые скорости стрелок можно считать натуральными числами ( 0 - тоже подходит, стрелка с такой скоростью всегда может быть добавлена. Поэтому 0 мы не рассматриваем, но держим в уме, что у нас всегда есть одна стрелка в запасе).

Доказательство:

В самом деле, если взять какую то стрелку и пусть ее скорость x>0, то можно раделить все скорости на  x. Тогда получим новую последовательность сокростей , которые также будут удовлетворять услвоиям задачи, но скорсть одной из стрелок будет целым числом. в данном случае 1. Далее считаем, что x - натрулаьное. Возьмем теперь другую стрелку. Пусть ее скорость y. Сопоставим ее с x-стрелкой. Из условия задачи следует, что nx = my, где n и m натуральны. Значит, y - рационально. Значит, можно считать что y - натурально ( опять трюк с домножением).

 

Далее всюду рассматриваем только скорости как натуральные числа.

 

Лемма2. Пусть есть две стрелки, удовлетворяющие условию задачи, со скоростями x < y. d = y - x. Тогда d делит x и y

Доказательство:

Из условия задачи следует, что (n+1)x = ny, где n натурально.

Тогда (n+1)x = n(x+d). Значит x = nd. Значит y = (n+1)d

 

 

Ну и, наконец, решение задачи.

Пусть есть N стрелок с заданным условием. Пусть их скорости натуральные числа - x_1 < x_2 <  ... < x_N.

 

Пусть Y = x_N! ( факториал самого крупного числа).

Рассмотрим  теперь N+1 натуральное число:

y_0 = Y, y_i = Y + x_i

 

Стрелки со скоростями y_i  также будут удовлетворять условиям задачи.

 

Таким образом, получен алгоритм, как от N стрелко перейти к N+1 стрелке.

Значит, ответ - бесконечность

 

[Vladislav Nikolaev]

Да, всё правильно! Можно только добавить, что если получать конкретные последовательности, чтобы числа были меньше, можно брать вместо факториала наименьшее общее кратное: y₀=НОК(x₁,...,x_n), и не прибавлять, а вычитать: y_i=y₀-x_i.

[E.K.]

Что-то закрутило меня графиком событий и перемещений. За прошедшие три недели столько всего разного произошло, что аж голова уже немного подкручивается: десяток перелётов, 3300+км за рулём, девять (я подсчитал) "мест обитания" самого разного уровня комфортности - начиная от дома на тропическом пляже и до комнатки "на троих" в придорожных гостевых домах на трассе "Колыма". А также ночёвка в тёплой избе в Оймяконе! Благодать окружающей среды колебалась от +30°C "на юге" до -58°C на выезде из Оймякона.

 

Какой-то очень напряжённый получился зимний сезон, посему у меня совершенно вылетела из головы традиционная арифметическая задачка - как собрать из цифр от 10 до 1 и базовых плюс-минус-умножить-разделить номер нашего текущего года 2021.

[E.K.]

Напоминаю условие:

 

Пользуясь скобками и четырьмя основными арифметическими действиями (плюс-минус-умножить-разделить), необходимо из чисел "10 9 8 7 6 5 4 3 2 1" получить номер текущего года: 2021.

 

Например, если расставить знаки и скобки как показано ниже, то получается ->

 

10 * ( 9 - 8 ) + (7 * 6 * 5) - 4 * 3 * (2+1) = 2064

 

Получается 2064, то есть, этому варианту решения ждать ещё аж 43 года... То есть, чтобы получить искомое 2021, надо постараться каким-либо более правильным способом.

 

Склеивать цифры нельзя! То есть, вот такие конструкции не принимаются:

 

10 + ( 9 - 8 ) * (67) * 5 * 4 * 3 / 2 + 1 = 2021

 

Переставлять цифры тоже нельзя, они должны стоять строго в своём порядке. И должно получиться строго 2021.

 

Ну а далее, когда получится собрать "2021" из "10 9 ... 1", то переходим к более сложным задачкам:

 

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 2021

8 7 6 5 4 3 2 1 = 2021

 

- и так далее. Уменьшаем количество цифр в задачке, но всё равно пробуем найти действия и скобки, в результате которых получается то же самое число текущего года = 2021.

