Математическое и загадочное

[Себастьян Перейро]

Конечно же, мне бы очень было приятно, если бы кто-то мне здесь добровольно помогал бы...

 

.

 

тут есть несколько добровольных вполне себе ..

я их давно наблюдаю.

хорошие положительные люди...

 

просто Вы их труды не всегда замечаете (или замечаете - но им это не заметно что вы их заметили)

 

я сам молчу - стараюсь не флудить..

если есть что сказать - говорю.

 

P.S. Но напрашивалась шутка-мем "Давайте после майских" (сейчас хайповая тема).. на фразу о добровольных ответах))

[E.K.]

Ну так помогайте!
Я же не все задачки сам решаю, да и не хочется всё на себя брать.

 

Помогайте, плииизз!!!

[thyrex]

Строгое предупреждение от модератора thyrex

Уважаемый, Себастьян Перейро.

Как-то Ваши слова

я сам молчу - стараюсь не флудить..

расходятся с делом. Потому как Ваше последнее сообщение в данной теме целиком и состоит из флуда и указаний, что и кому замечать.

Считайте, что получили последнее предупреждение. А дальше могут последовать санкции за нарушение правил форума (на пару пунктов Вы уже наработали, и потенциально еще 3 пункта я уже предвижу).

[E.K.]

Итого, если L=S=V, то ->

4a + 8b = 4*a*b + 2*b² =  a*b²

Отсюда два равенства:

 

1) 4a + 8b = ab²           => a*(b² - 4) = 8b          => a = 8b / (b² - 4)

2) 4ab + 2b² =  ab²      => a = 2b² / (b² - 4*    => a = 2b / (b - 4)

 

То бишь,

 

8b / (b² - 4) = 2b / (b - 4)

 

Сокращаем на 2b, переносим право-налево...

 

4*(b - 4) = b² - 4  =>  b² - 4b + 12 = 0  => (b - 2)² = -8

 

То есть, квадрат числа равен "минус восьми", что в множестве действительных чисел как-то пока неразрешимо.. То есть, "плитка-паррелепипед" не подходит никак и никоим образом. Фигура должна быть другой.

 

Вот такая первомайская арифметика. Всех с праздником!

[E.K.]

Что-то я застрял с решением в общем случае.. Пойти чтоли Википедию про многогранники почитать.. Ага, вот что на эту тему говорит теорема Эйлера:

 

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его рёбер и Г — число граней.

Тогда верно равенство:  В - Р + Г = 2

[E.K.]

Так, ещё раз распишу условие задачи в буквах и цифрах.

 

Пусть длина ребра номер i бутет L_i, а сумма всех рёбер будет L.

Площадь поверхности = S_i, а их сумма = S.

Объём полученной хрени пусть = V.

 

Итого, нам нужно найти или опровергнуть следующее:

L = S = V

 

Длина всех рёбер => L = L₁ + L₂ + ... + L_n

Площадь поверхности => S = S₁ + S₂ + ... + S_n

А объём... Поскольку многогранник выпуклый, то можно вот так: выберем внутри какую-нибудь точку и проведём линии во все вершины. Получается, что мы разделили многогранник на n пирамид. Пусть расстояние от этой внутренней точки до вершин = h₁,h₂,...,h_n. Тогда объём многогранника => V = 1/3 * ( S₁*h₁ + S₂*h₂ + ... + S_n*h_n )

 

Наверное, с этими формулами можно что-то сделать.. Но вот что именно?

 

Кстати, отсюда сразу невозможность существования правильного многогранника с L=S=V. Поскольку у такого многогранника все L и S одинаковы, а выбрав точку точно в центре, получаем и одинаковые внутренние пирамиды. То есть,

 

L = n*L₁

S = n*S₁

V = n * 1/3 * S₁*h

 

То есть, S = V => n*S₁ = n * 1/3 * S₁*h => h=3 строго категорически. ... и что? Ой, что-то неочевидно как-то вывод о невозможности правильного многогранника..

