Верно, но можно и построже доказать.
49 = 72
4489 = 672
444889 = 6672
Предположение:
4…48…89 /* что есть {n чётверок, n-1 восьмёрок, 9} */ =
{n-1 шестёрок, 7}^2 (*1)
Мат-индукция. Требуется доказать, что это равенство справедливо и для "n+1":
{n шестёрок, 7}^2 = 44…488…89 /* {n+1 чётверок, n восьмёрок, 9} */
Поехали... Разворачиваем {n шестёрок, 7} в сумму 66...67 = 60...00 + 6...67 и возводим эту сумму в квадрат.
{n шестёрок, 7}^2 = ( {6, n нулей} + {n-1 шестёрок, 7}) ^2 = // разворачиваем квадрат суммы двух чисел
36[2n нулей] + // 600...0 * 600...0 = 3600...000...0
2 * {6, n нулей} * {n-1 шестёрок, 7} + // это чуть муторно, будет ниже
{n-1 шестёрок, 7}^2 // а это по условию матиндукции (*1) есть {n чётверок, n-1 восьмёрок, 9}
Про "муторно":
{6, n нулей} * {n-1 шестёрок, 7} = 600...0 * 6...67 =
42 +
360 +
3600 +
36...00
------------
{4, n-1 нулей, 2}
Ещё не забыть про "2*" в начале и "n нулей" у первого множителя - получаем:
2 * {4, n нулей} * {n-1 шестёрок, 7} = {8, n-1 нулей, 4, n нулей}
Теперь эти три каракатицы нужно сложить вместе столбиком:
{36, 2n нулей}
+ {8, n-1 нулей, 4, n нулей}
{n четверок, n-1 восьмёрок, 9}
Не, надо покрасивей нарисовать:
{36, n нулей, n нулей}
+ {8, n-1 нулей, 4, n нулей}
{ n четверок, n-1 восьмёрок, 9}
-----------------------
= {44, n-1 четвёрок, 8, n-1 восьмёрок, 9} = что есть {n+1 четвёрок, n восьмёрок, 9}
Всё. Немного длинней, зато "строже"