 

Само собой разумеется, что с какого-то момента базовой арифметики перестанет хватать просто категорически. Посему разрешается применять и другие математические действия: факториалы, возведения в степень, корни и т.д. И так далее, далее, далее - пока мы не дойдём до совсем коротких наборов вроде "3 2 1 = 2021" и "2 1 = 2021". Как показала практика предыдущих лет, эти на первый взгляд абсолютно нерешаемые конструкции разрешимы! Но через числовые ряды (например, Ферма, Фибоначчи и прочие).

 

Не буду повторяться, все условия расписаны вот здесь.

 

А для повышения мотивации активности любителей арифметики объявляю, что за решение всех уровней задачки будет вручён специальный приз: один из зелёных "мидори-куми", побывавших с нами на Полюсе холода в Оймяконе!

 

За самые элегантные решения будут также вручастья ... о какая опечатка! Специально оставлю, это же = "вручаться + счастье" Так вот, за самое необычное и элегантное будут и прочие ценные подарки.

 

Ура! Можно начинать.

[E.K.]

Дополнение:

 

Самое интересное, конечно же, получить 2021 из единственной единицы: "какие-то функции"(1) = 2021. Предыдущие номера годов (2017, 2018, 2019, 2020) были получены разными математическими ухищрениями, о которых можно поинтересоваться вот здесь. Теперь же надо найти какой-то совершенно новый и необычный алхимический способ получения из обычной единицы номера года 2021.

 

Интересно, получится у кого-нибудь? Или же опять мне придётся выкручиваться...

[Ummitium]

10*(9+1)*(6+4)*2+(3*7) = 2021

[Рогожников Евгений]

Для 10 цифр

(10*9 + (8-7)*(6+5))*(4*(2+3)) + 1 = 101*20 + 1 = 2021  

 

Для 9 цифр

(9 * 8 * 7 * ( 6 - 5 )) * 4 + 3 + 2 + 1 = 2021

Изменено 15 января, 2021 пользователем Рогожников Евгений

[E.K.]

On 14.01.2021 at 06:35, E.K. said:

Например, если расставить знаки и скобки как показано ниже, то получается ->

 

10 * (9 - ? + (7 * 6 * 5) - 4 * 3 * (2+1) = 2064

10 + (9 - ? * (67) * 5 * 4 * 3 / 2 + 1 = 2021

Ненавижу все эти автозамены и подстановки!

Конечно же это =>

 

10 * ( 9 - 8 ) + ( 7 * 6 * 5 ) - 4 * 3 * ( 2 + 1 ) = 2064

10 + ( 9 - 8 ) * ( 67 ) * 5 * 4 * 3 / 2 + 1 = 2021

[Friend]

(98+7*6+5*4*3+2)*10+1= 2021

10 *(9*8+7+6*5 *4+3 )+2-1=2021

10 *(9-8+7*6 * 5-4-3-2)+1=2021

10 *(9+( 8-7*6*5)-(4+3+2))+1=2021

(10-9)*(-8+7*6*5) *(4*3-2)+1=2021
((10-9+8+7)*6+5)*4*(3+2)+1=2021

(9+8)*7*(-6+3+5*4)-2*1=2021

(-8+7 *6*5)*(4*3-2)+1=2021

Изменено 15 января, 2021 пользователем Friend

[Рогожников Евгений]

Почитал решения для случаев с малым числом цифр. Особенно, когда шла работа с одной единицей. Фантазия разыгралась. Если её не ограничивать, то на ум приходят странные конструкции. Например: 

Шаг 1: 1 -> one. Английское написание цифры

Шаг 2: one -> 14, 15, 5. Порядковые номера букв в английском алфавите

Шаг 3: пусть P(n) = n-му простому числу. Тогда получим последовательность P(14), P(15), P(6) = 43, 47, 11

Шаг 4: будем теперь применять наши обычные арифметические операции

43*47*1*1 = 2021!!!!

 

Если теперь вернуться с такими ухищрениями к изначальной последовательности, то там тоже есть оригинальное решение.

Пусть Рус(n) =число букв в русском написании числа n. А Eng(n) = число букв в английском написании числа n.

 

Рассмотрим сначала сумму Рус(n) по всем числам от 10 до 1

Рус(10) + Рус(9) + ... Рус(1) = 6 +6+6+4+5+4+6+3+3+4=47

 

Далее рассмотрим аналогичную сумму для Eng(n). Только тут сумму будем брать от 10 до 0.  Тогда

Eng(10)+Eng(9)+...Eng(1)+Eng(0)= 3+4+5+5+3+4+4+5+3+3+4=43

 

Ну а далее перемножим эти две суммы и получим текущий год 

 

47*43=2021