 

Ладно, надо ещё думать.

[E.K.]

Увы, простейший куб не подходит под решение задачки. Нам нужно чтобы L=S=V, а тут 12,6,1.

А что если попробовать перебрать все правильные многогранники? Их же всего 5. Проще всего куб (он же "гексаэдр") с ребром длины a. Для него формула L=S=V будет выглядеть вот так: 12a = 6a² = a³. Это как-бы нерешаемо.

 

Пирамида (тетраэдр). Можно прямо из википедии брать все формулы. L = 6a, S = √3*a² , V = (√2/12)*a³

L=S => a=6/√3 , тогда V = (√2/12) * 6³ / (3*√3) = (√2/√3)*6 - и тоже не подходит под равенство L=S=V..

 

Октаэдр. L = 12a , S = 2a²*√3 , V = (√2/3)*a³

Что получается... a = опять 6/√3 , V = (√2/3)*6³/(3*√3) = (√2/√3)*24 , поскольку V равно L=6a, то (√2/√3)*24 должно быть равно = 36/√3 , и тоже мимо..

 

Первые три фигуры готовы..

 

Додекаэдр. 30a = 3a²*√(5*(5+2√5)) = a³*(15 + 7√5)/4 ==>

a = 10/√(5*(5+2√5))  ... что-то я уже устал сам всё считать.

[E.K.]

Надо уже разрешить эту задачку.

 

Во-первых, правильные многогранники не подходят. Их площади и объёмы высчитываются через какие-то вложенные корни и/или корни из взаимопростых чисел. Отказать таким фигурам.

 

Во-вторых, кирпич-параллелепипед не подходит по гораздо более простым причинам. Пусть вот он какой с ребрами a,b,c =>

 

Условие задачи: сумма длин рёбер равна сумме площадей поверхностей и равна объёму фигуры. В цифрах это будет означать:

 

4a + 4b + 4c = 2ab + 2ac + 2bc = abc

 

Но этого быть не может никак. Поскольку из 2ab + 2ac + 2bc = abc следует, что c>2 , поскольку если c, то просто вычитаем из уравнения abc и получаем:

 

(2-с)*ab + 2ac + 2bc = 0

 

Поскольку c, то сумма трёх (или двух при c=2) положительных чисел не может быть равна нулю.

 

Аналогично получаем, что a и b тоже больше двойки: a>2 и b>2.

 

Ок, давайте посмотрим на другую часть уравнения: 4a + 4b + 4c = 2ab + 2ac + 2bc и сокращаем сразу на 2:

 

2a + 2b + 2c = ab + ac + bc

 

Но если a,b,c>2, то правая часть будет всегда больше левой.. Итого, параллелепипед-кирпич не подходит ни в каком случае.

 

Вроде всё плохо... но "хорошие люди" подсказали вскопать делянку в области правильных призм (т.е. призм, у которых основание – правильный многоугольник, а боковые грани - прямоугольники). Туда чуть позже и начну прокапывать решение...

[oit]

@E.K., мне кажется, все многогранники в итоге стремятся к сфере:

Объем = 4/3*πr³

Площадь поверхности = 4*πr²

Собственно, эти значения могут быть равны при r=3

А сумма длин всех ребер по идее должна стремиться к площади поверхности

Изменено 14 мая, 2019 пользователем oit

[E.K.]

@E.K., мне кажется, все многогранники в итоге стремятся к сфере:

Объем = 4/3*πr³

Площадь поверхности = 4*πr²

Собственно, эти значения могут быть равны при r=3

А сумма дин всех ребер по идее должна стремиться к площади поверхности

Очень в правильную сторону рассуждаете!

Найти объём сферы, равный её поверхности = архиправильное могло бы быть решение. Но оно мне пока неизвестно. Пока же меня "направили" в "призмы". Обещают, что будет хорошо. Говорят, что весело...

