Лидеры

Привет всем, вот что ответили админы фанклуба по поводу редактирования: "По умолчанию для новых юзеров лимит стоит 60 минут (увеличено до 2 часов). Более опытные юзеры из группы Активисты могут редактировать сообщения 24 часа, а у Старожилов есть несколько месяцев." - если возникнет нужда, то я могу "замолвить слово" И вот ещё обнаружил задачку, которую давным-давно так и не решили (вернее, решение было неправильным) -> Докажите, что: 1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n^2 + … < 2

Нашел. В книжке Егорова, Васильева. В самом деле, была. Олимпиада 1984 года в Ашхабаде. Задача под номером 392. Судя по всему, это была задача второго дня под вторым номером. Обычно такие задачи из разряда несложных. Но сложность обычно определяется организаторами. Так что тут они, по всей видимости, ошиблись со сложностью, раз так мало школьников решило. Хотя школьники и проходят производные, но опыта в их применении у них ещё маловато. Хотя все нужные знания уже есть. После первого семестра матана задача решилась бы сразу, так как там много подобных примеров.

если e^x и (2+x)/(2-x) при x = 1/201, то задача превращается в задачу про 1/201 и ln(403/401), разобрать надо функции e^x и (2-x)/(2+x) когда x = 2/201 Так трюк (способ 5) будет еще проще (если я не ошибаюсь конечно): Рассмотрим функцию f(x) = ln((2-x)/(2+x)) - x f'(x) = x^2/(4-x^2) f'(x) = 0 x = 0 дальше можно просто подставить 2/201 => f'(2/201) ~ 4, т.е. больше 0, а значит в точке x=2/201 ln((2-x)/(2+x)) растет быстрее x поскольку в точке x = 0 x и ln((2-x)/(2+x)) равны, то в точке x=2/201 ln(101/100) будет больше 2/201 quod erat demonstrandum обошлись одной производной P.S. Поскольку производные (судя по учебнику) также проходят в 11 классе, то нельзя не признать, что способом 4 задачу могут решить и ученики меньших классов :), другое дело, что на задачу придется потратить от получаса до часа писанины

Можно ещё один трюк. Решить нужно будет более общую задачу. А именно сравнить функции e^x и (2+x)/(2-x). Когда x равен 2/201, то это будет наша задача. В точке 0 обе функции равны 1. Берём первую производную. Получаем e^x и 4/(2-x)^2. В точке 0 обе первые производные также совпадают и равны 1. Берём вторые производные. Получаем e^x и 8/(2-x)^3. Опять в точке 0 обе равны 1. Ну и, наконец, для третьих производных будет разница. Получаем e^x и 24/(2-x)^4. В точке 0 значения будут 1 и 3/2 соответственно. Т.е правая функция растет в точке 0 быстрее. Заметим также, что в точке 1 значения левой функции и ее производных всегда равны e. ,А у правой функции значения будут 3, 4, 8, 24. То есть всегда больше. Но тогда и на всем отрезке [0,1] левая функция меньше правой. Это следует из того что все вычисленные ранее производные на этом отрезке больше нуля. Т.е исходные функции монотонны и не имеют точек перегиба. Все!!! Как часто бывает в математике, решить более общую задачу оказалось легче частной. На эту тему есть анекдот. Проезжает поезд мимо поля с овцами. Пассажир-математик говорит "На поле пасутся 348 овец". Остальные его спрашивают "Но как вы так быстро смогли сосчитать? " . Тот отвечает "Очень просто. Я посчитал число ног и разделил на 4"

Поскольку не могу изменить уже старый пост, напишу тут по поводу способа №4 На самое деле для решения задачи нам понадобится 1) точность всего лишь в 5 знаков во всех расчетах 2) знание того, что "e = 2.7 день рождения Льва Толстого 2 раза" 3) e^2 мы вычислим немного с запасом (т.е. округлим в большую сторону) - e = 2,718281829 4) бином Ньютона будем вычислять с точностью до 5 знака для каждого слагаемого и округлять будем наоборот в меньшую сторону В результате получится следующее: 01 e^2 = 7.38906 sum = 1.00000 delta = -6.38906 add = 1.00000 C = 1 02 e^2 = 7.38906 sum = 3.01000 delta = -4.37906 add = 2.01000 C = 201 03 e^2 = 7.38906 sum = 5.01999 delta = -2.36907 add = 2.01000 C = 20100 04 e^2 = 7.38906 sum = 6.35329 delta = -1.03577 add = 1.33330 C = 1333300 05 e^2 = 7.38906 sum = 7.01327 delta = -0.37579 add = 0.65998 C = 65998350 06 e^2 = 7.38906 sum = 7.27330 delta = -0.11576 add = 0.26003 C = 2600334990 07 e^2 = 7.38906 sum = 7.35824 delta = -0.03082 add = 0.08494 C = 84944276340 08 e^2 = 7.38906 sum = 7.38190 delta = -0.00716 add = 0.02366 C = 2366304840900 09 e^2 = 7.38906 sum = 7.38763 delta = -0.00143 add = 0.00573 C = 57382892391825 10 e^2 = 7.38906 sum = 7.38885 delta = -0.00021 add = 0.00123 C = 1230544247958025 11 e^2 = 7.38906 sum = 7.38908 delta = +0.00002 add = 0.00023 C = 23626449560794080 12 e^2 = 7.38906 sum = 7.38912 delta = +0.00006 add = 0.00004 C = 410241078737424480 т.е. в самом начале нам надо в столбик умножить e на e, а потом просто вычислять биномиальные коэффициенты и складывать 6значные числа причем и вычислять биноминальные коэффициенты надо не совсем в лоб, например C(201, 10) = 201!/(10!*191!) = 192*193*...*201/(2*3*...*10) - в общем не очень сложная, но немного муторная операция Учитывая что левое выражение мы взяли больше исходного, а правое - меньше, то нам хватит 11 шагов для доказательства данного утверждения

А ВОЗ согласен. И весь мир согласен. И повторю ещё раз — нужно ли учитывать в статистике больных тифом саму тифозную Мери?

Нашел СПОСОБ #4, основанный на математике 8 класса (или 9, не помню уже), но очень извращённый ? 2/201 # ln(101/100) e^(2/201) # 101/100 e^2 # (101/100)^201 e^2 # (1 + 0,01)^201 дальше воспользуемся биномом Ньютона и разложим правую часть e^2 # 201! / (2! * 200!) * 0,01 + 201! / (3! * 199!) * 0,01^2 + ... бином Ньютона проходят где=то в 8 классе, максимум в 9, в конце концов можно и самому вывести (раз на всесоюзной олимпиаде) e хорошо бы знать знака до 5 - понадобится А дальше запасаемся ручкой, бумажкой и... терпением: 1 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 1.0 delta = -6.3890560989306495 2 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 3.0100000000000002 delta = -4.379056098930649 3 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 5.0200000000000005 delta = -2.369056098930649 4 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 6.353300000000001 delta = -1.0357560989306487 5 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 7.013283500000001 delta = -0.3757725989306486 6 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 7.273316999000001 delta = -0.11573909993064824 7 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 7.358261275340001 delta = -0.030794823590648335 8 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 7.3819243237490015 delta = -0.007131775181647981 9 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 7.387662612988184 delta = -0.0013934859424651336 10 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 7.388893157236143 delta = -0.00016294169450681295 11 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 7.3891294217317505 delta = 7.332280110095013e-05 12 e^2 = 7.3890560989306495 sum = 7.389170445839624 delta = 0.00011434690897438315 На 12 шаге задача будет решена :)))

Посмотрел учебник алгебры за 11 класс: И еще домашнее задание: Хотя тема стоит со звёздочкой, возможно это означает, что ее проходят только в матклассах, но и на всероссийской олимпиаде наверное в основном только такой контингент. Опять же вопрос - какое решение приняли бы на этой олимпиаде - только приведённое Рогожниковым Евгением, где все делается без использования вычислений в любом виде (1 деление и 1 умножение не в счет) или и те, которые привел я, при которых пришлось бы потратить листок бумаги на деление и умножение столбиком (в втором случае чтобы разделить 2 на 201, потому что 0,01-(0,01)2/2+(0,01)3/3 все таки можно и в уме вычислить P.S. Интересный вопрос - а возможно ли решение данной задачи без разложения в ряды вообще