 

UPD: обещает быть весьма весёлым, поскольку "призма" по-гречески... Что нам вещают Википедии:

 

При́зма (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное»)

 

Ну, попробуем, с разной помощью...

[E.K.]

Итак, давайте посмотрим на вот такую призму, в основании которой правильный многоугольник со стороной a, всего таких сторон пусть будет n штук, а высота призмы пусть будет h. Но не всякие призмы нам интересны, а только "правильные", у которых боковые грани стоят вертикально "в небо" направленные. Вот такие =>

 

 

Что мы можем сказать про такую очень правильную и полезную призму?

 

L = Сумма длин её рёбер:

 

L = 2*a*n + n*h.

 

Все согласны?

 

 

S = Сумма площадей поверхностей = ... n штук вертикальных прямоугольников a*h плюс две площади многоугольников снизу и сверху, которые вычисляются вот так: здесь вся правда о площади правильных многоугольников =>

 

Площадь многоугольника с длиной ребра a и количеством рёбер n равна =>

 

S правильного многоугольника = 1/4 * n * a² * ctg(π/n)

где ctg = котангенс, если кто забыл что это такое.

 

Что получается вместе.. Общая площадь поверхностей S =>

 

S = a*h*n + 2 * 1/4 * n * a² * ctg(π/n) = a*h*n + 1/2 * n * a² * ctg(π/n)

 

 

V = Объём же всей этой хрени будет равен...

 

Площади поверхности многоугольника помноженное на ха-ха это самое h!

 

V = 1/4 * h * n * a² * ctg(π/n)

 

Итого, поскольку L=S=V ... то неизбежно ->

 

2*a*n + n*h = a*h*n + 1/2 * n * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * n * a² * ctg(π/n)

 

Вроде бы из этого двойного уравнения выползают множества открытий, но сегодня и сейчас я не готов их открывать. Спать уже вроде бы пора. Давайте оставим фейерверки на завтрашние будничные дни.

[E.K.]

Итак, поскольку L=S=V то получили следующую систему уравнений:

 

2*a*n + n*h = a*h*n + 1/2 * n * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * n * a² * ctg(π/n)

 

Надо бы её решить. Ага, а её сразу можно упростить, поделив все части на n ->

 

2*a*n + n*h = a*h*n + 1/2 * n * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * n * a² * ctg(π/n)

=>

2a + h = a*h + 1/2 * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * a² * ctg(π/n)

 

Уже значительно легче! Посмотрим на правое равенство, которое вытекает из S=V и давайте выделим оттуда котангенс:

 

a*h + 1/2 * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * a² * ctg(π/n)

 

Сразу же можно сократить на a =>

 

h + 1/2 * a * ctg(π/n) = 1/4 * h * a * ctg(π/n)

=>

ctg(π/n) = h / (1/4 * h*a - 1/2 * a) = (умножаем на 4) = 4h / (a*(h-2))

 

Давайте запомним это знание о нашем котангенсе и пометим его (1):

 

ctg(π/n) = 4h / (a*(h-2))                  (1)

 

Далее, а давайте применим это знание к левой части системы уравнений, где L=S и заменим котангенс =>

 

2*a*n + n*h = a*h*n + 1/2 * n * a² * 4h / (a*(h-2))

 

Везде можно сократить на n, а справа сокращаем a и двойку =>

 

2a + h = a*h + 2a*h / (h-2)

 

Сводим вместе правую часть =>

 

a*h + 2a*h / (h-2) = (ah² - 2ah + 2ah) / (h-2) = ah² /(h-2)

 

Жизнь всё проще и проще! =>

 

2a + h = ah² /(h-2)

 

Кстати, сразу вывод: h не может быть равно или меньше двойки. Иначе справа будет отрицательное число или деление на ноль.