Способ 1: я попробовал сразу в лоб 2/201 = ln(101/100) e2/201=1,01 ex=1+x+x2/2!+x3/3!+... 2/201 + (2/201)2/2! +... = 0.00995 + (2/201)2/2! + ... первый член менее 0,0001, каждый следующий будет еще минимум на 2 порядка вправо (это без учёта факториала) добавлять значащие цифры в сумму и в итоге никогда не дойдет до 0,01 по идее надо аккуратненько вычислить только 2/201 + (2/201)2/2! ~ 0,00999975 все остальные члены уже будут давать уже незначительный вклад Способ 2: Аналогично можно зайти с другого конца (он даже удобнее, тут калькулятор не нужен) 2/201 < 0,0099503 ln(101/100)=ln(1+0,01)=0,01-(0,01)2/2+(0,01)3/3-(0,01)4/4+... первые 3 члена разложения логарифма дают 0,009950333... каждый следующий член будет добавлять или убавлять на 2 цифры дальше вправо и менее, чем 3, поэтому логарифм гарантированно больше 0,0099503

да нет, комментарий на месте (просто картинки не вставлялись - пришлось пример просто указать) 837 162/54 восемьсот тридцать семь целых сто шестьдесят две пятидесяти четвертых т.е. (837 * 54 + 162) / 54 = 840

Которое было в ныне уже удалённом комментарии. Там было что-то типа ?????/54.

Наблюдательные граждане прислали Ещё год назад Патрушев заявлял : МОСКВА, 15 янв - РИА Новости. Совет безопасности России не исключает разработки биологического оружия нового поколения рядом стран, при этом США создали более 200 биологических военных лабораторий по всему миру, в том числе на Украине и в странах СНГ, заявил секретарь Совета безопасности России Николай Патрушев. И при этом конечно виноват Китай ?

А ещё он сказал, что в других странах тоже перегнули палку в обратную сторону. То, что вирус очень опасен для людей под 80 лет — этого вообще никто не скрывал и не отрицал. Что-то мне кажется, что для этих людей и простуда может быть смертельной.

Ну хорошо, придется привлекать тяжёлую артиллерию, раз 42 не по нраву пришлось ? Так мы же там в комментариях нашли относительно оптимальный перебор: все такие числа кратны 504 (только оно делится на 1,2,3,4,6,7,8,9) С учётом этого, минут за 20, "практические вручную в excele" можно найти их все 29...

8 июля - День семьи, любви и верности (вариант 2): день любви семьи и верности2.zip

klogo.rar

Вообще задача немного похожа (только немного) на задачу про разрезание равностороннего треугольника на 1) две одинаковые фигуры 2) три одинаковые фигуры 3) четыре одинаковых фигур 4) пять одинаковых фигур одинаковые фигуры - это фигуры, совпадающие друг с другом при наложении одной на другую ну и как послабление - фигуры могут состоять из несвязных частей

Мне тоже интуитивно было понятно, что один должен быть внутри ... Я начал с окружностей, потом с отсечением, но дальше просто уже не успел додумать.

День Победы День Победы.zip

1 сентября - день знаний: День знаний.zip

1 апреля - день смеха: 1 апреля.zip

Логотип ко дню донора крови Сердце как символ доброты и милосердия, а кровь как вид помощи. логотип день донора.zip

Зимний. Надеюсь всё норм сделал? Зимний Kaspersky CLub Logo BG.zip

У нас в РК с сегодняшнего дня будут в статистике отображать как заболевших, так и бессимптомных: https://tengrinews.kz/kazakhstan_news/687-bessimptomnyih-nositeley-koronavirusa-vyiyavili-404614/ Кто я такой, чтобы указывать вашему Минздраву? Как хотят, так и посчитают, тем более у вас в РФ, по мнению ваших медицинских чиновников, пандемия практически закончилась.

Мне про эту задачку сказали, что она была "в 1984 году на Всесоюзной математической олимпиаде для 10 класса. Задачу решили всего 4 человека, они же получили красные дипломы, а потом стали частью легендарной команды СССР 1984 года на ММО" (цитата). Посему у меня вопрос: ряд Тейлора разве преподают в школьной программе?