 

Умножаем обе стороны на (h-2) =>

 

2ah + h² - 4a - 2h = ah²

 

И получаем знание про a =>

 

a = h*(h-2) / (h² - 2h + 4)                 (2)

 

А теперь подставляем это знание в (1), где котангенс =>

 

ctg(π/n) = 4h / (a*(h-2)) = 4h * (h² - 2h + 4) / h*(h-2)² = 4 * (h² - 2h + 4) / (h-2)²

 

Разворачиваем в квадрат...

 

(h² - 2h + 4) = (h² - 4h + 4) + 2h = (h-2)² + 2h

 

Подставляем... получается:

 

ctg(π/n) = 4*((h-2)² + 2h) / (h-2)² = 4 + 8h / (h-2)²

 

Итого, у нас два волшебных уравнения:

 

a = h*(h-2) / (h² - 2h + 4)

ctg(π/n) = 4 + 8h / (h-2)²

 

Вроде бы у этой системы должно быть бесконечное количество решений. Надо только внимательнее на неё посмотреть...

 

Но это чуть позже, мне пора бежать на местную конференцию!

[E.K.]

Если внимательно посмотреть на вот эту равенству из предыдущих измышлений =>

 

ctg(π/n) = 4 + 8h / (h-2)²

 

то видно, что при стремлении h к бесконечности конструкция 8h / (h-2)² стремится к нулю (это надо объяснять, или сразу понятно?). То есть, котангенс некого π/n стремится к 4 + почти ноль. Что же это может быть?

 

ctg(x) >= 4

 

Тут же онлайн-калькуляторов море бездонное. А я отдыхать пошел, всем до следующих сеансов связи! Или же сами решайте оставшиеся вопросики.

[E.K.]

Ага, едем дальше. Нужно изучить неравенство ctg(π/n) >= 4  - что про него можно выяснить? Очевидно, надо взять арккотангенс!

 

π/n ... (десяти цифр после запятой вроде достаточно).

 

То есть, n >= π / 0,2449786631 = 12,82394... (здесь на самом деле достаточно числа до запятой). То есть, существование призмы L=S=V возможно только при количестве граней многоугольника в основании призмы 13 или больше.

 

А давайте попробуем подсчитать - ведь столько уже букв написано, что надо бы и цифры какие-то конкретные получить.. Например, n= ... какое бы число выбрать? Ну, пусть 17 - моё любимое. n=17.

 

Имеем формулу ctg(π/n) = 4 + 8h / (h-2)²

Подставляем... ctg(π/17) = калькулятор сообщает 5.3495275055...

 

То есть, h / (h-2)² = 1.3495275055/8 = 0.1686909381... Можно, конечно ручками подсчитать =>

0.17*h2 - 1.675h + 0.675 = 0 но лень, залезем в калькулятор.. который выдаёт вот так:

 

h1 = 0.4207306599 h должно быть >2.
h2 = 9.5072700451

 

Калькулируем уравнение (2) для этого h =>

 

a = h*(h-2) / (h² - 2h + 4) = 71.3736436202 / 75.3736436202 = 0.9469310516

 

Всё. Нашли такой многогранник, у которого равна сумма длин всех рёбер, площадь поверхности и объём. Это призма, в основании которой правильный многоугольник о 17 рёбрах, где длина каждого ребра = 0.9469310516, а длина вертикальных рёбер = 9.5072700451. Этакий "карандаш", высота которого в 10 раз больше длины боковых рёбер.

 

Всё.

 

Желающие могут подсчитать длину горизонтальных и вертикальных рёбер для других n>12. Или даже программку написать

[E.K.]

Кстати, а у меня же ещё есть несложные задачки. Вот, например, задачки про мячики ->

 

1. Теннисный мяч лежит неподвижно на баскетбольном, диаметр которого равен 25см (как на рисунке). Масса баскетбольного мяча много больше массы теннисного. На какую высоту подскочит теннисный мяч после отскока от земли, если эту систему отпустить с высоты h=1м (высота считается от нижней кромки баскетбольного мяча)? Все соударения можно считать абсолютно упругими.

 

 

Вроде ничего сложного, требуется учебник по физике 7-го класса